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八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．）
1．下面图案中是轴对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．点P 与点Q 关于直线m 成轴对称，则PQ 与m 的位置关系（ ）
A．平行B．垂直C．平行或垂直
D．不确定
3．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形，其中一定是轴对称图形
的有 （ ）
A．5 个
B．3 个
C．4 个
D．6 个
4．在下列给出的条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两边一角分别相等B．两角一边分别相等
C．直角边和一锐角分别相等
D．三边分别相等
5．如图，已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是
（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E
C．BC∥EF
D．∠A=∠EDF
6．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．AC 平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10
C．15
D．20
8．将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片
打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共有10 小题，每小题2 分，共20 分.）
9．已知△ABC 与△A′B′C′关于直线L 对称，∠A=40°，∠B′=50°，则∠C= ．
10．△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为12，若AB=5，EF=4，AC= ．
11．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3= ．
12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四块），你认为将
其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
13．如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E，若BC=20cm，则△DEB 的周长
为 cm．
14．如图，FD⊥AO 于D，FE⊥BO 于E，下列条件：
①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE．
其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有 个．
15．如图为6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= °．
16．如图，D 为Rt△ABC 中斜边BC 上的一点，且BD=AB，过D 作BC 的垂线，交AC 于E，若AE=12cm，则DE
的长为 cm．
17．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E，AD 与BE 相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
18．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于
AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．
三、解答题（本大题共10 小题，共76 分.）
19．作图题：画出△ABC 关于直线AC 对称的△A′B′C′．
20．如图，两条公路OA 和OB 相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D，现要修建一个货站P，使货站
P 到两条公路OA、OB 的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：不
写作法，保留作图痕迹，写出结论）
21．如图，点B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
22．如图，AD 是△ABC 一边上的高，AD=BD，BE=AC，∠C=75°，求∠ABE 的度数．
23．已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，
（1）试说明：∠EAC=∠BAD．
（2）若∠BAD=42°，求∠EDC 的度数．
24．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线（如图1），方法如下：
作法：
①在OA 和OB 上分别截取OD、OE，使OD=OE．
②分别以DE 为圆心，以大于
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C
③作射线OC，则OC 就是∠AOB 的平分线
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线（如图2），方法如下：
步骤：
①用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM、ON，使OM=ON．
②分别过M、N 作OM、ON 的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP 为∠AOB 的平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
25．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上
的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG 交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG 的度数．
26．如图：在△ABC 中，BE、CF 分别是AC、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC，在CF 的延长线上截取
CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD=AG；
（2）AD 与AG 的位置关系如何，请说明理由．
27．如图1，在△ABC 中，∠BAC 为直角，点D 为射线BC 上一点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作
正方形ADEF．（1）如图1，则
∠
（2）若AB=AC，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，问CF、BD 有怎样的关系？并说明理由．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论．
28．如图，已知正方形ABCD 中，边长为10cm，点E 在AB 边上，BE=6cm．
（1）如果点P 在线段BC 上以4cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以acm/秒的速
度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒，
①CP 的长为 cm（用含t 的代数式表示）；
②若以E、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方
形ABCD 四边运动．则点P 与点Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点
P 与点Q 第一次在正方形ABCD 的何处相遇？
八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．）
1．下面图案中是轴对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】解：第1，2 个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，
故轴对称图形一共有2 个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．点P 与点Q 关于直线m 成轴对称，则PQ 与m 的位置关系（ ）
A．平行B．垂直C．平行或垂直
D．不确定
【考点】轴对称的性质．
【分析】点P 与点Q 关于直线m 成轴对称，即线段PQ 关于直线m 成轴对称；根据轴对称的性质，有直线
m 垂直平分PQ．
【解答】解：点P 和点Q 关于直线m 成轴对称，则直线m 和线段QP 的位置关系是：直线m 垂直平分PQ．
故选：B．
【点评】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图
形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
3．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形，其中一定是轴对称图形
的有 （ ）
A．5 个
B．3 个
C．4 个
D．6 个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤两条相交直线一定是
轴对称图形；
⑥三角形不一定是轴对称图形．
故选A．
【点评】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合．
4．在下列给出的条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两边一角分别相等B．两角一边分别相等
C．直角边和一锐角分别相等
D．三边分别相等
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 分别进行分析．
【解答】解：A、两边一角分别相等的两个三角形不一定全等，故此选项符合题意；
B、两角一边分别相等可用AAS、ASA 定理判定全等，故此选项不合题意；
C、两角一边对应相等，可用SAS 或AAS 定理判定全等，故此选项不合题意；
D、三边分别相等可用SSS 定理判定全等，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形
全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是
（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E
C．BC∥EF
D．∠A=∠EDF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定方法SAS 是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已
知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B 和∠E，只要求出∠B=∠E 即可．
【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF 和∠BCA=∠F 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC 和△DEF 中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF 和∠F=∠BCA 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF 和∠A=∠EDF 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的
夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．AC 平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三
角形三线合一的性质可得AC 平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
【解答】解：∵AC 垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC 平分∠BCD，EB=DE，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE 和Rt△DCE 中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分
线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10
C．15
D．20
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据题意，观察可得：△ABC 关于AD 轴对称，且图中阴影部分的面积为△ABC 面积的一半，先
求出△ABC 的面积，阴影部分的面积就可以得到．
【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，
∵S△ABC=
×BC•AD=
×4×5=10，
∴阴影部分面积=
×10=5．
故选A．
【点评】考查了轴对称的性质，根据轴对称得到阴影部分面积是解题的关键．
8．将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片
打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】剪纸问题．
【专题】压轴题．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下
角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上
各剪去两个小正方形得到结论．
故选：B．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
二、填空题（本大题共有10 小题，每小题2 分，共20 分.）
9．已知△ABC 与△A′B′C′关于直线L 对称，∠A=40°，∠B′=50°，则∠C=
90°
．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可．
【解答】解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线L 对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠B′=50°，
∵∠A=40°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣50°﹣40°=90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是
任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为12，若AB=5，EF=4，AC=
3
．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=4，
∵△ABC 的周长为12，AB=5，
∴AC=12﹣5﹣4=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的周长的定义，熟记性质是解题的关键．
11．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=
60°
．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】常规题型．
【分析】易证△AEC≌△ADB，可得∠ABD=∠2，根据外角等于不相邻内角和即可求解．
【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAE=∠1，
∵在△AEC 和△ADB 中，
，
∴AEC≌△ADB，（SAS）
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠ABD+∠1，
∴∠3=∠2+∠1=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证
AEC≌△ADB 是解题的关键．
12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四块），你认为将
其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第
2
块．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2 块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4 块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个
三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13．如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E，若BC=20cm，则△DEB 的周长
为
20
cm．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】先根据ASA 判定△ACD≌△ECD 得出AC=EC，AD=ED，再将其代入△DEB 的周长中，通过边长之间
的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为20cm．
【解答】解：∵CD 平分∠ACB
∴∠ACD=∠ECD
∵DE⊥BC 于E，
∴∠DEC=∠A=90°
在△ACD 与△ECD 中，
∵
，
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴AC=EC，AD=ED，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°
∴BE=DE
∴△DEB 的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，FD⊥AO 于D，FE⊥BO 于E，下列条件：
①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE．
其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有
4
个．
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．
【分析】根据题目所给条件可得∠ODF=∠OEF=90°，再加上添加条件结合全等三角形的判定定理分别
进行分析即可．
【解答】解：∵FD⊥AO 于D，FE⊥BO 于E，
∴∠ODF=∠OEF=90°，
①加上条件OF 是∠AOB 的平分线可利用AAS 判定△DOF≌△EOF；
②加上条件DF=EF 可利用HL 判定△DOF≌△EOF；
③加上条件DO=EO 可利用HL 判定△DOF≌△EOF；
④加上条件∠OFD=∠OFE 可利用AAS 判定△DOF≌△EOF；
因此其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有4 个，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
应相等时，角必须是两边的夹角．
15．如图为6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=
135
°．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】观察图形可知∠1 与∠3 互余，∠2 是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
故填135．
【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1 与∠3 互余，∠2 是直角的一半，特别是观察图形的
能力．
16．如图，D 为Rt△ABC 中斜边BC 上的一点，且BD=AB，过D 作BC 的垂线，交AC 于E，若AE=12cm，则DE
的长为
12
cm．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【分析】根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）
来求DE 的长度．
【解答】解：连接BE．
∵D 为Rt△ABC 中斜边BC 上的一点，且BD=AB，过D 作BC 的垂线，交AC 于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE 和Rt△ABE 中，
BD=AB（已知），BE=EB（公共边），
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm．
故填12．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定（HL）以及全等三角形的性质（全等三角形的对应边相
等）．连接BE 是解决本题的关键．
17．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E，AD 与BE 相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=
45
度．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
【解答】解：∵AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC 和Rt△BDF 中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，
先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去
证什么条件．
18．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于
AC 的射线AO 上运动，当AP=
5 或
10
时，△ABC 和△PQA 全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】当AP=5 或10 时，△ABC 和△PQA 全等，根据HL 定理推出即可．
【解答】解：当AP=5 或10 时，△ABC 和△PQA 全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC 时，
在Rt△ACB 和Rt△QAP 中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC 时，
在Rt△ACB 和Rt△PAQ 中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5 或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，
SAS，SSS，HL．
三、解答题（本大题共10 小题，共76 分.）
19．作图题：画出△ABC 关于直线AC 对称的△A′B′C′．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】过点B 作BD⊥AC 于点D，延长BD 至点B′，使DB′=DB，连接AB′，CB′即可．
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
20．如图，两条公路OA 和OB 相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D，现要修建一个货站P，使货站
