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专题三导数及其应用
第七讲
导数的几何意义、定积分与微积分基本定理
答案部分
2019
年
1.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：因为
2
3
ex
y
x
x
=
+
（
）
，所以
2
'
3e
3
1
x
y
x
x
=
+
+
（
），
所以当
0
x =
时， '
3
y =
，所以
2
3
ex
y
x
x
=
+
（
）
在点
0 0
（，）处的切线斜率
3
k =
，
又
( )
0
0
y
=
所以切线方程为
(
)
0
3
0
y
x
−=
−
，即
3
y
x
=
．
2.解析
解析
解析
解析
解析
e
ln
x
y
a
x x
=
+
的导数为
'
e
ln
1
x
y
a
x
=
+
+ ，
又函数
e
ln
x
y
a
x x
=
+
在点
(1, e)
a
处的切线方程为
2
y
x
b
=
+
，
可得
e
0 1
2
a + + =
，解得
1
e
a
−
=
，
又切点为(1,1) ，可得1
2
b
=
+
，即
1
b = −．故选D．
2010-2018
年
1．D【解析】通解
因为函数
3
2
( )
(
1)
=
+
−
+
f x
x
a
x
ax 为奇函数，所以
(
)
( )
−
= −
f
x
f x ，
所以
3
2
3
2
(
)
(
1)(
)
(
)
[
(
1)
]
−
+
−
−
+
−
= −
+
−
+
x
a
x
a
x
x
a
x
ax ，所以
2
2(
1)
0
−
=
a
x
，
因为R
x
，所以
1
=
a
，所以
3
( ) =
+
f x
x
x ，所以
2
( )
3
1
=
+
f
x
x
，所以
(0)
1
=
f
，
所以曲线
( )
=
y
f x 在点(0,0) 处的切线方程为
=
y
x
．故选
．
D
优解一
因为函数
3
2
( )
(
1)
=
+
−
+
f x
x
a
x
ax 为奇函数，所以
( 1)
(1)
0
−
+
=
f
f
，所以
1
1
(1
1
)
0
− +
−−
+
+
−+
=
a
a
a
a
，解得
1
=
a
，所以
3
( ) =
+
f x
x
x ，
所以
2
( )
3
1
=
+
f
x
x
，所以
(0)
1
=
f
，所以曲线
( )
=
y
f x 在点(0,0) 处的切线方程为
=
y
x
．故选D．
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优解二 易知
3
2
2
( )
(
1)
[
(
1)
]
=
+
−
+
=
+
−
+
f x
x
a
x
ax
x x
a
x
a ，因为( )
f x 为奇函数，
所以函数
2
( )
(
1)
=
+
−
+
g x
x
a
x
a为偶函数，所以
1
0
−=
a
，解得
1
=
a
，所以
3
( ) =
+
f x
x
x ，所以
2
( )
3
1
=
+
f
x
x
，所以
(0)
1
=
f
，所以曲线
( )
=
y
f x 在点(0,0)
处的切线方程为
=
y
x
．故选
．
D
2
A
．【解析】不妨设
1
1
1
(
,ln
)
P x
x
，
2
2
2
(
,ln
)
P x
x
，由于1
2
l
l
⊥
，所以
1
2
1
1
(
)
1
x
x
−
= −，
则
1
2
1
x
x
=
．又切线1l ：
1
1
1
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
−
=
−
，
2
2
2
2
1
:
ln
(
)
l
y
x
x
x
x
+
= −
−
，
于是
1
(0,ln
1)
A
x −
，
1
(0,1
ln
)
B
x
+
，所以
|
| 2
AB =
，联立
1
1
1
2
2
2
1
ln
(
)
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
