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八年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（每小题3 分，共36 分．）
1．（3 分）9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．
D．
2．（3 分）二元一次方程2x
y=1
﹣
有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
（3 分）某班抽取期中考试中6 名同学的数学成绩是80，90，50，70，60，80．则众数和中位数
分别是（ ）
A．80，80B．80，75 C．80，70 D．70，75
4．（3 分）已知
是方程kx
y=3
﹣
的一个解，那么k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2
C．1 D．﹣1
5．（3 分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4B．4、5、6C．5、11、12 D．8、15、17
6．（3 分）在直角坐标系中，若点P（a，b）在第二象限中，则点Q（﹣a，﹣b）所在的象限是（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（3 分）已知正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y=kx
k
﹣的图象
大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3 分）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10 穴的分孽数后，计算出样本方差分别为S 甲
2=11，S 乙2=3.4，由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐
C．分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
10．（3 分）下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据3，5，4，2，﹣1 的中位数是3．
③正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
11．（3 分）小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去上学时以每分30m
的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m 的速度行走完剩下的路程，那么
小强离学校的路程s（m）与他行走的时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3 分）如图，四棱柱的高为9 米，底面是边长为6 米的正方形，一只蚂蚁从如图1 的顶点
A 开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
二、填空题（每小题3 分，共12 分．）
13．（3 分）点（﹣2，3）在正比例函数y=kx 的直线上，则k= ．
14．（3 分）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所
在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是 ．
15．
（3 分）某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了3 项素质测试，右表记录
了他们两人的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综合知识三项测试成绩分别
赋予权4，3，2，那么将录用素质测试成绩最高的人员是 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
16．（3 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，AD 平分∠CAB，
DE⊥AB 于点E，则CD= ．
三、解答题（本大题共七个小题，共计52 分）
17．（9 分）化简：
①
②
．
18．（6 分）解方程组：
．
19．（6 分）如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
20．（6 分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50 位学生
进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方
图．如下所示：
组别
次数x
频数（人数）
第1 组
80≤x＜100
6
第2 组
100≤x＜120
8
第3 组
120≤x＜140
a
第4 组
140≤x＜160
18
第5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a= ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）在x≥120 时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为
多少．
21．（7 分）列方程组解应用题：打折前，买10 件A 商品和5 件B 商品共用了400 元，买5 件A
商品和10 件B 商品共用了350 元．
（1）求打折前A 商品、B 商品每件分别多少钱？
（2）打折后，买100 件A 商品和100 件B 商品共用了3800 元．比不打折少花多少钱？
22．（9 分）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
（2）此函数与x 轴的交点是A，与y 轴的交点是B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线y=2x+4 的交点坐标．
23．（9 分）已知四边形OABC 是边长为4 的正方形，分别以OA、OC 所在的直线为x 轴、y 轴，
建立如图1 所示的平面直角坐标系，直线l 经过A、C 两点．
（1）求直线l 的函数表达式；
（2）若P 是直线l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点P 的坐标；
（3）如图2，若点D 是OC 的中点，E 是直线l 上的一个动点，求使OE+DE 取得最小值时点E
的坐标．
八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共36 分．）
1．（3 分）（2014•宁德）9 的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．
D．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：9 的算术平方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
2．（3 分）（2014 秋•昭通期末）二元一次方程2x
y=1
﹣
有无数多个解，下列四组值中不是该方
程的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【分析】根据二元一次方程2x
y=1
﹣
的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代
入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A、把x=1，y=1 代入方程，左边=2
1=1=
﹣
右边，所以是方程的解；
B、把x=2，y=3 代入方程，左边=右边=1，所以是方程的解；
C、把x=
1
﹣，y=
3
﹣代入方程，左边=1=右边，所以是方程的解；
D、把x=
1
﹣，y=
2
﹣代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解．
故选D．
【点评】考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y 的值代入
原方程验证二元一次方程的解．
3．（3 分）（2011 秋•宝安区期末）某班抽取期中考试中6 名同学的数学成绩是80，90，50，70，
60，80．则众数和中位数分别是（ ）
A．80，80B．80，75 C．80，70 D．70，75
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行求解，即可得出答案；．
【解答】解：在这一组数据中80 是出现次数最多的，故众数是80；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是70，80，它们的平均数是75，那么
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是75．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候
一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4．（3 分）（2003•南京）已知
是方程kx
y=3
﹣
的一个解，那么k 的值是（ ）
A．2 B．﹣2
C．1 D．﹣1
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k 的一元一次方程，
从而可以求出k 的值．
【解答】解：把
代入方程kx
y=3
﹣
，得：
2k
1=3
﹣
，
解得k=2．
故选：A．
【点评】解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k 为未知数的方程，利
用方程的解的定义可以求方程中其它字母的值．
5．（3 分）（2015 秋•深圳校级期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形
的是（ ）
A．2、3、4B．4、5、6C．5、11、12 D．8、15、17
