1
正多边形与圆
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1.掌握圆内接多边形的性质；
2.掌握内接圆的性质；
3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.
1.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到
三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三
角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角
形三个顶点的距离相等，通常用O 表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的
2 倍，通常用G 表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
2.三角形的内切圆、外接圆
三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形的外心到三角形______________相等
三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
三角形的内心到_________的距离相等
三角形的内心是三角形三角平分线的交点
3.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．
4.正多边形与圆
2
在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n 为整数)边形的中心
角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：
①αn=
； ②an=2Rn·sin
； ③rn=Rn·cos
； ④
+
；
⑤Pn=nan； ⑥Sn=
Pnrn； ⑦Sn=
n
sin
.（因为一个三角形的面积为：
h·OB）
注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；
2.准确记忆相关公式。
参考答案：
1.（1）三个角平分线(2) 三边中垂线
2. 三个顶点的距离, 三角形三边
3.(1) 互补(2) 对边之和相等
1. 利用三角形的内心求角度
【例1】（2014 湖北宜昌一模）如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则
∠BOC=（ ）
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．
【答案】A
练习1. 如图，I 是△ABC 内心，则∠BIC 与∠A 的关系是（ D ）
A. ∠BIC=2∠A
B. ∠BIC=180°－∠A
C. ∠BIC=
D. ∠BIC=
3
【答案】B
练习2.（2014 湖北恩施一模）如图，圆O 是△ABC 的内切圆，与三角形三边分别切于D、E、
F，知∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF= 。
【答案】55°
2. 三角形外接圆问题
【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（ ）
A.0.5R
B.
R
C.
R
D.
R
【解析】正三角形的外接圆边长是半径的√3 倍，圆心与三角形两个顶点的连线是一个顶角
为120°的等腰三角形，可证倍数关系，带入即可。
【答案】B
练习3. 若三角形的三边长分别为1，1 和
，则外接圆的半径为____________。
【答案】
练习4. 等边三角形的边长为4cm，它的外接圆的面积为____________
。
【答案】
3.内切、外接、外切问题的综合
【例3】正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 在劣弧
上不同于点C 得到任意一点，
则∠BPC 的度数是（ ）
4
A.
B.
C.
D.
。
【解析】圆的内接正方形，内心外心重合，可求∠BOC 的度数，利用同弧所对的圆周角是圆
心角的一半，∠BPC 是∠BOC 的一半即可。
【答案】A
练习5．同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（ ）
A. 2：1
B. 1：2
C.
D.
【答案】C
练习6. △ABC 中设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心，⑴若∠A=80° ，则
∠BIC=________ ，∠BOC=________ ．⑵若∠A=a ，则∠BIC=________ ，
∠BOC=________．
【答案】（1）130°，160°（2）90°+
，2a
4.内切圆综合题
【例4】已知：如图，△ABC 三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O 的半径长为r．求
△ABC 的面积S．
【解析】连接圆心和切点，把三角形分成三个小三角形，而且有现成的底和高就可以求出每
个小三角形的面积，加起来可得大三角形的面积。
【答案】解：设△ABC 与⊙O 相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．
∵S△AOB=
AB¿ OD=
AB¿ r，
同理，S△OBC=
BC¿ r，S△OAC=
AC¿ r．
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=
AB¿ r+
BC¿ r+
AC¿ r，
5
则S=
（a+b+c）
¿
r．
练习7．已知：如图，⊙O 内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°， AB=20cm．求BC、AC
的长．
【答案】解：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠ACB，
∵∠BOC=105°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-105°=75°，
∴∠ABC+∠ACB=2×75°=150°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=30°，
∵∠C=90°，AB=20cm，
∴BC=
AB=10cm，
AC=10
cm
练习8．已知：如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O 的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O 的半径r．
【答案】解：如图；
(1)在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB=AC2+BC2=15cm；
四边形OFCD 中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
6
则四边形OFCD 是正方形；
由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=
（AC+BC-AB）；
即：r=
（12+9-15）=3．
(2)当AC=b，BC=a，AB=c，
由以上可得：
CD=CF=
（AC+BC-AB）；
即：r=
（a+b-c）．
则⊙O 的半径r 为：
（a+b-c）．
5. 正多边形和圆
【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。△ABF
是含120°角的等腰三角形，以△ABF 为研究对象即可求。
【答案】解：如图所示，BF＝2，过点A 作AG⊥BF 于G，则FG＝1
又∵∠FAG＝60°
故选B
练习9. 求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.