−
=
−
+
= −
−
，
解得
1
1
2
1
P
x
x
x
=
+
，所以
1
1
1
2
2
1
2
PAB
P
S
x
x
x
=
=
+
，因为
1
1
x ，所以
1
1
1
2
x
x
+
，
所以
PAB
S
的取值范围是(0,1)
，故选A．
3
A
．【解析】设函数
( )
y
f x
=
的图象上两点
1
1
(
,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，则由导数的几何意义
可知，点P，
处切线的斜率分别为
Q
1
1
(
)
k
f
x
=
，
2
2
(
)
k
f
x
=
若函数具有
性质则
T
,
1
2
k
k
=
1
(
)
f
x
2
(
)
f
x
=−
1．对于A 选项，
( )
cos
f
x
x
=
，显然
1
2
k
k
=
1
2
cos
cos
x
x =−1
有无数组解，所以该函数具有
性质；对于
选项，
T
B
1
( )
(
0)
f
x
x
x
=
，显然
1
2
k
k
=
1
2
1
1
x
x
= −
1 无解，故该函数不具有
性质；对于
选项，
T
C
( )
x
f
x
e
=
>0，
显然
1
2
k
k
=
1
2
x
x
e
e
=−
1 无解，故该函数不具有
性质；对于
选项，
T
D
2
( )
3
f
x
x
=
≥0，显然
1
2
k
k
=
2
2
1
2
3
3
x
x
= −
1 无解，故该函数不具有
．故选
T 性质
A．
4．C 【解析】取满足题意得函数
( )
2
1
f x
x
=
-
，若取
3
2
k =
，则
1
2
1
( )
( )
3
3
f
f
k =
=
2
1
3
k
<
=
，所以排除
．若取
A
11
10
k =
，
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则
11
1
1
10
(
)
(
)
(10)
19
11
11
11
1
1
1
1
10
10
k
f
f
f
k
k
=
=
=
>
=
=
-
-
-
-
，所以排除
；取满足题
D
意的函数
( )
10
1
f x
x
=
-
，若取
2
k =
，则
1
1
1
1
( )
( ) 4 1
2
2 1
1
f
f
k
k
=
= > =
=
-
-
，所以排除B，
故结论一定错误的是
．
C
5
D
．【解析】
1
1
y
a
x
=
−
+
，由题意得
0
|
2
x
y
=
=
，即
3
a =
．
6．D【解析】由
3
4
x
x
=
得，
0
x =
、
2
x =
或
2
x = −（舍去），直线
x
y
4
=
与曲线
3
y
x
=
在
第一象限内围成的封闭图形的面积
2
3
2
4
2
0
0
1
(4
)
(2
) |
4
4
S
x
x dx
x
x
=
−
=
−
=
．
7
B
．【解析】
3
2
2
1
1
2
7
1
3
3
x
S
x dx
=
=
=
，
2
2
1
2
1
ln
ln 2
1
S
dx
x
x
=
=
=
，
2
2
3
1
2
1
x
x
S
e dx
e
e
e
=
=
=
−
．显然
2
1
3
S
S
S
，故选
．
B
8
C
．【解析】∵
3
1
2
2
0
1
2
1
1
)
(
) 0
3
2
6
S
x
x dx
x
x
−
=
−
=
阴影 = （
,正方形的面积为，
1
∴P = 1
6
．
9
C
．【解析】用定积分求解
3
4
2
4
2
0
0
2
1
16
(
2)
(
2 )
3
2
3
x
x
dx
x
x
x
−
+
=
−
+
=
，选C
10．C【解析】
1
0
(
2 )
x
e
x dx
+
2
1
0
(
)
x
e
x
e
=
+
=
，选
．
C
11．【解析】∵
D
1
(ln )x
x
=
，∴
4
2
1dx
x
=
4
ln
ln4
ln2
ln2
2 x
=
−
=
．
12．【解析】点
A
(1,0)处的切线斜率为k ，
2
1
3 1
2
1
x
k
y
=
=
=
−
=
，由点斜式可得切线
方程为A．