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、82+152=172，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．（3 分）（2011 秋•宝安区期末）在直角坐标系中，若点P（a，b）在第二象限中，则点Q（﹣a，
﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据点P 在第二象限判断出a，b 的符号，进而得到﹣a，﹣b 的符号判断出Q 所在象限
即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在第二象限中，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴点Q（﹣a，﹣b）在第四象限，
故选D．
【点评】考查点的坐标的知识；掌握各个象限点的符号的特点是解决本题的关键．
7．（3 分）（2013•西安校级模拟）已知正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而减小，则一次
函数y=kx
k
﹣的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】由于正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x 的增大而减小，可得k＜0，﹣k＞0，然后，判
断一次函数y=kx
k
﹣的图象经过象限即可；
【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x 的增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y=kx
k
﹣的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0 时，图象过一、
二、三象限；当k＞0，b＜0 时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0 时，图象过一、二、四象限；k
＜0，b＜0 时，图象过二、三、四象限．
8．（3 分）（2012 秋•钟山区期末）下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故A 选项错误；
B、
没有意义，故B 选项错误；
C、正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确理解同类二次根式的定义是关键．
9．（3 分）（2001•广州）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10 穴的分孽数后，计算出样本方
差分别为S 甲2=11，S 乙2=3.4，由此可以估计（ ）
A．甲比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐
C．分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
【考点】方差．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定来判断．
【解答】解：∵S 甲2＞S 乙2，
∴乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐．
故选B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较
集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（3 分）（2015 秋•深圳校级期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②数据3，5，4，2，﹣1 的中位数是3．
③正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k）．
④无限小数都是无理数．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用逆命题的定义、中位数的定义、正比例函数的性质及无理数的定义分别判断后即
可确定正确的选项．
【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是真命题，错误．
②数据3，5，4，2，﹣1 的中位数是3，正确．
③正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（0，0）和（1，k），正确．
④无限小数都是无理数，错误，
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解逆命题的定义、中位数的定义、正
比例函数的性质及无理数的定义等知识，难度不大，属于基础题．
11．（3 分）（2016•保康县模拟）小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去
上学时以每分30m 的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m 的速度行走
完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的时间t（min）之间的函数关系用图象
表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．
【解答】解：小强离学校的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而减小，因而选项A、B
一定错误；
他从家去上学时以每分30 米的速度行走了450 米，所用时间应是15 分钟，因而选项C 错误；
行走了450 米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D 正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决问题的关键理解以下两点：①理解图象是反映的是哪
两个变量的关系．②理解函数变量是随自变量的增大是如何变化的．理解一些转折点的实际
意义．
12．（3 分）（2011 秋•宝安区期末）如图，四棱柱的高为9 米，底面是边长为6 米的正方形，一
只蚂蚁从如图1 的顶点A 开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10 米B．12 米C．15 米D．20 米
【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB 的长，找出最
短的即可．
【解答】解：如图，
（1）AB=
=
；
（2）AB=
=15，
由于15＞
，
则蚂蚁爬行的最短路程为15 米．
故选C．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不
同形式展开，再计算．
二、填空题（每小题3 分，共12 分．）
13．（3 分）（2015 秋•深圳校级期末）点（﹣2，3）在正比例函数y=kx 的直线上，则k= ﹣
．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】直接把点（﹣2，3）代入正比例函数y=kx，求出k 的值即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在正比例函数y=kx 的直线上，
∴3=
2k
﹣
，解得k=﹣
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（3 分）（2015 秋•深圳校级期末）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建
立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是 （﹣
3 ，
2 ）
．
【考点】坐标确定位置．菁优网版权所有
【分析】根据“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y 轴，向下平移三个单位的直线是x 轴，
可得平面直角坐标系，根据“炮”的位置，可得点的坐标．
【解答】解：由“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y 轴，向下平移三个单位的直线是x
轴，得
平面直角坐标系
，
“炮“的位置是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y 轴，向下
平移三个单位的直线是x 轴得出平面直角坐标系是解题关键．
15．（3 分）（2012 秋•钟山区期末）某公司招聘广告策划人员一名，对前来应聘的两人进行了
3 项素质测试，右表记录了他们两人的测试成绩：如果公司根据实际需要，对创新、语言、综
合知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2，那么将录用素质测试成绩最高的人员是 小李 ．
素质测试
测试成绩
小赵
小李
创新
70
90
语言
50
75
综合知识
82
36
【考点】加权平均数．菁优网版权所有
【分析】将小赵和小李的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数再比较成绩
即可．
【解答】解：
=
=66；
=
=73．
可见，小李分数高，
故答案为：小李．
【点评】本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求90，75，36 这三个数的平均数，对平
均数的理解不正确．
16．（3 分）（2015 秋•深圳校级期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，
BC=8cm，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点E，则CD=
3cm
．
【考点】角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】先利用勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到DC=DE，然后得出
△ADC≌△ADE，求出AE=AC 与BE 的长，设CD=x，则DE=x，DB=8
