文档文本内容
1
特殊角的三角函数值
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；
2、通过自主探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、比较、分析、概括的
思维能力；
3、通过数学活动，产生好奇心，培养学生独立思考的习惯，锻炼克服困难的意志．
1．特殊角的三角函数值
特指___、_____、_____角的各种三角函数值．
sin30°= ； cos30°=
；tan30°=
；
sin45°=
；cos45°=
；tan45°=1；
sin60°=
；cos60°= ； tan60°=
；
2．特殊角的三角函数值的应用
（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，
一是按值的变化规律去记，正弦逐渐_______，余弦逐渐_______，
正切逐渐_______；
二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（2）特殊角的三角函数值应用广泛，
一是它可以当作数进行运算，
二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
参考答案：
1. 30°、45°、60°
2.（1）增大 减小 增大
1. 30°角的三角函数值．
【例1】（2014•黑龙江绥化三中期末）sin30°=（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
2
【解答】解：sin30°= ．
故选C．
练1. 3tan30°的值等于（ ）
A．
B．3
C．
D．
【分析】直接把tan30°=
代入进行计算即可．
【解答】解：原式=3×
=
．
故选A．
练2. 下列运算：sin30°=
，
=2
，π0=π，2
2
﹣=
4
﹣，其中运算结果正确的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据特殊角三角函数值，可判断第一个；
根据算术平方根，可判断第二个；
根据非零的零次幂，可判断第三个；
根据负整数指数幂，可判断第四个．
【解答】解：sin30°= ，
=2
，π0=1，2
2
﹣= ，
故选：D．
2. 45°角的三角函数值．
【例2】（2015•河北邢台一中月考）cos45°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：cos45°=
．
故选B．
练3. 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A．
B．1
C．
D．
【分析】首先根据cos45°=sin45°=
，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，
求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°=sin45°=
，
cos
∴
245°+sin245°
=
=
3
=1．
故选：B．
3. 60°角的三角函数值．
【例3】（2014•北京顺义牛栏山中学期中）tan60°的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】解：tan60°=
．
故选C．
练4. sin60°=（ ）
A．
B．
C．1
D．
【分析】利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果．
【解答】解：sin60°=
，
故选D
4．特殊角的三角函数值的应用
【例4】（2014•山东泰安一中期末）如图，一电线杆AB 高为10 米，当太阳光线与地面的夹角为
60°时，其影长AC 约为（ ）（
取1.732，结果保留3 个有效数字）
A．5.00 米
B．8.66 米
C．17.3 米
D．5.77 米
【分析】直接运用特殊角的三角函数求解即可．
【解答】解：在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°．
tan60°=
∵
=
，
AC=
∴
≈5.77 米．
故选D．
练5. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20 厘米，时钟的中心在长
方形对角线的交点上，数字2 在长方形的顶点上，数字3，6，9，12 标在所在边的中点上，
如图所示．
（1）当时针指向数字2 时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1 的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、反
映解题思路的辅助线）；
（4）问长方形的长应为多少？
4
【分析】画出图形，根据钟表表盘的特征解答．
【解答】解：（1）时针与分针的夹角是2×30°=60°；
（2）如图，设长方形对角线的交点为O，数字12、2 在长方形中所对应的点分别为
A、B，连接OA、OB．
方法一：作∠AOB 的平分线，交AB 于点C，则点C 处为数字1 的位置．
方法二：设数字1 标在AB 上的点C 处，连接OC，则∠AOC=30°，AC=OA•tan30°=
，由此可确定数字1 的位置；
（3）如图所示：
（4）∵OA=10，∠AOB=60°，∠OAB=90°，tan60°=
，
AB=OA•tan60°=10
∴
，
∴长方形的长为
厘米．
5．特殊角的三角函数值的综合计算．
【例5】（2015•北京回民中学期末）计算：﹣23×2
2
﹣+
+tan45°﹣（4sin60°+1）0
|2
3
﹣﹣
|．
【分析】根据幂运算的性质知：﹣23×2
2
﹣=
2
﹣3+（﹣2）=
2
﹣，
，tan45°=1，任何不等于
0 的数的0 次幂都等于1，由于2
3
﹣
＜0，故|2
3
﹣
|=﹣（2
3
﹣
）．
【解答】解：原式=
2+3
﹣
+1
1
﹣﹣（3
2
﹣）
=
2+3
﹣
+1
1
3
﹣﹣
+2
=0．
练6．计算：cos60°+|1﹣
|﹣（2
tan30°
﹣
）+（）﹣1
【分析】题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点．在计算时，需
要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
【解答】解：（1）原式=
5
=
=
；
1．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C 的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．在△ABC 中，若角A，B 满足|cosA﹣
|+（1
tanB
﹣
）2=0，则∠C 的大小是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
3． tan45°的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．cos60°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
6．在△ABC 中，如果∠A、∠B 满足|tanA
1|+
﹣
（cosB﹣）2=0，那么∠C= ．
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，sinA=
，则tanB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC 中，若|cosA﹣|+（1
tanB
﹣
）2=0，则∠C 的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
3．计算：cos45°= ．
4．
cos30°的值是 ．
