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专题三导数及其应用
第七讲
导数的几何意义、定积分与微积分基本定理
2019
年
1.（2019 全国Ⅰ理
）
13
曲线
2
3(
)ex
y
x
x
=
+
在点
(0 )
0
，处的切线方程为
．
____________
2.（2019 全国Ⅲ理6）已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
=
+
在点
1
e
a
（，
）处的切线方程为y
x
=2 +b，则
A．
e
1
a
b
=
= −
，
B．a=e，
b=1
C．
1
e
1
a
b
−
=
=
，
D．
1
e
a
−
=
，
1
b = −
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)设函数
3
2
( )
(
1)
f x
x
a
x
ax
=
+
−
+
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
=
在点(0,0) 处的切线方程为
A．
2
y
x
= −
B．y
x
= −
C．
2
y
x
=
D
．y
x
=
2
(2016
．
年四川)设直线1l , 2l 分别是函数
( )
f x =
ln ,0
1,
ln ,
1,
x
x
x x
−
图象上点
1
P ，
2
P 处的切
线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积
的取值范围是
A
(0,1) B
(0,2)
C
(0,+
．
．
．
∞) D
(1,+
)
．
∞
3．（2016 年山东）若函数
( )
y
f x
=
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线
互相垂直，则称
( )
y
f x
=
具有
性质．下列函数中具有
性质的是
T
T
A．
sin
y
x
=
B．
ln
y
x
=
C．
x
y
e
=
D．
3
y
x
=
4
(2015
)
．
福建若定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
0
1
f
= −，其导函数
( )
f
x
满足
( )
1
f
x
k
，则下列结论中一定错误的是
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A．
1
1
( )
f k
k
B．
1
1
( )
1
f k
k
−
C．
1
1
(
)
1
1
f k
k
−
−
D．
1
(
)
1
1
k
f k
k
−
−
5
2014
．（
新课标Ⅰ）设曲线
ln(
1)
y
ax
x
=
−
+
在点(0,0)处的切线方程为
2
y
x
=
，则a =
A
0 B
1 C
2 D
．
．
．
．3
6
2014
．（
山东）直线
x
y
4
=
与曲线
3
y
x
=
在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A．
2
2
B．
2
4
C
2 D
4
．
．
7
2013
．（
江西）若
2
2
2
2
1
2
3
1
1
1
1
,
,
,
x
S
x dx S
dx S
e dx
x
=
=
=
则
1
2
3
,
,
S S
S 的大小关系为
A．
1
2
3
S
S
S
B．
2
1
3
S
S
S
C．
2
3
1
S
S
S
D．
3
2
1
S
S
S
8
2012
．（
福建）如图所示，在边长为
的正方形
1
OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴
影部分的概率为
A．1
4
B
．1
5
C．1
6
D．1
7
9
2011
．（
新课标）由曲线y
x
=
，直线
2
y
x
=
−
及y 轴所围成的图形的面积为
A．10
3
B
4 C
．
．16
3
D
6
．
10．（ 2011 福建）
1
0
(
2 )
x
e
x dx
+
等于
A
1 B
．
．
1
e−
C．e
D．
1
e+
11．（2010 湖南）
4
2
1dx
x
等于
A．2ln2
−
B．2ln2 C．
ln2
−
D．ln2
12．（ 2010 新课标）曲线
3
y
2
1
x
x
=
−
+
在点(1,0) 处的切线方程为
A．
1
y
x
=
− B．
1
y
x
= −+ C．
2
2
y
x
=
−
D．
2
2
y
x
= −
+
13．（2010 辽宁）已知点P
在曲线y=
4
1
