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河南省三门峡市渑池县九年级（上）第二次月考数学试卷
一.选择题（每题3 分，共24 分）
1．如果反比例函数y=
在各自象限内，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1
D．m＞﹣1
2．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任
意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ）
A．
B．C．D．
3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
A．9π
B．27π
C．6π
D．3π
4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．20π
C．50π
D．100π
5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，反比例函数y1= 和正比例函数y2=nx 的图象交于A（﹣1，﹣3）、B 两点，则﹣nx≥0
的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 或0＜x＜1 C．x≤1 或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0 或x≥1
7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（
）
A．
cm
B．9cm C．
cm D．
cm
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平
滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2015
秒时，点P 的坐标是（ ）
A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）
二.填空题：（每小题3 分，共21 分）
9．已知双曲线y=
经过点（﹣1，2），那么k 的值等于 ．
10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为
cm2．
11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6 个红球，5 个绿球．若任意摸出
一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是 ．
12．如图，AB 是直径，弦CD AB
⊥
于点E，∠CDB=30°，⊙O 的半径为
cm，则弦CD 的长为
cm．
13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线
上，那么x1、x2、x3的大
小关系是 ．
14．在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为 ．
15．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE OA
⊥
交
于点E，以点O 为
圆心，OC 的长为半径作
交OB 于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
三.解答题（共75 分）
16．一次函数y=2x+2 与反比例函数y= （k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2 的图象与x 轴
交于B 点．
（1）求点B 的坐标及反比例函数的表达式；
（2）C（0，﹣2）是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断
D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们
背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，
y）落在双曲线上y= 上的概率．
18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布
四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次．
（1）求邓紫棋获第一名的概率；
（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多
少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．如图所示，AB 是⊙O 的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D，连AD．
（1）求直径AB 的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．如图，一次函数y=kx+2 的图象与x 轴交于点B，与反比例函数
的图象的一个交点为
A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A 作AC x
⊥轴，垂足为C，若点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于18，求
P 点的坐标．
21．如图所示，AC 与⊙O 相切于点C，线段AO 交⊙O 于点B．过点B 作BD AC
∥
交⊙O 于点
D，连接CD、OC，且OC 交DB 于点E．若∠CDB=30°，DB=5
cm．
（1）求⊙O 的半径长；
（2）求由弦CD、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B=30°，延长BA 到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若AB=2，求DC 的长．
23．已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（3，2）．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M 作直线MB‖x 轴交y 轴于
点B．过点A 作直线AC y
∥轴交于点C，交直线MB 于点D，当四边形OADM 的面积为6 时，
请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x 轴上是否存在点P，使△OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存
在，请说明理由．
河南省三门峡市渑池县九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3 分，共24 分）
1．如果反比例函数y=
在各自象限内，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1
D．m＞﹣1
【考点】反比例函数的性质．
【分析】如果反比例函数y=
在各自象限内，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是（
）
【解答】解：∵反比例函数y=
的图象在所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小，
m+1
∴
＞0，解得m＞﹣1．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
2．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任
意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ）
A．
B．C．D．
【考点】概率公式；轴对称图形．
【分析】由圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、菱形，
矩形；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、
菱形，矩形；
∴一次过关的概率是：．
故选D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
A．9π
B．27π
C．6π