P 到两条公路OA、OB 的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：不
写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】根据点P 到∠AOB 两边距离相等，到点C、D 的距离也相等，点P 既在∠AOB 的角平分线上，又在
CD 垂直平分线上，即∠AOB 的角平分线和CD 垂直平分线的交点处即为点P．
【解答】解：如图所示：作CD 的垂直平分线，∠AOB 的角平分线的交点P 即为所求，
此时货站P 到两条公路OA、OB 的距离相等．
P 和P1都是所求的点．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留
作图痕迹．
21．如图，点B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA 推出△ABC≌△DEF 即可．
【解答】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22．如图，AD 是△ABC 一边上的高，AD=BD，BE=AC，∠C=75°，求∠ABE 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据HL 推出Rt△BDE≌Rt△ADC，推出∠C=∠BED=75°，根据等腰三角形的性质和三角形的内
角和定理求出∠ABD=∠BAD=45°，∠EBD=15°，即可求出答案．
【解答】解：∵AD 是△ABC 一边上的高，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE 和Rt△ADC 中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠C=∠BED=75°，
∵∠BDE=90°，AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，∠EBD=15°，
∴∠ABE=∠ABD﹣∠EBD=45°﹣15°=30°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题
的关键是推出△BDE≌△ADC，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，
（1）试说明：∠EAC=∠BAD．
（2）若∠BAD=42°，求∠EDC 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用“边边边”求出△ABC 和△ADE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，
然后都减去∠CAD 即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠ADE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和列式求出∠EDC=∠BAD，从而得解．
【解答】（1）证明：在△ABC 和△ADE 中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD，
即：∠EAC=∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，
∴∠EDC=∠BAD，
∵∠BAD=42°，
∴∠EDC=42°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
24．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线（如图1），方法如下：
作法：
①在OA 和OB 上分别截取OD、OE，使OD=OE．
②分别以DE 为圆心，以大于
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C
③作射线OC，则OC 就是∠AOB 的平分线
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线（如图2），方法如下：
步骤：
①用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM、ON，使OM=ON．
②分别过M、N 作OM、ON 的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP 为∠AOB 的平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是
SSS
．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【分析】①根据全等三角形的判定即可求解；
②根据HL 可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断．
【解答】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS．
故答案为SSS；
②小聪的作法正确．
理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP 和Rt△ONP 中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP 平分∠AOB．
【点评】本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．
25．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上
的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG 交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）在△CBF 和△DBG 中，利用SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等
即可证得；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求
解．
【解答】（1）证明：∵在△CBF 和△DBG 中，
，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF 中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF 中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
26．如图：在△ABC 中，BE、CF 分别是AC、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC，在CF 的延长线上截取
CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD=AG；
（2）AD 与AG 的位置关系如何，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由BE 垂直于AC，CF 垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB=∠HEC，由得对顶角相等得
∠BHF=∠CHE，所以∠ABD=∠ACG．再由AB=CG，BD=AC，利用SAS 可得出三角形ABD 与三角形ACG 全等，
由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG，
（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又
∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG 与AD 垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，
∴∠ABD=∠ACG，
在△ABD 和△GCA 中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；
（2）位置关系是AD⊥GA，
理由为：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB=∠GAC，
又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，
∴∠AED=∠GAD=90°，
∴AD⊥GA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
27．如图1，在△ABC 中，∠BAC 为直角，点D 为射线BC 上一点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作
正方形ADEF．（1）如图1，则
∠
CAF
（2）若AB=AC，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，问CF、BD 有怎样的关系？并说明理由．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，即可解题；
（2）易证∠BAD=∠CAF，即可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可解题；
（3）易证∠BAD=∠CAF，即可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可解题．
【解答】证明：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF；
（2）①∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD 和△CAF 中，
，
∴△BAD≌△CAF，（SAS）
∴CF=BD；
②∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD 和△CAF 中，
，
∴△BAD≌△CAF，（SAS）
∴CF=BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BAD≌△CAF 是解题的关键．
28．如图，已知正方形ABCD 中，边长为10cm，点E 在AB 边上，BE=6cm．
（1）如果点P 在线段BC 上以4cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以acm/秒的速
度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒，
①CP 的长为
10﹣4t
cm（用含t 的代数式表示）；
②若以E、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方
形ABCD 四边运动．则点P 与点Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点
P 与点Q 第一次在正方形ABCD 的何处相遇？
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①根据正方形边长为10cm 和点P 在线段BC 上的速度为4cm/秒即可求出CP 的长；
②分△BPE≌△CPQ 和△BPE≌△CQP 两种情况进行解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；
②当△BPE≌△CPQ 时，
BP=PC，BE=CQ，
即4t=10﹣4t，at=6，
解得a=4.8；
当△BPE≌△CQP 时，
BP=CQ，BE=PC，
即4t=at，10﹣4t=6，
解得a=4；
（2）当a=4.8 时，
由题意得，4.8t﹣4t=30，
解得t=37.5，
∴点P 共运动了37.5×4=150cm，
∴点P 与点Q 在点A 相遇，
当a=4 时，点P 与点Q 的速度相等，∴点P 与点Q 不会相遇．
∴经过37.5 秒点P 与点Q 第一次在点A 相遇．
【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论
思想是解题的关键．