x e +
上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的
取值范围是
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A
[0,
．
4
)
B
．
[
,
)
4 2
C．
3
(
,
]
2
4
D．3
[
, )
4
二、填空题
14．(2018 全国卷Ⅱ)曲线
2ln(
1)
=
+
y
x
在点
(0, 0) 处的切线方程为__________
．
15．(2018 全国卷Ⅲ)曲线
(
1)
x
y
ax
e
=
+
在点(0,1) 处的切线的斜率为2
−，则a = ____
．
16．(2016 年全国Ⅱ)若直线
y
kx
b
=
+
是曲线
ln
2
y
x
=
+
的切线，也是曲线
ln(
1)
y
x
=
+
的
切线，则 b =
．
17．(2016 年全国Ⅲ) 已知
( )
f x 为偶函数，当 0
x
时，
( )
ln(
)
3
f x
x
x
=
−
+
，则曲线
( )
y
f x
=
，在点
(1, 3)
−
处的切线方程是_________．
18．（ 2015 湖南）
2
0
(
1)
x
dx
−
=
．
19．（2015 陕西）设曲线
x
y
e
=
在点（0,1）处的切线与曲线
1 (
0)
y
x
x
=
上点P 处的切线
垂直，则P 的坐标为
．
20．（2015 福建）如图，点A的坐标为 (
)
1,0 ，点C 的坐标为 (
)
2,4 ，函数
( )
2
f x
x
=
，若
在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
．
（第
题）
（第
15
17 题）
21．（ 2014 广东）曲线
2
5 +
=
−x
e
y
在点
)3,0
(
处的切线方程为
．
22．（ 2014 福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，
则他落到阴影部分的概率为
．
______
23．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
x
b
ax
y
+
=
2
(a，b 为常数过点
)
)
5
,2
( −
P
，
且该曲线在点
处的切线与直线
P
0
3
2
7
=
+
+
y
x
平行，则 b
a +
的值是
．
24．（ 2014 安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)
(i 直线l在点
(
)
0
0 , y
x
P
处与曲线C 相切；
)
(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称
直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的
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编号)
①直线
0
:
=
y
l
在点
(
)0,0
P
处“切过”曲线C ：
3
y
x
=
②直线
1
:
−
=
x
l
在点
(
)
0,1
−
P
处“切过”曲线C ：
2
)1
( +
= x
y
③直线
x
y
l
=
:
在点
(
)0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
sin
=
④直线
x
y
l
=
:
在点
(
)0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
tan
=
⑤直线
1
:
−
= x
y
l
在点
(
)
0,1
P
处“切过”曲线C ：
x
y
ln
=
．
25．（2013 江西）若曲线
1
y
x
=
+ （
R
）在点(1,2) 处的切线经过坐标原点，则= ．
26．(2013 湖南)若
2
0
9,
T
x dx
T
=
则常数的值为 ．
27．（ 2013 福建）当
,
1
x
R x
时，有如下表达式:
2
1
1
...
...
.
1
n
x
x
x
x
+
+
+
+
+
= −
两边同时积分得：
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1
1
...
...
.
1
n
dx
xdx
x dx
x dx
dx
x
+
+
+
+
+
=
−
从而得到如下等式：
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
...
( )
...
ln 2.