13．D【解析】因为
'
2
4
4
1
(
1)
2
x
x
x
x
e
y
e
e
e
−
−
=
=
−
+
+
+
，即tan ≥－1，所以3
4
．
14．
2
=
y
x【解析】∵
2ln(
1)
=
+
y
x
，∴
2
1
y
x
=
+
．当
0
x =
时，
2
y=
，
∴曲线
2ln(
1)
=
+
y
x
在点(0,0) 处的切线方程为
0
2(
0)
y
x
−
=
−
，即
2
=
y
x．
15．3
−【解析】
(
1
)
x
y
ax
a e
=
+ +
，由曲线在点(0,1) 处的切线的斜率为2
−
，
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得
0
0
(
1
)
1
2
x
x
x
y
ax
a e
a
=
=
=
+ +
= +
= −，所以
3
a = −．
16． 1 ln2
−
【解析】设
y
kx
b
=
+
与
ln
2
y
x
=
+
和
ln(
1)
y
x
=
+
的切点分别为
1
1
(
,ln
2)
x
x +
和
2
2
(
,ln(
1))
x
x +
．
则切线分别为
1
1
1
1
ln
2
(
)
y
x
x
x
x
−
−
=
−
，
2
2
2
1
ln(
1)
(
)
1
y
x
x
x
x
−
+
=
−
+
，
化简得
1
1
1
ln
1
y
x
x
x
=
+
+
，
(
)
2
2
2
2
1
ln
1
1
1
x
y
x
x
x
x
=
+
+
−
+
+
，
依题意，
(
)
1
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
1
x
x
x
x
x
x
=
+
+ =
+
−
+
，解得
1
1
2
x =
，
从而
1
ln
1
1
ln 2
b
x
=
+
= −
．
17．
2
1
y
x
= −
−【解析】由题意可得当
0
x
时,
( )
ln
3
f x
x
x
=
−
，则
1
( )
3
f
x
x
=
−
，
(1)
2
f
= −，则在点
(1, 3)
−
处的切线方程为
3
2(
1)
y
x
+
= −
−
，即
2
1
y
x
= −
−
．
18．0【解析】
2
2
0
2
1
(
1)
(
)
0
0
2
x
dx
x
x
−
=
−
=
．
19．(1,1) 【解析】因为
x
y
e
=
，所以
x
y
e
=
，所以曲线
x
y
e
=
在点 (
)
0,1 处的切线的斜率
0
1
0
1
x
k
y
e
=
=
=
= ，设的坐标为 (
)
0
0
,
x y
（
0
0
x
），则
0
0
1
y
x
=
，因为
1
y
x
=
，所
以
2
1
y
x
= −
，所以曲线
1
y
x
=
在点P
处的切线的斜率
0
2
2
0
1
x x
k
y
x
=
=
= −
，因为
1
2
1
k
k
= −，所以
2
0
1
1
x
−
= −，即
2
0
1
x = ，解得
0
1
x = ，因为
0
0
x
，所以
0
1
x = ，
所以
0
1
y =
，即P 的坐标是 (
)
1,1 ，所以答案应填： (
)
1,1 ．
20．5
12
【解析】由已知得阴影部分面积为
2
2
1
7
5
4
4
3
3
x dx
−
=
−
=
．所以此点取自阴影部分
的概率等于
5
5
3
4
12
=
．
21．
5
3
y
x
= −
+
【解析】
5
5
x
y
e−
= −
，在点(0,3)处的切线的斜率为5
−
，
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切线方程为
3
5(
0)
y
x
−= −
−
，即
5
3
y
x
= −
+
．
22．
2
2
e
【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∴
1
1
0
0
=2(
)
2
2
|
2
x
x
S
e
e dx
e
e
−
=
−
=
阴
，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为
