文档文本内容
1
锐角三角函数
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1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示方法；
2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；
3、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般的思维能力．
1．锐角三角函数的定义
在Rt
ABC
△
中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作sinA．
即sinA= A
∠
的对边斜边=ac．
（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作cosA．
即cosA= A
∠
的邻边斜边=bc．
（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的______，记作tanA．
即tanA= A
∠
的对边∠A 的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是___值．
（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤A≤90°
∠
间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
3．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+ B=90°
∠
时，正余弦之间的关系为：
（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°
A
∠
﹣
）；
（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°
A
﹣∠）；
也可以理解成若∠A+ B=90°
∠
，那么sinA=cosB 或sinB=cosA．
参考答案：
1.（1）正弦；（2）余弦；（3）正切
2.（1）正
3.（1）余弦 正弦
2
1. 正弦．
【例1】（2014•河北廊坊三中期末）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ABC
∠
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先过点A 向BC 引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可．
【解答】解：过点A 向BC 引垂线，与BC 的延长线交于点D．
在Rt
ABD
△
中，AD=2，BD=4，
AB=
∴
=2
，
sin ABC=
∠
=
．
故选C．
练1. 如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：由正弦的定义知，sinB=
= ．
故选B．
练2. 在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理就可以求出AC．再根据三角函数即可解决．
【解答】解：由勾股定理知，AC=
=
=5，
sinB=
∴
=
．
故选C．
2. 余弦．
3
【例2】（2015•湖南益阳中学月考）如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA 的
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可．
【解答】解：∵Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=2，
cosA=
∴
= ．
故选B．
练3. 已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B，PA=4，OA=3，则cos APO
∠
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据切线的性质，△OAP 是直角三角形，根据勾股定理就可以求出OP=5，则可以求得
cos APO
∠
的值．
【解答】解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，
OA AP
∴
⊥
．
又PA=4，OA=3，∴OP=5．
cos APO=
∴
∠
．
故本题选D．
3. 正切．
【例3】（2014•北京第十四中学期中）在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA 的值是（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：tanA=
，
AC=2BC
∵
，
tanA=
∴
．
故选A．
练4. 如图，已知⊙O 的半径为5cm，弦AB 的长为8cm，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm，则
tan OPA
∠
等于（ ）
4
A．
B．
C．2
D．
【分析】作OC AB
⊥
，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：作OC AB
⊥
于C 点．
根据垂径定理，AC=BC=4．
在Rt
OCP
△
中，有CP=4+2=6，OC=
=3．
故tan OPA=
∠
= ．
故选D．
4．互余两角三角函数的关系．
【例4】（2014•海口一中期末）在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，sinA= ，则cosB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用同角、互为余角的三角函数关系式．
【解答】解：∵A、B 互为余角，
cosB=sin
∴
（90°
B
﹣）=sinA= ．
故选D．
练5. 在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sinA=sinB
B．tanA=tanB
C．sinA=cosB
D．cosA=cosB
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：设Rt
ABC
△
的两直角边分别为a、b，斜边为c，
则sinA= ，cosB= ．
sinA=cosB
∴
．
故选C．
5．锐角三角函数的增减性．
【例5】（2015•北京一六一中学期末）已知α 为锐角，则m=sinα+cosα 的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1
D．m≥1
【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边
关系进行分析．
【解答】解：设在直角三角形ABC 中，∠A=α，∠C=90°，
5
故sinα= ，cosα= ；
则m=sinα+cosα=
＞1．
故选A．
练6．已知A 为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30°
D．30°≤A＜90°
【分析】首先明确cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cos60°= ，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∠A 是锐角，
60°≤A
∴
＜90°．
故选B．
1．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB 的值为（ ）