【解析】外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而
每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 圆的外切（或内接）正多
边形的周长.面积的计算要通过所分成的n 个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单
的一种转化，象四边形的问题一样，正n 边形的问题首先应转化为三角形的问题，转
3
3
2 3
3
2
3
2 2
3
F E
A G D
B C
AF
FG
FAG
sin
1
3
2
2 3
3
7
化是解决数学问题的关键。
【答案】证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O 半径为R,连结O 与正多边形的各顶点及切点,
如图
∵ OM⊥AB,ON⊥BC,……,
∴ S△OAB=
OM·AB＝
R·AB,
S△OBC=
ON·BC＝
R·BC……,
∴ 正多边形ABCD……面积为S=
R(AB+BC+……)=
R·P.
练习10．如图,若正六边形的面积为6
,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.
【解析】如下图，线段OC 是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC 可以将
两图形联系起来。
【答案】解:如图,设AB 是正六边形的一条边长,C 点为切点,CD 为正六边形内切⊙O 的内接正三
角形的一条边长,过O 点作OE⊥CD 于E,分别连结OA、OB、OC、OD.
∴ OC=R, AB=a6, BC=
a6, ∠BOC=30°,
CD=a3, CE=
a3, OE=r3, ∠COE=60°,
8
∵ S6=6·S△OAB, ∴ S6=6×
a6·OC=6
,
∵ OC=BC·cot30°, ∴ OC=
a6,
∴ 6×
a6·
a6=6
, ∴ a6=2, ∴OC=
,
∵ OE=OC·cos60°, ∴ OE=
,
∵ CE=OC·sin60°, ∴ CE=
, ∴ CD=2CE=3,
∴S3=3×
CD·OE, ∴S3=3×
×3×
=
.
练习11. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3
B.
C.
D.
【答案】解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，AD 是高
设
，则AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故选A
【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
之间的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
1
2
3
∶
∶
1
2
3
∶
∶
1
2
3
∶∶
A
O
B D C
OD
r
S
S
S
3
4
6
、
、
S
S
S
3
4
6
S
S
S
6
4
3
S
S
S
6
3
4
S
S
S
4
6
3
9
【解析】设它们的周长为
，则正三角形的边长是
，正四边形的边长为
，正
六边形的边长为
【答案】B
练习12. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M，求证：
（1）
；
（2）
【答案】证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则
∴∠BEA＝36°
（2）
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA
练习13. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
【解析】本题的关键是正六边形的边长等于半径。
【答案】解：∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长
正六边形的周长
l
a
l
3
1
3
a
l
4
1
4
a
l
6
1
6
S
a
l
l
3
3
2
2
2
1
2
60
1
2
1
9
3
2
3
36
sin
S
a
l
S
a
l
l
4
4
2
2
6
6
2
2
2
1
16
6
1
2
60
6
1
2
1
36
3
2
3 3
72
sin
S
S
S
6
4
3
ME
AB
ME
BE
BM
2
·
AB
1
5
360
72
EC
2
5
360
144
EAC
EMA
EAM
ME
AE
AB
1
2
144
72
180
36
72
72
BC
AB
CAB
BEA
，
AB
BE
BM
AB
AB
BE
BM
2
·
a
cm
2
l
a
cm
6
12
10
正六边形的面积
练习14. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
【解析】本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
【答案】解：∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为
cm
∴外接圆的外切正三角形一边上的高为
cm
∴正三角形的边长为
∴正三角形的面积为
1． 三角形的外心是（ ）【答案】B
A. 三条中线的交点
B. 三条中垂线的交点
C. 三条高的交点
D. 三条角平分线的交点
2.正多边形一定是（ ）【答案】A
A. 轴对称图形
B. 中心对称图形
C. 既是中心对称图形又是轴对称图形
D. 都不对
3．如图，两圆相交于A，B 两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D 分别在两圆上，若
∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为（ ）【答案】B
A.35°
B.40°
C.50°
D.80°
4. 从圆外一点向半径为9 的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ）．
【答案】C
A．9
B．9（
-1）
C．9（
-1）
D．9
5.在△ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
【答案】
6. 若正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正____________边形。
【答案】六