2
2
=
S
S
e
阴
正
．
23．－3【解析】由题意可得5
4
2
b
a
−=
+
①
又
2
( )
2
b
f
x
ax
x
=
−
，过点
)
5
,2
( −
P
的切
线的斜率
7
4
4
2
b
a −
= −
②，由①②解得
1,
2
a
b
= −
= −，所以
3
a
b
+
= −．
24．①③④【解析】 对于①，
2
0
3
,
|
0
x
y
x
y
=
=
=
，所以:
0
l y = 是曲线
3
:
C y
x
=
在点
(0,0)
P
处的切线，画图可知曲线
3
:
C y
x
=
在点(0,0)
P
附近位于直线l的两侧，①正确；对于
②，因为
1
2(
1),
|
0
x
y
x
y
=−
=
+
=
，所以:
1
l x = −不是曲线C ：
2
)1
( +
= x
y
在点
(
)
0,1
−
P
处的切线，②错误；对于③，
0
cos ,
|
1
x
y
x y
=
=
= ，在点
(
)0,0
P
处的切线为
x
y
l
=
:
，
画图可知曲线C ：
x
y
sin
=
在点
(
)0,0
P
附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，
2
1
cos
y
x
=
，
0
2
1
|
1
cos 0
x
y
=
=
=
，在点
(
)0,0
P
处的切线为
x
y
l
=
:
，画图可知曲线C ：
x
y
tan
=
在点
(
)0,0
P
附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤
1
y
x
=
，
1
|
1
x
y
=
=
，
在点
(
)
0,1
P
处的切线为
1
:
−
= x
y
l
，令
( )
1 ln (
0)
h x
x
x x
=
−−
，可得
1
1
( )
1
x
h x
x
x
−
= −
=
，所以
min
( )
(1)
0
h x
h
=
=
，故
1
ln
x
x
−≥
，
可知曲线C ：
x
y
ln
=
在点
(
)
0,1
P
附近位于直线l 的下侧，⑤错误．
25．2【解析】
1
y
x
−
=
，则k
=
，故切线方程y
x
=
过点(1,2) 解得
2
=
．
26．3【解析】
3
9
3
3
3
0
3
0
2
=
=
=
=
T
T
x
dx
x
T
T
．
27．
1
1
3
[( )
1]
1
2
n
n
+ −
+
【解析】
由
0
1
2
2
1
...
...
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
C
C x C x
C x
x
+
+
+
+
+
=
+
两边同时积分得：
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1
...
...
(1
)
.
n
n
n
n
n
n
C dx
C xdx
C x dx
C x dx
x dx
+
+
+
+
+
=
+
从而得到如下等式：
关注微信公众号：加油高三
0
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
2
2
2
3
2
1
2
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
+
+
+
++
+
=
1
1
3
[( )
1]
1
2
n
n
+ −
+
．
28．2
3
【解析】
3
1
2
1
1
1
1
1
(
sin )
cos
|
cos1
cos1
3
3
3
x
x
x dx
x
−
−
−
+
=
−
=
−
−
−
1
1
2
3
3
3
=
+
=
．
29．9
4
【解析】
a
a
x
dx
x
S
a
a
=
=
=
=
2
3
0
2
3
0
3
2
3
2
，解得
4
9
=
a
．
30．
4
3
y
x
=
−【解析】∵
3ln
4
y
x
=
+
，∴切线斜率为，则切线方程为：
4
4
3
0
x
y
−
−
=
.