D．3π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】计算阴影部分圆心角的度数，运用扇形面积公式求解．
【解答】解：根据扇形面积公式，
阴影部分面积=
=27π．故选B．
【点评】考查了扇形面积公式的运用，扇形的旋转．
4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．20π
C．50π
D．100π
【考点】圆锥的计算．
【专题】压轴题．
【分析】圆锥的侧面积为半径为10 的半圆的面积．
【解答】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=π×102÷2=50π，故选C．
【点评】解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．
5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】首先根据mn＞0 确定反比例函数的图象的位置，然后根据m、n 异号确定答案即可．
【解答】解：∵mn＞0，
m
∴、n 异号，且反比例函数y=
的图象位于第一、三象限，
∴排除C、D；
∵当m＞0 时则n＜0，
∴排除A，
m
∵＜0 时则n＞0，
B
∴
正确，
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性
质．
6．如图，反比例函数y1= 和正比例函数y2=nx 的图象交于A（﹣1，﹣3）、B 两点，则﹣nx≥0
的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 或0＜x＜1 C．x≤1 或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0 或x≥1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】求出≥nx，求出B 的坐标，根据A、B 的坐标结合图象得出即可．
【解答】解：∵﹣nx≥0，
∴≥nx，
∵反比例函数y1= 和正比例函数y2=nx 的图象交于A（﹣1，﹣3）、B 两点，
B
∴
点的坐标是（1，3），
∴
nx≥0
﹣
的解集是x＜﹣1 或0＜x＞1，
故选B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的
理解能力和观察图象的能力．
7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（
）
A．
cm
B．9cm C．
cm D．
cm
【考点】正多边形和圆．
【专题】压轴题．
【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE 中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，
∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
AE=BC=x
∴
，CE=2x；
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长EF=DF=4，
由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，
即x2+4x2=（x+4）2+42，
解得，x=4，
R=
∴
cm．
故选C．
【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平
滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2015
秒时，点P 的坐标是（ ）
A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据图象可得移动4 次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．
【解答】解：半径为1 个单位长度的半圆的周长为：
，
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，
∴点P1 秒走个半圆，
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1 秒时，点P 的坐标为（1，1），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2 秒时，点P 的坐标为（2，0），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3 秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4 秒时，点P 的坐标为（4，0），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5 秒时，点P 的坐标为（5，1），
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6 秒时，点P 的坐标为（6，0），
…，
2015÷4=503…3
∵
A
∴
2015的坐标是（2015，﹣1），
故选：B．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解
决问题．
二.填空题：（每小题3 分，共21 分）
9．已知双曲线y=
经过点（﹣1，2），那么k 的值等于 ﹣
3
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=
，求出k 的值即可．
【解答】解：∵双曲线y=
经过点（﹣1，2），
2=
∴
，解得k=
3
﹣．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一
定适合此函数的解析式．
10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为
10π
cm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积
公式求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，
∴圆锥的侧面积= •10π•2=10π（cm2）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底
面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S= •l•R，（l 为弧长）．
11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6 个红球，5 个绿球．若任意摸出
一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是
．
【考点】概率公式．
【分析】设袋中有蓝球m 个，根据蓝球概率公式列出关于m 的方程，求出m 的值即可．
【解答】解：设袋中有蓝球m 个，则袋中共有球（6+5+m）个，若任意摸出一个绿球的概率是，
有
= ，解得m=9，任意摸出一个蓝球的概率是
=0.45．
故答案为：0.45
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．
12．如图，AB 是直径，弦CD AB
⊥
于点E，∠CDB=30°，⊙O 的半径为
cm，则弦CD 的长为
3
cm．
【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
【分析】根据∠CDB=30°，求出∠COB 的度数，再利用三角函数求出CE 的长．根据垂径定理
即可求出CD 的长．
【解答】解：∵∠CDB=30°，
COB=30°×2=60°
∴∠
．
又∵⊙O 的半径为
cm，
CE=
∴
sin60°=
×
= ，
CD=
∴
×2=3（cm）．
【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定理，利用特殊角的三角函数很容易解答．
13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线
上，那么x1、x2、x3的大
小关系是
x 3＜
x 2＜
x 1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】把三个点的坐标代入解析式，分别计算出x1、x2、x3的值，然后比较大小即可．