2
2
2
3
2
1
2
n
n
+
+
+
+
+
+
=
+
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：
0
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
2
2
2
3
2
1
2
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
+
+
+
++
+
=
．
28．（ 2012 江西）计算定积分
1
2
1
(
sin )
x
x dx
−
+
=
___________
．
29．
（2012 山东）设
0
a
，若曲线
x
y =
与直线
0
,
=
=
y
a
x
所围成封闭图形的面积为
2
a ，
则
=
a
．
30．（ 2012 新课标）曲线
(3ln
1)
y
x
x
=
+
在点(1,1)处的切线方程为________
．
31．（ 2011 陕西）设
2
0
lg
0
( )
3
0
a
x
x
f x
x
t dt
x
= +
„
，若
( (1))
1
f f =
，则a =
．
32．（2010 新课标）设
( )
y
f x
=
为区间[0,1] 上的连续函数，且恒有
0
( )
1
f x
，可以用
随机模拟方法近似计算积分
1
0
( )
f x dx
，先产生两组（每组N 个）区间[0,1] 上的均匀
随机数
1
2
,
,
N
x x
x
…
和
1
2
,
,
N
y y
y
…
，由此得到N 个点
( ,
)(
1,2,
)
i
i
x y
i
N
=
…,
，再数出其中
满足
( )(
1,2,
)
i
i
y
f x
i
N
=
…,
的点数
1
N ，那么由随机模拟方案可得积分
1
0
( )
f x dx
的
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近似值为
．
33
2010
．（
江苏）函数
2
y
x
=
( 0
x
)的图像在点
2
(
,
)
k
k
a a
处的切线与x 轴交点的横坐标为
1
k
a + ，其中
*
k
N
，若
1
16
a =
，则
1
3
5
a
a
a
+
+
=
．
三、解答题
34．（ 2017 北京）已知函数
( )
cos
x
f x
e
x
x
=
−
．
（Ⅰ）求曲线
( )
y
f x
=
在点
(0,
(0))
f
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数( )
f x
在区间
[0,
]
2
上的最大值和最小值．
35．(2016
)
年北京设函数( )
a x
f x
xe
bx
−
=
+
，曲线
( )
y
f x
=
在点
(2,
(2))
f
处的切线方程为
(
1)
4
y
e
x
=
−
+
，
（）求
I
a ，b 的值；
（）求
II
( )
f x 的单调区间.
36．（
）设函数
2015 重庆
2
3
( )
(
)
ex
x
ax
f x
a
R
+
=
．
（Ⅰ）若( )
f x 在 0
x =
处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线
( )
y
f x
=
在点
(1,
(1))
f
处的切线方程；
（Ⅱ）若
( )
f x 在
[3,
)
+上为减函数，求a 的取值范围．
37．（ 2015 新课标Ⅰ）已知函数
3
1
( )
4
f x
x
ax
=
+
+
，
( )
ln
g x
x
= −
．
（）当
Ⅰ
a 为何值时，x 轴为曲线
( )
y
f x
=
的切线；
（Ⅱ）用min
,
m n 表示m ，n 中的最小值，设函数
( )
min
( ), ( )
h x
f x g x
=
(
0)
x
，讨论( )
h x 零点的个数．
38．(2014 新课标Ⅰ设函数
)
1
( )
ln
x
x
be
f x
ae
x
x
−
=
+
，曲线
( )
y
f x
=
在点
(1,
(1))
f
处的切线
为
(
1)
2
y
e x
=
−
+
．
(
)
Ⅰ求,a b；
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（Ⅱ）证明：
( )
1
f x
．
39．（ 2013 新课标Ⅱ）已知函数
( )
(
)
ln
x
f x
e
x
m
=
−
+
(
)
Ι 设 0
x =
是
( )
f x 的极值点，求m ,并讨论
( )
f x 的单调性；
（Ⅱ）当
2
m 时，证明
( )
0
f x
．
40．（
辽宁）设
2012
( )
(
)
(
)
=ln
+1 +
+1+
+
,
, ,
f x
x
x
ax b a b
R a b
为常数，曲线
( )
=
y f x 与
直线
3
= 2
y
x 在 (
)
0,0 点相切．
（）求
1
,a b的值；
（）证明：当
2
0< <2
x
时，
( )
9
< +6
x
f x
x
．
41．（ 2010 福建）（）已知函数
1
3
( )=
f x
x
x
−
，其图象记为曲线C ．
（）求函数
i
( )
f x 的单调区间；
（）证明：若对于任意非零实数
ii
1x
，曲线
与其在点
C
1
1
1
( , ( ))
P x f x
处的切线交于另一
点
2
2
2
(
, (
))
P x f x
，曲线
与其在点
C
2
2
2
(
, (
))
P x f x
处的切线交于另一点
3
3
3
( , (
))
P x f x
，
线段
1
2
2
3
,
PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为
1,
2
S S ，则
1
2
S
S
为定值；
（）对于一般的三次函数
2
3
2
( )
g x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+
(
0)
a
，请给出类似于（1）（ii）
的正确命题，并予以证明．