31．1【解析】因为
1
0
x =
，所以
(1)
lg1
0
f
=
=
，又因为
2
3
0
( )
3
a
f x
x
t dt
x
a
=
+
=
+
，
所以
3
(0)
f
a
=
，所以
3
1
a = ，
1
a = ．
32．
1
N
N
【解析】由题意可知
1
0
1
( )
1
f x dx
N
N
得
1
1
0
( )
N
f x dx
N
，故积分
1
0
( )
f x dx
的近似
值为
1
N
N
．
33．21【解析】在点
2
(
,
)
k
k
a a
处的切线方程为：
2
2
(
),
k
k
k
y
a
a x
a
−
=
−
当
0
y =
时，
解得
2
ka
x =
，所以
1
1
3
5
,
16
4 1
21
2
k
k
a
a
a
a
a
+
=
+
+
=
+
+ =
．
34．【解析】（Ⅰ）因为
( )
e cos
x
f x
x
x
=
−
，所以
( )
e (cos
sin ) 1,
(0)
0
x
f
x
x
x
f
=
−
−
=
．
又因为
(0)
1
f
= ，所以曲线
( )
y
f x
=
在点
(0,
(0))
f
处的切线方程为
1
y =
．
（Ⅱ）设
( )
e (cos
sin ) 1
x
h x
x
x
=
−
−
，则
( )
e (cos
sin
sin
cos )
2e sin
x
x
h x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
= −
．
当
π
(0, )
2
x
时，
( )
0
h x
，
所以( )
h x 在区间
π
[0,
]
2
上单调递减．
所以对任意
π
(0, ]
2
x
有
( )
(0)
0
h x
h
=
，即
( )
0
f
x
．
所以函数( )
f x 在区间
π
[0,
]
2
上单调递减．
因此
( )
f x 在区间
π
[0,
]
2
上的最大值为
(0)
1
f
= ，最小值为
π
π
( )
2
2
f
= −
．
35．【解析】（I）
( )
ea x
f x
x
bx
−
=
+
，∴
( )
e
e
(1
)e
a x
a x
a x
f
x
x
b
x
b
−
−
−
=
−
+
=
−
+
关注微信公众号：加油高三
∵曲线
( )
y
f x
=
在点
(2, (2))
f
处的切线方程为
(e
1)
4
y
x
=
−
+
∴
(2)
2(e
1)
4
f
=
−
+
，
(2)
e
1
f
=
−
即
2
(2)
2e
2
2(e
1)
4
a
f
b
−
=
+
=
−
+
①
2
(2)
(1
2)e
e
1
a
f
b
−
=
−
+
=
− ②
由①②解得：
2
a =
，
e
b =
（II）由（I）可知：
2
( )
e
e
x
f x
x
x
−
=
+
，
2
( )
(1
)e
e
x
f
x
x
−
=
−
+
令
2
( )
(1
)e
x
g x
x
−
=
−
，∴
2
2
2
( )
e
(1
)e
(
2)e
x
x
x
g x
x
x
−
−
−
= −
−
−
=
−
x
(
)
,2
−
2
(
)
2,+
( )
g x
−
0
+
( )
g x
极小值
∴
( )
g x 的最小值是
2 2
(2)
(1
2)e
1
g
−
=
−
= −
∴
( )
f
x
的最小值为
(2)
(2)
e
e 1
0
f
g
=
+
=
−
．
即
( )
0
f
x
对
x
R 恒成立．
∴
( )
f x 在 (
)
,
−+上单调递增，无减区间．
36．【解析】（）对
Ⅰ
( )
f x 求导得
2
2
2
(6
)
(3
)
3
(6
)
'( )
,
(
)
x
x
x
x
x
a e
x
ax e
x
a x
a
f
x
e
e
+
−
+
−
+
−
+
=
=
因为
( )
f x 在
0
x =
处取得极值，所以
'(0)
0
f
=
即
0
a =
．
当
0
a =
时，
( )
f x =
2
2
3
3
6
,
'( )
,
x
x
x
x
x
f
x
e
e
−
+
=
故
3
3
(1)
,
'(1)
,
f
f
e
e
=
=
从而( )
f x 在点
（，
1
(1)
f
）处的切线方程为
3
3 (
1),
y
x
e
e
−
=
−
化简得
3
0
x
ey
−
=
．
（）由（
Ⅱ
Ⅰ）知
2
3
(6
)
'( )
x
x
a x
a
f
x