7. 已知正多边形的中心角为120°，边长为3，则其半径长为____________。【答案】
S
cm
6
1
2
2
2
3
2
6 3
2
2
3 2
3 2
60
3 2
3
2
2 6
sin
cm
1
2
2 6
2 6
3
2
6 3
2
cm
11
8. 若正三角形和正六边形的面积相等，则它们的边长之比为___________。【答案】
:1
9. 如图，PA、PB 分别切圆O 于 A、B，⑴C 为优弧AB 上的一点，若∠P=50°，则∠ACB= 。
⑵D 为劣弧AB 上的一点，若∠P=50°，则∠ADB= 。【答案】65°，115°
变式：上题中，PA、PB 分别切⊙O 于A、B，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（ ）
A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a
【答案】D
10.△ABC 的内切圆半径为R，△ABC 的周长为L，则△ABC 的面积为 。
变式：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB、BC、CA 的长分别为c 、a、b，则△ABC 的内切圆半径为
。【答案】
RL，变式：
11.边长为a 的正三角形的内切圆的半径为 。【答案】
12. EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A.D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A
的度数．【答案】99°
13.已知：如图，四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 和⊙O 分别相切于L、M、N、P．
求证：AB+CD=AD+BC．
【答案】证明:连接OP,OD,ON.
12
∵AD,CD 分别切圆O 于P,N.
∴OP⊥AD,ON⊥CD.
∵OP=ON;OD=OD;∠OPD=∠OND=90°.
∴Rt⊿OPD≌Rt⊿OND(HL),PD=ND.
同理可证:CN=CM,BM=BL,AL=AP.
∴AL+BL+CN+ND=AP+PD+CM+BM.
(AL+BL)+(CN+ND)=(AP+PD)+(CM+BM).
即AB+CD=AD+BC.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1. 在圆内接四边形ABCD 中，则∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝ 度【答案】90°
2. 一个直角三角形的两直角边长分别为6cm 和8cm，则其外接圆的半径为 cm，内切圆的半径
为 cm。【答案】5cm，2cm
3.圆O 内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF 是__ _____．【答案】正方形
4. (2014 甘肃定西一模)如图，在△ABC 中，
，cosB
．如果⊙O 的半径为
cm ，且经过点B 、C，那么线段AO= cm ．【答案】
（提示：连接OB ，易得：
13
∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠
=
）
5.（2014 湖南怀化期末）如图，
、
分别切⊙
于点
、
，点
是⊙
上一点，且
，则
__ ___度．【答案】60
6.（2014 安徽一模）△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，
则∠AIB 的度数是（ ）【答案】C
A．120° B．125° C．135° D．150°
7.（2014 四川绵阳一中期末）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢
管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( )
【答案】A（提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）
A．50 cm B．25
cm C．
cm D．50
cm
8. 同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ）【答案】D
A.
∶1
B.2∶1
C.1∶2
D.1∶
9.下列说法中，不正确的是( ) 【答案】C
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
14
10．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有( ) 【答案】B (提示：②④错误)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) 【答案】D
（提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=8
）
A．21 B．20 C．19 D．18
12．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．
【答案】760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D、F 是切点 ∴DI⊥AB,IF⊥AC
∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760）
13．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．
【答案】52 (提示：AB+CD=AD+BC)
14．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．
【答案】1150 ( 提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)
15. 如图，AE、AD、BC 分别切⊙O 于点E、D、F，若AD=20，求△ABC 的周长．
15
【答案】 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E
∴AD=AE=20
∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE
∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40
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