x
﹣，在Rt△BDE 中，
利用勾股定理得到BD2=DE2+BE2，即（8
x
﹣）2=x2+42，再解方程即可得到CD 的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC 和Rt△ADE 中，
∵
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB
AE=10
6=4cm
﹣
﹣
，
设CD=x，则DE=x，DB=8
x
﹣，
在Rt△BDE 中，BD2=DE2+BE2，即（8
x
﹣）2=x2+42，
解得x=3，
则CD 的长为3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股
定理以及三角形全等的判定与性质．
三、解答题（本大题共七个小题，共计52 分）
17．（9 分）（2011 秋•宝安区期末）化简：
①
②
．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【分析】（1）首先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法公式计算即可求解；
（2）首先分别利用二次根式的性质、0 指数幂的定义、立方根的定义及绝对值的性质化简，然
后利用实数的运算法则计算即可求解．
【解答】解：（1）原式=
=
=6；
（2）原式=
=
．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6 分）（2015 秋•深圳校级期末）解方程组：
．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①+②得：4x=2，即x=
，
把x=
代入①得：y=
，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．
（6 分）
（2016 春•沧州期末）如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD 平分∠CAE．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．菁优网版权所有
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和角平分线的定义进行做题．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠B=∠EAD（两直线平行，同位角相等）
∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠C（已知）
∴∠EAD=∠DAC（等量代换）
∴AD 平分∠CAE（角平分线的定义）．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
20．（6 分）（2015 秋•深圳校级期末）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师
对八年级（1）班50 位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分
布表和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数x
频数（人数）
第1 组
80≤x＜100
6
第2 组
100≤x＜120
8
第3 组
120≤x＜140
a
第4 组
140≤x＜160
18
第5 组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=
12
；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 三 组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）在x≥120 时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为
多少．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．菁优网版权所有
【专题】图表型．
【分析】（1）根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解；
（2）根据图表数据补全条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义找出第25、26 两人所在的组即可；
（4）用第3、4、5 组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解．
【解答】解：（1）6+8+a+18+6=50，
解得a=12；
（2）补全频率分布直方图如下所示：
（3）∵按照跳绳次数从少到多，第25、26 两人都在第三组，
∴中位数落在第三组；
（4）∵
×100%=72%，
∴该班学生测试成绩达标率为72%．
故答案为：（1）12；（3）三．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（7 分）（2011 秋•宝安区期末）列方程组解应用题：打折前，买10 件A 商品和5 件B 商品
共用了400 元，买5 件A 商品和10 件B 商品共用了350 元．
（1）求打折前A 商品、B 商品每件分别多少钱？
（2）打折后，买100 件A 商品和100 件B 商品共用了3800 元．比不打折少花多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】（1）本题的等量关系可表示为：打折前：10 件A 商品的钱数+5 件B 商品的钱数=400
元；5 件A 商品的钱数+10 件B 商品的钱数=350 元．据此列出方程组求出打折前A 商品、B
商品每件分别多少钱；
（2）先由（1）得出的打折前A 商品、B 商品每件分别多少钱计算出买100 件A 商品和100 件
B 商品共用多少钱与打折后，买100 件A 商品和100 件B 商品共用了3800 元进行比较．
【解答】（1）解：设打折前A 商品每件x 元、B 商品每件y 元，根据题意，得 …（1 分）
由题意得
…（2 分）
解之得
…（3 分）
答：打折前A 商品每件30 元、B 商品每件20 元．…（4 分）
（2）解：打折前，买100 件A 商品和100 件B 商品共用：
100×30+100×20=5000 （元）…（5 分）
比不打折少花：5000
3800=1200
﹣
（元）…（6 分）
答：打折后，买100 件A 商品和100 件B 商品比不打折少花1200 元．…（7 分）
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
22．（9 分）（2015 秋•深圳校级期末）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣
5）
（1）求一次函数的表达式；
（2）此函数与x 轴的交点是A，与y 轴的交点是B，求△AOB 的面积；
（3）求此函数与直线y=2x+4 的交点坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】（1）直接把点（﹣1，1）和点（1，﹣5）代入一次函数y=kx+b，求出k、b 的值即可；
（2）先令y=0 求出x 的值，再令x=0 求出y 的值即可；
（3）联立两直线的解析式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b 的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5），
∴
，解得
，
∴一次函数的表达式为：y=
3x
2
﹣
﹣；
（2）∵令y=0，则x=﹣
；令x=0，则y=
2
﹣，
∴A（﹣
，0），B（0，﹣2），
∴S△AOB=
×
×2=
；
（3）∵解方程组
得，
，
∴此函数与直线y=2x+4 的交点坐标为（﹣
，
）．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析
式一般步骤是解答此题的关键．
23．（9 分）（2012 秋•天桥区校级期末）已知四边形OABC 是边长为4 的正方形，分别以OA、
OC 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图1 所示的平面直角坐标系，直线l 经过A、C 两点．
（1）求直线l 的函数表达式；
（2）若P 是直线l 上的一个动点，请直接写出当△OPA 是等腰三角形时点P 的坐标；
（3）如图2，若点D 是OC 的中点，E 是直线l 上的一个动点，求使OE+DE 取得最小值时点E
的坐标．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】（1）易得A，C 两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析
式；
（2）分别以点O 或点A 为圆心，以OA 长为半径画弧，可得3 个可能的点P，作出OA 的垂直
平分线可得第4 个点P；
（3）易得点O 与点B 关于直线l 对称，那么连接BD，与l 的交点即为点E，得到DB 的解析式
与l 的解析式联立可得E 的坐标．
【解答】解：（1）设直线l 的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得
，
解之得
，
∴直线l 的函数表达式y=
x
﹣+4；
（2）P1（0，4）、P2（2，2）、P3
、P4
；
（3）∵O 与B 关于直线l 对称，
∴连接DB，交AC 于点E，则点E 为所求，此时OE+DE 取得最小值，
设DB 所在直线为y=k1x+b1 （k1≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）
，
解得
∴直线DB 为
，
解方程组：
，得
，
∴点E 的坐标为
．
【点评】考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形
中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；lantin；蓝月梦；玲；sd2011；lanchong；zhxl；郝