e
−
+
−
+
=
．
令
2
( )
3
(6
)
g x
x
a x
a
= −
+
−
+
，
由
( )
0
g x =
解得
2
1
6
36
6
a
a
x
−
−
+
=
，
2
2
6
36
6
a
a
x
−
+
+
=
．
当
1
x
x
时，
( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为减函数；
当
1
2
x
x
x
时，
( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为增函数；
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当
2
x
x
时，
( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为减函数；
由
( )
f x 在
)
3, +上为减函数，知
2
2
6
36
3,
6
a
a
x
−
+
+
=
解得
9 ,
2
a −
故a 的取值范围为
9 ,
2
−
+
．
37．【解析】（）设曲线
Ⅰ
( )
y
f x
=
与x 轴相切于点
0
(
,0)
x
，则
0
(
)
0
f x
=
，
0
(
)
0
f
x
=
，
即
3
0
0
2
0
1
0
4
3
0
x
ax
x
a
+
+
=
+
=
，解得
0
1
3
,
2
4
x
a
=
= −
．
因此，当
3
4
a = −
时，x 轴是曲线
( )
y
f x
=
的切线．
（Ⅱ）当
(1,
)
x
+时，
( )
ln
0
g x
x
= −
，从而
( )
min{ ( ), ( )}
( )
0
h x
f x g x
g x
=
≤
，
∴( )
h x 在
(1,
)
+无零点．
当x
=1 时，若
5
4
a
−
≥
，则
5
(1)
0
4
f
a
=
+
≥
，
(1)
min{ (1), (1)}
(1)
0
h
f
g
g
=
=
=
,
故x
=1 是( )
h x 的零点；若
5
4
a −
，则
5
(1)
0
4
f
a
=
+
，
(1)
min{ (1), (1)}
(1)
0
h
f
g
f
=
=
,故x =1 不是( )
h x 的零点．
当
(0,1)
x
时，
( )
ln
0
g x
x
= −
，所以只需考虑( )
f x 在(0,1) 的零点个数．
(ⅰ)若
3
a
−
≤
或
0
a≥
，则
2
( )
3
f
x
x
a
=
+
在(0,1) 无零点，故( )
f x 在(0,1) 单调，
而
1
(0)
4
f
=
，
5
(1)
4
f
a
=
+
，所以当
3
a
−
≤
时，
( )
f x 在(0,1) 有一个零点；
当a≥0 时，
( )
f x 在(0,1) 无零点.
(ⅱ)若
3
0
a
−
，则
( )
f x 在（，
0
3
a
−
）单调递减，在（
3
a
−
，）单调递增，
1
故当x =
3
a
−
时，
( )
f x 取的最小值，最小值为
(
)
3
a
f
−
= 2
1
3
3
4
a
a
−
+
．
①若
(
)
3
a
f
−
＞，即
0
3
4
−
＜a ＜，
0
( )
f x 在(0,1) 无零点．
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②若
(
)
3
a
f
−
=0，即
3
4
a = −
，则
( )
f x 在(0,1) 有唯一零点；
③若
(
)
3
a
f
−
＜，即
0
3
3
4
a
−
−
，由于
1
(0)
4
f
=
，
5
(1)
4
f
a
=
+
，
所以当
5
3
4
4
a
−
−
时，
( )
f x 在(0,1)有两个零点；
当
5
3
4
a
−
−
时，
( )
f x 在(0,1) 有一个零点．
综上，当
3
4
a −
或
5
4
a −
时，( )
h x 由一个零点；
当
3
4
a = −
或
5
4
a = −
时，( )
h x 有两个零点；当
5
3
4
4
a
−
−
时，( )
h x 有三个零点．
38．【解析】(1)函数( )
f x 的定义域为
(0,
)
+，
1
1
2
( )
ln
x
x
x
x
a
b
b
f x
ae
x
e
e
e
x
x
x
−
−
=
+
−
+
．
由题意可得
(1)
2
f
=
，
(1)
f
e
=
．
1,
2.