【解答】解：把点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）代入
得x1=
，x2=﹣
，x3=﹣（a2+1），
所以x3＜x2＜x1．
故答案为x3＜x2＜x1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k 为常数，k≠0）的图
象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
14．在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为
30°
或
150°
．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论．
【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接
AD，BD，易得△AOB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，
OA=OB=6cm
∵
，AB=6cm，
OA=AB=OB
∴
，
OAB
∴△
是等边三角形，
AOB=60°
∴∠
，
C=
∴∠
AOB=30°
∠
，
D=180°
C=150°
∴∠
∠
﹣
，
∴所对的圆周角的度数为：30°或150°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合
图形求解是关键．
15．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE OA
⊥
交
于点E，以点O 为
圆心，OC 的长为半径作
交OB 于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为
+
．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【分析】连接OE、AE，根据点C 为OC 的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO 为等边三角
形，求出扇形AOE 的面积，最后用扇形AOB 的面积减去扇形COD 的面积，再减去S 空白AEC
即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C 为OA 的中点，
CEO=30°
∴∠
，∠EOC=60°，
AEO
∴△
为等边三角形，
S
∴
扇形AOE=
= π，
S
∴
阴影=S 扇形AOB
S
﹣
扇形COD﹣（S 扇形AOE
S
﹣
COE
△
）
=
﹣
﹣（π﹣×1×
）
= π﹣π+
=
+
．
故答案为：
+
．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=
．
三.解答题（共75 分）
16．一次函数y=2x+2 与反比例函数y= （k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2 的图象与x 轴
交于B 点．
（1）求点B 的坐标及反比例函数的表达式；
（2）C（0，﹣2）是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断
D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）在y=2x+2 中令y=0，求得B 的坐标，然后求得A 的坐标，利用待定系数法求得反
比例函数的解析式；
（2）根据平行线的性质即可直接求得D 的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可．
【解答】解：（1）在y=2x+2 中令y=0，则x=
1
﹣，
B
∴
的坐标是（﹣1，0），
A
∵
在直线y=2x+2 上，
A
∴
的坐标是（1，4）．
A
∵（1，4）在反比例函数y= 图象上
k=4
∴
．
∴反比例函数的解析式为：y= ；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
D
∴
的坐标是（2，2），
D
∴（2，2）在反比例函数y= 的图象上．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，用待定系数法确定
函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们
背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，
y）落在双曲线上y= 上的概率．
【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】图表型．
【分析】（1）画出树状图即可得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y= 上的情况数，然后根据概率
公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
；
（2）当x=
1
﹣时，y=
=
2
﹣，
当x=1 时，y= =2，
当x=2 时，y= =1，
一共有9 种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y= 上的有2 种情况，
所以，P= ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布
四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次．
（1）求邓紫棋获第一名的概率；
（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多
少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）三个选手机会均等，得到邓紫棋获第一名的概率；
（2）假设张杰为第一名，列表得出所有等可能的情况数，找出两人中一个人猜中另一个人却
没猜中的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：邓紫棋获第一名的概率为；
（2）假设张杰为第一名，列表如下：
张
韩
邓
张
（张，张）
（韩，张）
（邓，张）
韩
（张，韩）
（韩，韩）
（邓，韩）
邓
（张，邓）
（韩，邓）
（邓，邓）
所有等可能的情况有9 种，两人中一个人猜中另一个人却没猜中的情况有4 种，
则P= ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．如图所示，AB 是⊙O 的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D，连AD．
（1）求直径AB 的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】圆周角定理；角平分线的定义；三角形的面积；含30 度角的直角三角形；勾股定理；扇
形面积的计算．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC 中利用
边角关系、勾股定理来求直径AB 的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4
可以推知OA=OD=2
；然后由角平分线的性质求得
∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积=S 扇形△AOD
S
﹣
AOD
△
．
【解答】解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，
ACB=90°
∴∠
，…（1 分）
B=30°
∵∠
，
AB=2AC
∴
，…（3 分）
AB
∵
2=AC2+BC2，
AB
∴
2= AB2+62，…（5 分）
AB=4
∴
． …（6 分）
（2）连接OD．
AB=4
∵
，∴OA=OD=2
，…（8 分）
CD
∵
平分∠ACB，∠ACB=90°，
ACD=45°
∴∠
，
AOD=2 ACD=90°
∴∠
∠
，…（9 分）
S
∴
AOD
△
= OA•OD= •2
•2
=6，…（10 分）
S
∴
扇形△AOD= •π•OD2= •π•（2
）2=3π，…（11 分）