老师；天马行空；sjzx；CJX；Liuzhx；sks；lanyan；wdxwwzy；星期八；马兴田（排名不分先后）
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2016 年12 月16 日
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根．记为a．
（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是
非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方
根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根
式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解
题途径，往往能事半功倍．
4．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定
的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中
一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将
这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代
入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x
（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把
求得的x、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的
系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等
或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次
方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任
意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原
方程组的解，用{x=ax=b 的形式表示．
6．二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎
样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a 和b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x 轴（横轴），竖直数轴叫y 轴（纵轴），x 轴一般取向右为正方向，
y 轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x 轴，又属于y 轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，
第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
8．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞
0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
x
①轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=
b
﹣．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平
面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y
的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P
（x，y）的x、y 的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如
果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣bk，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选
取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的
一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b 分别
是与y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得
到．
当b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
11．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
12．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（﹣
，
0）；与y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方
程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y 的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数
y=kx+b，则需要两组x，y 的值．
14．两条直线相交或平行问题
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，
图象相交；当k，b 都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程
组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
15．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
16．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC 是∠AOB 的平分线
则∠AOC=∠BOC=
∠AOB 或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相
等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分
线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2
b2
﹣
，b=c2
a2
﹣
及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每
一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角
三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较
小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其
他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条
边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间
的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解
决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
22．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事
项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
23．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一
组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本
容量不超过100 时，按数据的多少，常分成5～12 组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
24．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一
般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100 时，按数据的多少，常分成5～12
组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方
形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比
值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的
和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的
总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得
不出原始的数据内容．
25．加权平均数
（1）加权平均数：若n 个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…
+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
26．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
27．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
28．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1
x¯
﹣
）2+（x2
x¯
﹣
）2+…+（xn
x¯
﹣
）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