a
b
=
=
故
(2)
(1)
由
知
1
2
( )
ln
x
x
f x
e
x
e
x
−
=
+
，从而
( )
1
f x 等价于
2
ln
x
x
x
xe
e
−
−
．
设函数
( )
1
g x
x nx
=
，则
'( )
1
g x
nx
=
．
所以当
1
(0, )
x
e
时，
( )
0
g x
；当
1
( ,
)
x
e
+时，
( )
0
g x
．
故( )
g x 在
1
(0, )
e
单调递减，在1
( ,
)
e +单调递增，
从而( )
g x 子啊
(0,
)
+的最小值为
1
1
( )
g e
e
= −
．
设函数
2
( )
x
h x
xe
e
−
=
−
，则
'( )
(1
)
x
h x
e
x
−
=
−
．
所以当
(0,1)
x
时
( )
0
h x
；当
(1,
)
x
+时，
( )
0
h x
故( )
h x 在(0,1) 单调递增，
在
(1,
)
+单调递减，从而( )
h x 在
(0,
)
+的最大值为
1
(1)
h
e
= −
．
39．【解析】Ι
(
)因为
'
1
( )
x
f
x
e
x
m
=
−
+
, x=0 是
( )
f x 的极值点，所以
'
1
(0)
1
0
f
m
= −
=
，
解得
1
m = ，所以函数
( )
f x =
xe -ln( +1)
x
，其定义域为
( 1,
)
−+，
因为
'
1
( )
1
x
f
x
e
x
=
−
+
=
(
1) 1
1
xe
x
x
+
−
+
，
设
( )
(
1) 1
x
g x
e
x
=
+
−
，则
'
( )
(
1)
0
x
x
g x
e
x
e
=
+
+
，所以( )
g x 在
( 1,
)
−+上是增函
数，又因为
(0)
0
g
=
，所以当
0
x
时，
( )
0
g x
，即
'
( )
0
f
x
；
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当
1
0
x
−
时，
( )
0
g x
，
'
( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在 ( 1,0)
−
上是减函数；在
(0,
)
+，
上是增函数．
（Ⅱ）当
2
m
，
(
)
,
x−+时，
(
)
(
)
ln
ln
2
x
m
x
+
+
，
故只需证明当
2
m =
时，
( )
0
f x
．
当
2
m =
时，函数
( )
1
2
x
f
x
e
x
=
−
+
在 (
)
2,
−+单调递增．
又
(
)
( )
1
0,
0
0
f
f
−
，故
( )
0
f
x
=
在 (
)
2,
−+有唯一实根
0
x ，且
(
)
0
1,0
x −
．
当
(
)
0
2,
x
x
−
时，
( )
0
f
x
；当
(
)
0
,
x
x
+时，
( )
0
f
x
，从而当
0
x
x
=
时，
( )
f x 取得最小值．由
(
)
0
0
f
x
=
得
(
)
0
0
0
0
1
,ln
2
2
x
e
x
x
x
=
+
= −
+
，
故
( )
(
)
(
)
2
0
0
0
0
0
1
1
0
2
2
x
f x
f x
x
x
x
+
=
+
=
+
+
综上，当
2
m
时，
( )
0
f x
．
40．【解析】（1）由
( )
=
y f x 的图像过 (
)
0,0 点，代入得
1
b = −，
由
( )
=
y f x 在 (
)
0,0 处的切线斜率为3
2
，又
=0
=0
1
1
3
'
=
+
+
=
+
+1
2
2
+1
x
x
y
a
a
x
x
，
得
0
a =
．
(2)(证法一由均值不等式，当
)
>0
x
时，
(
)
2
+1 1< +1+1= +2
x
x
x
，故
+1<
+1
2
x
x
．
记
( )
( )
9
=
- +6
x
h x
f x
x
，
则
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
54
2+
+1
54
+6
54
'
=
+
-
=
-
<
-
+1
2
+1
4
+1
2
+1
+6
+6
+6
x
x
h x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)(
)
3
2
+6
-216
+1
=
4
+1
+6
x
x
x
x
，
令
( ) (
)
(
)
3
=
+6
-216
+1
g x
x
x
，则当
0< <2
x
时，
( )
(
)
2
'
=3
+6
-216<0
g x
x
因此
( )
g x 在 (
)
0,2 内是减函数，又由
( ) 0 =0
g
，得
( )<0
g x
，所以
( )
'
<0
h x
因此