5．sin30°的值为 ．
6．计算：sin260°+cos60°
tan45°=
﹣
．
7．已知在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，sinA=
，则tanB 的值为 ．
8．已知α、β 均为锐角，且满足|sinα﹣|+
=0，则α+β= ．
6
9．在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，则sinA
sinB=
﹣
．
10．△ABC 中，∠A、∠B 都是锐角，若sinA=
，cosB= ，则∠C= ．
11．在△ABC 中，∠B=45°，cosA= ，则∠C 的度数是 ．
12．计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣2）2•（﹣1）0
|
﹣﹣
|．
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】特殊角的三角函数值；
【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可求出sinA、cosB 的值，继而得出∠A、∠B 的度数，
利用三角形的内角和定理，可求出∠C 的度数．
【解答】解：∵∠A，∠B 都是锐角，|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，
sinA=
∴
，cosB= ，
A=30°
∴∠
，∠B=60°，
则∠C=180°
30°
60°=90°
﹣
﹣
．
故选D．
2．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据非负数的性质得出cosA=
，tanB=1，求出∠A 和∠B 的度数，继而可求得∠C 的度
数．
【解答】解：由题意得，cosA=
，tanB=1，
则∠A=30°，∠B=45°，
则∠C=180°
30°
45°=105°
﹣
﹣
．
故选D．
3．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可．
【解答】解：tan45°=1，
即tan45°的值为1．
7
故选：B．
4．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：cos60°= ．
故选：A．
5．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式=（
）2+
×
= +
=2．
故选：A．
6．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】先根据△ABC 中，tanA=1，cosB= ，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC 中，|tanA
1|+
﹣
（cosB﹣）2=0
tanA=1
∴
，cosB=
A=45°
∴∠
，∠B=60°，
C=75°
∴∠
．
故答案为：75°．
家庭作业
1．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=
，设一条直角边BC 为5x，斜边AB 为
13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出
tan B
∠．
【解答】解：∵sinA=
，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC=
=12x，
故tan B=
∠
=
．
故选：D．
8
2．
【分析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内
角和定理可得出∠C 的度数．
【解答】解：由题意，得 cosA= ，tanB=1，
A=60°
∴∠
，∠B=45°，
C=180°
A
B=180°
60°
45°=75°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
．
故选：C．
3．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°=
．
故答案为
．
4．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：
cos30°=
×
=
．
故答案为：
．
5．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：sin30°= ，故答案为．
6．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式=（
）2+
1
﹣
= +
1
﹣
= ．
故答案为：．
7．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=
，设一条直角边BC 为5x，斜边AB 为
13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出
tan B
∠．
9
【解答】解：
sinA=
∵
，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC=
=12x，
故tan B=
∠
=
．
故答案为：
．
8．
【分析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ 的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
【解答】解：∵|sinα﹣|+
=0，
sinα=
∴
，tanβ=1，
α=30°
∴
，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
9．
【分析】根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB 平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA 代入求
出2sinAcosA 的值，代入即可求解．
【解答】解：（sinA+sinB）2=（）2，
sinB=cosA
∵
，
sin
∴
2A+cos2A+2sinAcosA=
，
2sinAcosA=
∴
1=
﹣
，
则（sinA
sinB
﹣
）2=sin2A+cos2A
2sinAcosA=1
﹣
﹣
=
，
sinA
sinB=±
∴
﹣
．
故答案为：± ．
10．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B 的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C 即
可作出判断．
【解答】解：∵△ABC 中，∠A、∠B 都是锐角sinA=
，cosB= ，
A= B=60°
∴∠
∠
．
C=180°
A
B=180°
60°
60°=60°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
．
10
故答案为：60°．
11．
【分析】由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，cosA= ，
A=60°
∴∠
，
C=180°
A
B=180°
60°
45°=75°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
．
12．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．在计算
时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=2×
3+4×1
2
﹣
﹣
=1﹣
．
课程顾问签字： 教学主管签字：