∴阴影部分的面积=S 扇形△AOD
S
﹣
AOD
△
=3π
6
﹣． …（12 分）
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30 度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题
时，采用了“数形结合”的数学思想．
20．如图，一次函数y=kx+2 的图象与x 轴交于点B，与反比例函数
的图象的一个交点为
A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A 作AC x
⊥轴，垂足为C，若点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于18，求
P 点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】（1）先将点A（2，3）代入反比例函数
和一次函数y=kx+2，求得m、k 的值，
（2）可求得点B 的坐标，设P（x，y），由S
PBC
△
=18，即可求得x，y 的值．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入
，∴m=6．
∴
．（1 分）
把A（2，3）代入y=kx+2，
2k+2=3
∴
．∴
．
∴
．（2 分）
（2）令
，解得x=
4
﹣，即B（﹣4，0）．
AC
x
∵
⊥轴，∴C（2，0）．
BC=6
∴
．（3 分）
设P（x，y），
S
∵
PBC
△
=
=18，
y
∴1=6 或y2=
6
﹣．
分别代入
中，
得x1=1 或x2=
1
﹣．
P
∴
1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5 分）
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题
的关键．
21．如图所示，AC 与⊙O 相切于点C，线段AO 交⊙O 于点B．过点B 作BD AC
∥
交⊙O 于点
D，连接CD、OC，且OC 交DB 于点E．若∠CDB=30°，DB=5
cm．
（1）求⊙O 的半径长；
（2）求由弦CD、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC BD
⊥
，根据垂径定理得到BE
的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径；
（2）结合（1）中的有关结论证明△DCE
BOE
△
≌
，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是
扇形OBC 的面积．
【解答】解：（1）∵AC 与⊙O 相切于点C，
ACO=90°
∴∠
BD AC
BEO= ACO=90°
∵
∥
∴∠
∠
，
DE=EB=
∴
BD=
（cm）
D=30°
∵∠
，
O=2 D=60°
∴∠
∠
，
在Rt
BEO
△
中，sin60°=
OB=5
∴
，即⊙O 的半径长为5cm．
（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，
EBO= D=30°
∴∠
∠
又∵∠CED= BEO
∠
，BE=ED，
CDE
OBE
∴△
△
≌
∴
，
答：阴影部分的面积为
．
【点评】本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理以及全等三角形的判定
方法．能够熟练解直角三角形．
22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B=30°，延长BA 到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若AB=2，求DC 的长．
【考点】切线的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD OC
⊥
．所以连接OC，证∠OCD=90°．
（2）易求半径OC 的长．在Rt
OCD
△
中，运用三角函数求CD．
【解答】（1）证明：连接OC．
OB=OC
∵
，∠B=30°，
OCB= B=30°
∴∠
∠
．
COD= B+ OCB=60°
∴∠
∠
∠
． （1 分）
BDC=30°
∵∠
，
BDC+ COD=90°
∴∠
∠
，DC OC
⊥
． （2 分）
BC
∵
是弦，
∴点C 在⊙O 上，
DC
∴
是⊙O 的切线，点C 是⊙O 的切点． （3 分）
（2）解：∵AB=2，
OC=OB=
∴
=1． （4 分）
∵在Rt
COD
△
中，∠OCD=90°，∠D=30°，
DC=
∴
OC=
． （5 分）
【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接
圆心和该点，证明直线和该半径垂直．
23．已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（3，2）．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M 作直线MB‖x 轴交y 轴于
点B．过点A 作直线AC y
∥轴交于点C，交直线MB 于点D，当四边形OADM 的面积为6 时，
请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x 轴上是否存在点P，使△OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存
在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）将A（3，2）分别代入y= ，y=ax 中，得a、k 的值，进而可得正比例函数和反比例
函数的表达式；
（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3 时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故
反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）由S
OMB
△
=S
OAC
△
= ×|k|=3，可得S 矩形OBDC=12，即OC•OB=12，进而可得m、n 的值，故可
得BM 与DM 的大小；比较可得其大小关系；
（4）先求出A 点坐标，再分OA=OP，OA=AP 及OP=AP 三种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵将A（3，2）分别代入y= ，y=ax 中，得：2= ，3a=2，
k=6
∴
，a= ，
∴反比例函数的表达式为：y= ，
正比例函数的表达式为y= x．
（2）∵
，解得
，
C
∴（3，2）
观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3 时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）BM=DM
理由：∵MN x
∥轴，AC y
∥轴，
∴四边形OCDB 是平行四边形，
x
∵轴⊥y 轴，
OCDB
∴▱
是矩形．
M
∵
和A 都在双曲线y= 上，
BM×OB=6
∴
，OC×AC=6，
S
∴
OMB
△
=S
OAC
△
= ×|k|=3，
又∵S 四边形OADM=6，
S
∴
矩形OBDC=S 四边形OADM+S
OMB
△
+S
OAC
△
=3+3+6=12，
即OC•OB=12，
OC=3
∵
，
OB=4
∴
，
即n=4
m=
∴
= ，
MB=
∴
，MD=3﹣= ，
MB=MD
∴
；
（4）如图，∵S
OAC
△
= OC•AC=3，OC=3，
AC=2
∴
，
A
∴（3，2），
OA=
∴
=
，
∴当OA=OP 时，P1（
，0）；
当OA=AP 时，
AC
x
∵
⊥轴，OC=3，
OC=CP
∴
2=3，
P
∴
2（6，0）；
当OP=AP 时，设P3（x，0），
O
∵（0，0），A（3，2），
x=
∴
，解得x=
，
P
∴
3（
，0）．
综上所述，P 点坐标为P1（
，0），P2（6，0），P3（
，0）．
【点评】此题考查的是反比例函数综合题及正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性
比较强，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