( )
h x 在 (
)
0,2 内是减函数，又由
( ) 0 =0
h
，得
( ) <0
h x
，
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于是当
0< <2
x
时，
( )
9
<
+6
x
f x
x
．
（证法二）由（1）知
( )
(
)
=ln
+1 +
+1-1
f x
x
x
，由均值不等式，
当>0
x
时，
(
)
2
+1 1< +1+1= +2
x
x
x
，故
+1<
+1
2
x
x
令
( )
(
)
=ln
+1 -
k x
x
x，则
( )
( )
1
-
0 =0, '
=
-1=
<0
+1
+1
x
k
k x
x
x
，故
( )<0
k x
，
即
(
)
ln
+1 <
x
x ，由此得，当>0
x
时，
( )
3
< 2
f x
x ，记
( ) (
) ( )
=
+6
-9
h x
x
f x
x，
则当
0< <2
x
时，
( )
( ) (
) ( )
(
)
3
1
1
'
=
+
+6
'
-9<
+
+6
+
-9
2
+1
2
+1
h x
f x
x
f x
x
x
x
x
=
1
[3 (
1)
(
6)(2
1) 18(
1)]
2(
1)
x x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
−
+
+
1
[3 (
1)
(
6)(3
) 18(
1)]
2(
1)
2
x
x x
x
x
x
+
+
+
+
−
+
+
(
) (
)
=
7 -18 <0
4
+1
x
x
x
．
因此
( )
h x 在 (
)
0,2 内是减函数，又由
( ) 0 =0
h
，得
( ) <0
h x
，即
( )
9
<
+6
x
f x
x
．
41．【解析】（
）由
1）（ i
3
( )=
f x
x
x
−
得
2
( )=3
1
f x
x
−=
3
3
3(
)(
)
3
3
x
x+
−
，
当
3
(
,
)
3
x−−
和
3
3
+
（
，
）时，
( )>0
f x
；
当
3
(
,
3
x−
3 )
3
时，
( )<0
f x
，
因此，
( )
f x 的单调递增区间为
3
(
,
)
3
−−
和
3
3
+
（
，
），
单调递减区间为
3
(
,
3
−
3 )
3
．
（）曲线
与其在点
ii
C
1
P 处的切线方程为
2
3
1
1
1
1
=(3
1)(
)+
,
y
x
x
x
x
x
−
−
−
即
关注微信公众号：加油高三
2
3
1
1
y=(3
1)
2 ,
x
x
x
−
−
由
2
3
1
1
3
(3
1)
2
=
y
x
x
x
y x
x
=
−
−
−
得
3
=
x
x
−
2
3
1
1
(3
1)
2
x
x
x
−
−
，
即
2
1
1
(
)
+2 )=0
x
x
x
x
−
（
，解得
1
1
2
1
=
2 ,
2
x x
x
x
x
x
= −
= −
或
故
，进而有
1
1
2
3
2
3
4
1
1
1
1
27
(
3
+2
)
= 4
x
x
S
x
x x
x dx
x
−
=
−
，用
2
x 代替
1
x ，重复上述计算过程，可得
3
2
2
x
x
= −
和
4
2
2
27
= 4
S
x ，又
2
1
2
0
x
x
= −
，所以
4
2
1
27 16
=
0,
4
S
x
因此有
1
2
1
= 16
S
S
．
（Ⅱ）记函数
3
2
( )
g x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+
(
0)
a
的图象为曲线C，类似于（Ⅰ）（）
ii
的正确命题为：若对任意不等式
3
b
a
−
的实数
1
x ，曲线C与其在点
1
1
1
( , ( ))
P x g x
处的切
线交于另一点
2
2
2
(
, (
))
P x g x
，曲线
与其在点
C
2
2
2
(
, (
))
P x g x
处的切线交于另一点
3
3
3
( , (
))
P x g x
，线段
1
2
2
3
,
PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为
1,
2
S S ，则
1
2
S
S
为
定值．
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线
= ( )
y g x 的对称中心
(
3
b
g
a
−
(
，
))
3
b
a
−
平移至坐标原点，因而不妨设
3
( )
(
0)
g x
ax
hx x
=
+
，类似（i）（ii）的计算可得
4
1
1
27
= 4
S
x ，
4
2
1
27 16
=
0,
4
S
x
故
1
2
1
= 16
S
S
．
