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模块三 三角函数（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
即
，两边平方可得
，
解得
.
故选：A
2．若关于 x 的方程
在
内有两个不同的解
，
， 则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】关于
的方程
，则
，
当
，所以
或
，则
或
.
设
，所以
，则
，
故选：A.
3．已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，
又
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：D
4．设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
．
因为
，所以
，
所以
，则
．
故选：B.
5．已知
，
是函数
的一条对称轴，
，则下列
说法中正确的是（ ）
A．
是
的一条对称轴
B．
为
的一个对称中心
C．
与y 轴的交点为
D．
在
上单调递增
【答案】B
【解析】由题意，
，
令
，
，解得
的对称轴为
，
，
又
是
的一条对称轴，可得
，
所以
，
，故A 错误，B 正确；
又
，所以
与
轴交点为
，故C 错误；
当
时，则
，由余弦函数性质，
在
上单调递减，故D 错误.
故选：B.
6．如图，直线
与函数
的图象的三个相邻的交点为A，B，
C，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以相邻两对称轴间的距离
，即周期
，所以
，
排除BD，
当
时，代入
，可得
，满足题意，
代入
，可得
，不符合题意，
故A 正确C 错误.
故选：A
7．已知函数
给出下列结论：
①
的周期为
；
②
时
取最大值；
③
的最小值是
；
④
在区间
内单调递增；
⑤把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
其中所有正确结论的序号题（ ）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③
【答案】B
【解析】因为
.
①因为
，所以①正确；
②因为
，所以②错误；
③当
，即
时，
取最小值，且最小值是
，所以③正确；
④当
时，由
知
在区间
内并不单调，故④错误；
⑤把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，
可得到函数
，故⑤错误.
故正确的是①③.
故选：B.
8．已知函数
（
）在
上恰有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为：
，所以：
，
令：
，则得：
.
因为：
在
上有
个零点，
所以：
，解得：
.
故
的取值范围为：
，故B 项正确.
故选：B.
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．关于函数
的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．
是函数
的一条对称轴
B．
是函数
的一个对称中心
C．将曲线
向左平移
个单位可得到曲线
D．函数
在
的值域为
【答案】ABD
【解析】依题意，因为
令
，
，当
时，
，
所以
是函数
的一条对称轴，所以
选项正确；
（另因为
，即当
时，函数
取得最大值，所以
是函数
的一条对称轴）；
令
，
，当
，
所以
是函数
的一个对称中心，所以
选项正确；
（另因为
，即
是函数
的零点，所以
是函数
的一个对称中心）．
因为
，
又将曲线
向左平移
个单位可得到曲线
，所以
选项不
正确；
因为
，
当
， 有
，则
，
得函数
的值域为
，所以
选项正确.
故选：ABD
10．函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
的一条对称轴方程为
D．
的单调递增区间为
【答案】AD
【解析】由图像知函数
的最小值为-2，最大值为2，
所以
，
又函数半个周期为
，所以A 正确；
又
，
因为
，所以
，则B 错误；
所以
，
则对称轴为
，
所以
不为其对称轴，即C 错误；
因为
，
所以其单调递增区间为
，所以D 正确；
故选：AD
11．已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是
的一个单调递增区间
C．
D．当
时，
【答案】ACD
【解析】因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以
是偶函数，故A 正确；
因为
，所以
，
且
，所以
不是函数的递增区间，故B 不正确；
，故C 正确；
因为当
时，
，所以
，
同理，当
时，
，即
时，
，故D 正确.
故选：ACD.
12．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为1
B．
的图象关于点
对称
C．
在
上单调递增
D．存在
，使得
对任意的
都成立
【答案】ABC
【解析】A 选项
，且
，A 正确；
B 选项：
，
因为
，所以
的图象关于点
对称，B 正确；
C 选项：当
时，
，
，
在区间
上单调递增，C 正确；
D 选项：若存在
，使得
对任意的
都成立，
取
得
，即
，
取
得
，即
，所以
，
由
，得
，所以
，由B 选项知
，
得
，不符合题意，所以不存在
，
使得
对任意的
都成立，D 错误．
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知函数
的图象如图，若
到
轴的距离均为，且点
的横坐标为
，
，则
．
【答案】
【解析】设
，
，
，
，
，解得：
，
，
，
解得：
，
，
.
故答案为：
.
14．已知函数
，其中
为实数，且
，若
对
恒成立，且
，则
的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】由
对
恒成立知，
，
得到
或
，
因为
，所以
或
，
当
时，
，
此时
，
，
，不合题意，舍，
当
时，
，
此时
，
，
，符合题意，
所以
，
所以由
得
，
所以
的单调递增区间是
.
故答案为：
15．函数
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
且有
，当
时，函数
的最小值为
.
故答案为：
16．已知函数
(
)在区间
上是严格增函数，且其图像关于点
对称，则
的值为
．
【答案】
或
【解析】因为
，则
，函数
(
)在区间
上是严格增函数，
所以
，即
；
又因为
的图像关于点
对称，则
（
），则
（
），
所以
（
），解得
（
），
结合
，所以
或
.
故答案为：
或
.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值
【解析】（1）
，
则
，
又
，则有
；
（2）
，
则
，由
，故
、
，
即
，
则有
、
，
则
.
18．（12 分）
已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和值域；
(2)若
，求函数
的单调递增区间.
【解析】（1）因为
，
故
的最小正周期为
，值域为
.
（2）令
，解得
.
又
，则
的单调递增区间为
，
.
19．（12 分）
函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象，求函数
在
上的值域.
【解析】（1）观察图象可得
，函数
的周期
，解得
，
即
，由
，得
，
即
，
，
而
，则
，
所以函数
的解析式是
.
（2）将
的图象向左平移
个单位长度，
可得到函数
的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，
得到函数
的图象，则
，
当
时，
，则
，
所以
，
因此
在
上的值域为
.
20．（12 分）
已知向量
，
，其中
，
，且函数
的对称轴间
的距离最小值为
.
(1)求
的解析式；
(2)方程
在
上有且仅有两个不同的实数解，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
，
由于函数
的对称轴间的距离最小值为
，
从而函数
的最小正周期为
，所以
.，
综上，
.
（2）
，
，
，
当
时，
单调递增，此时
，
当
时，
单调递减，此时
，
所以满足条件的
取值范围为
.
21．（12 分）
已知向量
，向量
，
．
(1)求函数
的单调增区间；
(2)若
在
上有唯一的零点，求
的取值范围．
【解析】（1）
，
令
，解得
，
故
的单调增区间为
；
（2）
，
当
，
，
因为
在
上有唯一的零点，
所以
，解得
.
22．（12 分）
已知函数
．
(1)求
的最大值及相应
的取值集合：
(2)设函数
，若
在区间
上有且仅有1 个极值点，求
的取值范围．
【解析】（1）依题意，
，
当
，即
时，
，
此时，
的取值集合为
．
（2）由（1）知，
，
当
时，
，由
在区间
上有且仅有1 个极值点，
得
，解得
，
所以
的取值范围是
．
