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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的
度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，
体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定：
(1)sinA=
，这个比叫做∠A 的正弦.
(2)cosA=
，这个比叫做∠A 的余弦.
(3)tanA=
，这个比叫做∠A 的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大
小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写
成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成
等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA、
tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围
是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是
几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即
；
边角关系：锐角三角函数，即
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因
此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，
建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：
； 坡角:
.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系
转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问
题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角
形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
【典型例题】
类型一、锐角三角函数
1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2 倍，则∠A 的正弦值是( )．
A．扩大2 倍 B．缩小2 倍 C．扩大4 倍 D．不变
【答案】 D；
【解析】根据
知sin∠A 的值与∠A 的大小有关，与
的比值有关．
当各边长度都扩大为原来的2 倍时，其
的比值不变．故选D.
【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系．
举一反三：
【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953
关联的位置名称（播放点名称）：例3】
【变式1】已知，如图，
中，
，
，
，求cosA 及tanA．
A
B
C
D
E
【答案】易证点B、C、D、E 四点共圆，△ADE∽△ABC，
cosA=
tanA=
【变式2】如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，请你证明
．
【答案】
证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为R，连结AO 并延长交⊙O 于点D，
连结CD，则∠B＝∠D．
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°．即△ADC 为直角三角形．
∴
，∴
．
同理可证：
，
．
∴
．
类型二、 特殊角三角函数值的计算
2．已知a＝3，且
，则以a、b、c 为边长的三角形面积等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A；
【解析】根据题意知
解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即
，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
所以
．
【总结升华】利用非负数之和等于0 的性质，求出b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三
角形，注意tan45°的值不要记错．
举一反三：
【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953
关联的位置名称（播放点名称）：计算】
【变式】计算：
＋
60°
【答案】原式=
=
类型三、 解直角三角形
3．如图所示，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是AC 上一点，若
，则AD 的长为(
)．
A．2 B．
C．
D．1
【思路点拨】
如何用好
是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角
形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知
直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．
【答案】 A；
【解析】
作DE⊥AB 于点E．
因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以AE＝DE．
又设DE＝x，则AE＝x，由
．
知BE＝5x，所以AB＝6x，由勾股定理知AC2+BC2＝AB2，
所以62+62＝(6x)2，
，AD＝
AE＝
．
【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边
和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解．
类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合
INCLUDEPICTURE
"https://resource.etiantian.com/ett20/resource/99b01980a53a49c1ecacbfc2256cb47b/images/
mb04_080317.gif" \* MERGEFORMATINET
4．（2016•连云港）如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，
tanB=
．
（1）求BC 的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：
=1.4，
=1.7，
=2.2）
【思路点拨】
（1）过A 作AD⊥BC，交BC 的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=
AC=2，由三角函数求出
CD=2
，在Rt△ABD 中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；
（2）在BC 边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=
即可
得出结果．
【答案与解析】
解：（1）过A 作AD⊥BC，交BC 的延长线于点D，如图1 所示：
在Rt△ADC 中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=
AC=2，
CD=AC•cos30°=4×
=2
，
在Rt△ABD 中，tanB=
=
=
，
∴BD=16，
∴BC=BD
CD=16
2
﹣
﹣
；
（2）在BC 边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2 所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD=
=
=
≈
≈0.27≈0.3．
【总结升华】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知
识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．
举一反三：
【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953
关联的位置名称（播放点名称）：例6-例8】
【变式】如图，设P 是矩形ABCD 的AD 边上一动点，
于点E，
于F，
，
．
求
的值．
【答案】如图，sin∠1=
sin∠2=
由矩形ABCD 知∠1=∠2，
则 PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=
，
所以PE+PF= PAsin∠1+ PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1=
类型五、三角函数与实际问题
5．
（2015•保康县模拟）如图，某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且CB=5 米．
（1）求钢缆CD 的长度；（精确到0.1 米）
（2）若AD=2 米，灯的顶端E 距离A 处1.6 米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E 距离地面多少米？
（参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°= ）
【答案与解析】
解：（1）在Rt
BCD
△
中，
，
∴
≈6.7；
（2）在Rt
BCD
△
中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．
过E 作AB 的垂线，垂足为F，
在Rt
AFE
△
中，AE=1.6，∠EAF=180°
120°=60°
﹣
，
AF=
=0.8.
FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7
∴
米．
答：钢缆CD 的长度为6.7 米，灯的顶端E 距离地面7 米．
【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.
6．（2015•攀枝花）如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的
方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以vkm/h 的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口
B 出发，沿北偏东30°的方向以60km/h 的速度驶向小岛C，在小岛C 用1h 加装补给物资后，立即按原来的
速度给游船送去．
（1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1h，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．
【答案与解析】
解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
BCO=90°
∴∠
．
在Rt
BCO
△
中，∵OB=120，
BC=
∴
OB=60，
∴快艇从港口B 到小岛C 的时间为：60÷60=1（小时）；
（2）过C 作CD OA
⊥
，垂足为D，设相会处为点E．
则OC=OB•cos30°=60
，CD= OC=30
，OD=OC•cos30°=90，
DE=90
3v
∴
﹣
．
CE=60
∵
，CD2+DE2=CE2，
∴（30
）2+（90
3v
﹣
）2=602，
v=20
∴
或40，
∴当v=20km/h 时，OE=3×20=60km，
当v=40km/h 时，OE=3×40=120km．
【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题， 理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的
关键.