A．
B ．
C．
D．
2．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC 的长是（ ）
A．
B．3 C．
D．
3．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=3，AB=5．则cosB 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt
ABC
△
中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinB=
B．cosB=
C．tanB=2
D．cotB=
6．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA=sinB
B．cosA=sinB
C．sinA=cosB
D．sin（A+B）=sinC
7．在RT
ABC
△
中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是
（ ）
A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=b•tanB D．b=
6
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1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则cosB 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦且CD AB
⊥
，BC=6，AC=8，则sin ABD
∠
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB=
B．cosB=
C．tanB=
D．cotB=
6．如图，CD 是Rt
ABC
△
斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos BCD
∠
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）
7
A．
B．
C．
D．
8．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，E 是BC 的中点，AE 交BC 于点D，DF AB
⊥
于
F，F 为垂足，连接CF．
（1）判断△CDF 的形状，并证明你的结论；
（2）若AC=8，cos CAB=
∠
，求线段BC 和CD 的长．
8
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理就可以求出AC．再根据三角函数即可解决．
【解答】解：由勾股定理知，AC=
=
=5，
sinB=
∴
=
．
故选C．
2．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】先根据BC=2，sinA= 求出AB 的长度，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA=
= ，BC=2，
AB=3
∴
．
AC=
∴
=
=
．
故选A．
3．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可以求出AB 的长，再根据三角函数的定义就可以求出函
数值．
【解答】解：由勾股定理知，AB=
=5．
sinA=
∴
= ．
故选B．
4．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
BC=4
∴
，
cosB=
∴
= ．
故选：D．
家庭作业
1．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般
情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．
9
【解答】解：由图可知，∠α 的对边为3，邻边为4，斜边为
=5，则sinα= ．
故选C．
2．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据余弦的定义知，cosB=
= ．
【解答】解：如图，∵Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
cosB=
∴
= ．
故选B．
3．
【考点】锐角三角函数的定义；
【分析】先根据勾股定理求出BC 的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
BC=
∴
=3，
cosB=
∴
= ．
故选A．
4．
【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理；圆周角定理．
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD= ABC
∠
，再根据勾股定理求得AB=10，即可求
sin ABD
∠
的值．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，CD AB
⊥
，
∴弧AC=弧AD，
ABD= ABC
∴∠
∠
．
根据勾股定理求得AB=10，
sin ABD=sin ABC=
∴
∠
∠
= ．
故选D．
5．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】Rt
ABC
△
中，根据勾股定理就可以求出斜边AB，根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：由勾股定理知，AB=
=
=
．
sinB=
∴
，cosB=
，cotB= ．
故选C．
6．
10
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】易证∠BCD= A
∠，则求cos BCD
∠
的值就可以转化为求∠A 的三角函数值．从而转化为求
△ABC 的边长的比．
【解答】解：由勾股定理得，AB=
=
=5．
由同角的余角相等知，∠BCD= A
∠．
cos BCD=cos A=
∴
∠
∠
= ．
故选D．
7．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】先根据△ABC 的三边关系确定出其形状，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，32+42=52，
ABC
∴△
是直角三角形，且∠C=90°．
tanB=
∴
= ．
故选A．
8．
【考点】等腰三角形的判定；圆周角定理；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】（1）易得∠CAE= BAE
∠
，∠ACB= DFC=90°
∠
，再加上公共边，可证得△CDA
FDA
△
≌
，
即证CD=DF．
（2）利用cos CAB
∠
的值可求得BC 长，设出CD=DF=x，根据勾股定理列出关于x 的方程，
求出方程的解即可得到CD 的长．
【解答】解：（1）等腰三角形．
E
∵
是BC 的中点，
CAE= BAE
∴∠
∠
．
AB
∵
是半圆O 的直径，DF AB
⊥
于F，
ACB= DFA=90
∴∠
∠
．
又∵AD=AD，
CDA
FDA
∴△
△
≌
．
CD=DF
∴
．
（2）∵AC=8，cos CAB=
∠
，
BC=6
∴
．
根据勾股定理得：AB=10，
CDA
FDA
∵△
≌△
．
AC=AF=8
∴
，
FB=2
∴
，
设CD=DF=x，则BD=BC
CD=6
x
﹣
﹣，
根据勾股定理得：x2+22=（6
x
﹣）2，
解得：x=
CD=
∴
．
11
课程顾问签字： 教学主管签字：
