勾股定理的逆定理
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C 是小正方形的顶点,则∠ABC
的度数为
( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
2.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH 四条
线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )[来源:www.shulihua.net]
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(
)
A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那
么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:
.
5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:
①3,4,5;
②5,12,13;
③7,24,25;
④9,40,41;…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
6.若a,b,c 是直角三角形的三条边长,斜边c 上的高的长是h,给出下
列结论:
①以a2,b2,c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以
,
,
的长为边的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h 的长为边
的三条线段能组成直角三角形;④以, , 的长为边的三条线段能组
成直角三角形.[来源:www.shulihua.net]
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题(共26 分)[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
7.(8 分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我
海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile 的A,B 两个基地前去拦截,
六分钟后同时到达C 地将其拦截. 已知甲巡逻艇每小时航行
120nmile,乙巡逻艇每小时航行50nmile,航向为北偏西40°,问:甲
巡逻艇的航向是多少?
8.(8 分)如图,每个小正方形的边长均为1.求四边形ABCD 的面积和
周长(精确到0.1).
【拓展延伸】
9.(10 分)王伟准备用一段长30 米的篱笆围成一个三角形形状的小
圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边
长只能是第一条边长的2 倍多2m.
(1)请用a 表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为7m 吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值
范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,
说出你的围法;若不能,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到:AC=BC=
,AB=
.
∵(
)2+(
)2=(
)2,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC 是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
2.
【
解
析
】
选
B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
所以AB2+EF2=GH2.
3.【解析】选A.设直角三角形的三边分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,扩
大相同倍数后各边分别为na,nb,nc,
因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,[来源:www.shulihua.net]
所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.
4.【解析】逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是
直角三角形,逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:如果三角
形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
答案:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角
三角形
5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2,故第5 组第
一个数是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二个数为x,则第
三个数为x+1,根据勾股定理得:112+x2=(x+1)2,
解得x=60,则得第⑤组勾股数是11,60,61.
答案:11,60,61
6.【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以
a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组
成一个三角形,故错误;②直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c 中c 最
大),而在
,
,
三个数中
最大,如果能组成一个三角形,则有
+
>
成立,即(
+
)2>(
)2,即a+b+2
>c(由a+b>c),则不等
式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以
,
,
的长为边的三条
线段能组成一个三角形,故正确;③a+b,c+h,h 这三个数中c+h 一定
最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,
又∵2ab=2ch=4S△ABC,∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理
即以a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;④
假设a=3,b=4,c=5,则, , 的长为, , ,以这三个数的长为边的三条线
段不能组成直角三角形,故错误.
答案:②③
7. 【解析】AC=120×
=12(nmile),BC=50×
=5(nmile), 又因为
AB=13nmile,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC 是直角三角形,可知
∠CAB+∠CBA=90°,由∠CBA=50°,知∠CAB=40°,所以甲巡逻艇的航
向为北偏东50°.
8.【解析】根据勾股定理得到:
AD=
=
,
AB=
=
,[来源:www.shulihua.net]
CD=
=5;
BC=
=
,
∴四边形ABCD 的周长是
AB+BC+CD+AD=
+
+5+
≈18.8.
连接AC,BD,则AC=
=5.
∵(2
)2+(
)2=52,52+52=(5
)2,
∴AB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.
∴∠ABC 和∠ACD 是直角.
∴四边形ABCD 的面积=直角△ABC 的面积+直角△ACD 的面积=
BC·AB+ AC·CD=17.5.
【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别
联系:(1)两者都与a2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角
形.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这
个直角三角形三边的数量关系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则
是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三
角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方
法.
9.【解析】(1)∵第二条边长为2a +2,
∴第三条边长为30-a-(2a +2)=28-3a.
(2)当a =7 时,三边长分别为7,16,7.
由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.
由
可解得
<a<
,即a 的取值范围是
<a<
.
(3)在(2)的条件下,a 为整数时,a 只能取5 或6.
当a =5 时,三角形的三边长分别为5,12,13.
由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.
当a =6 时,三角形的三边长分别为6,14,10.
由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.
综上所述, 能围成满足条件的小圈, 它们的三边长分别为
5m,12m,13m.
