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《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是（ ）
A．
B．4 C．8
D．4
2．（2015•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：
，则顶角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝
，BC＝10，则AB 的值是( )．
A．3 B．6 C．8 D．9
第1 题图 第3 题图 第4 题图
4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，
， tan∠DBE 的值是( )．
A.
B.2 C.
D.
5．如图所示，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、AD 的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C 等于( )．
A．
B．
C．
D．
第5 题图 第7 题图
6．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，
，则cosA 的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，先锋村准备在坡角为α 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在
坡面上的距离AB 为( )．
A．5cosα 米 B．
米 C．
米 D．
米
8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．
A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°
二、填空题
9．计算：
________．
10．如图所示，已知Rt△ABC 中，斜边BC 上的高AD＝4，
，则AC＝________．
11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到
，使点
与C 重合，
连接
，则tan∠
的值为________．
第10 题图 第11 题图 第12 题图
12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 米，
，则梯子
长AB＝_______米．
13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的
处，那么tan∠BAD′等于________．
第13 题图 第15 题图
14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．
15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA 等于________．
16．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD
相交于点P，则
的值= ，tan∠APD 的值= ．
三、解答题
17. （2015•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5 米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行
人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原
坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由．
（
≈1.73）
18．如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．
(1)求tan∠ACB 的值；
(2)若M、N 分别是AB、DC 的中点，连接MN，求线段MN 的长．
19．如图所示，点E、C 在BF 上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．
(1)求证：AB＝DE；
(2)若AC 交DE 于M，且AB＝
，ME＝
，将线段CE 绕点C 顺时针旋转，使点E 旋转到AB 上的G 处，
求旋转角∠ECG 的度数．
20. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在BA 的延长线上，直线CD 与⊙O 相切于点D，弦DF⊥AB 于点E，线段
CD＝10，连接BD．
(1)求证：∠CDE＝2∠B；
(2)若BD:AB＝
:2，求⊙O 的半径及DF 的长．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=
，即cos30°=
，
∴BC=8×
=4
；故选：D．
2．【答案】A；
【解析】如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥CB 于D，
依题意得CD：AD=1：
=
：3，
而tan∠DAC=CD：AD，
∴tan∠DAC=
：3，
∴∠DAC=30°，
∴顶角∠BAC=60°．
3.【答案】B；
【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠ACB，
所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB 中，AC＝BC·cos∠BCA＝
，则
．
4.【答案】B；
【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE 中，cosA＝
．
∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，
∴BE＝2k，
∴tan∠DBE＝
．
5.【答案】B；
【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，
∴ CD2+BD2＝BC2．∴ △BDC 是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴
．
6.【答案】C；
【解析】∵
，∴ ∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，
∴
．
7．【答案】B；
【解析】由上图知
，在Rt△ABC 中，
．∴
．
8．【答案】D；
【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A＝
，∠A＝30°；
当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝
，180°－∠BAC＝30°，∠BAC＝150°．
二、填空题
9．【答案】
；
【解析】原式＝
．
10．【答案】5；
【解析】在Rt△ABC 中，．AD⊥BC，所以∠CAD＝∠B．
∴
，∴
，
又∵ AD＝4，∴AC＝5．．
11．【答案】
；
【解析】过
作
于点D，在Rt△
中，设
，则
，BC=2x,BD=3x.
12．【答案】4 ；
【解析】由
，知
，AB＝4 米．
13．【答案】
；
【解析】由题意知
．在Rt△ABD′中，
．
14．【答案】
；
【解析】tan 45°＝1, tan60°＝
，-cos60°＝
，-6tan30°＝
．
设y＝kx+b 经过点
、
，则用待定系数法可求出
，
．
15．【答案】
；
【解析】∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线，
∴AB＝2CD＝2×5＝10，BC＝
，
∴
．
16.【答案】3，2．
【解析】解：∵四边形BCED 是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴
=
=3，
连接BE，
∵四边形BCED 是正方形，
∴DF=CF=
CD，BF=
BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=
CF=
BF，
在Rt△PBF 中，tan∠BPF=
=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2，
三、解答题
17.【答案与解析】
解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5，
∵i=1：1，∴AB=5，
在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，
tan30°=
，
∴
=
，
解得DB=
=5×1.73≈8.65，
∵BM=7+5=12，BD≈8.65，
∴12﹣8.65＞3，
所以，离原坡脚7m 的建筑物无需拆除．
18.【答案与解析】
(1)如图所示，作AE⊥BC 于E，
则BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝
．
AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝
．
∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．
∴在Rt△ACE 中，tan∠ACB＝
(2)作DF⊥BC 于F，则AE∥DF，
∵ AD∥EF，∴ 四边形AEFD 是矩形．AD＝EF．
∵ AB＝DC，∴ ∠B＝∠DCF．
又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．
∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．
∴MN＝
(AD+BC)＝
×(4+12)＝8．
19.【答案与解析】
(1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．
又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．
(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．
∴∠CME＝∠A＝90°．
∴AC＝AB＝
，MC＝ME＝
．∴CG＝CE＝2．
在Rt△CAG 中，
，∴∠ACG＝30°．
∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．
20.【答案与解析】
(1)连接OD，∵直线CD 与⊙O 相切于点D，
∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．
又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．
∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；
∴∠CDE＝2∠B．
(2)连接AD．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°．
∵BD:AB＝
:2，∴在Rt△ADB 中，
，
∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．
又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO 中，CD＝10，
∴ OD＝10tan 30°＝
．即⊙O 的半径为
．
在Rt△CDE 中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin 30°＝5．
∵ 弦DF⊥直径AB 于点E，∴ DE＝EF＝
DF，∴ DF＝2DE＝10．
