勾股定理
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.(黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3 和4.则第三边的
长为
( )
A.5
B.
C.
D.5 或
2. 如图, 有一块直角三角形纸板ABC, 两直角边
AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC 沿直线AD折叠,使它落在斜
边AB 上,且点C 落到点E 处,则CD 等于( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
3.(资阳中考)如图,点E 在正方形ABCD 内,满足
∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48
B.60
C.76
D.80[来源:学科网ZXXK]
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.(莆田中考)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方
形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D 的面积分别为
2,5,1,2.则最大的正方形E 的面积是 .
5.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD 是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则
AD=
cm.
[来源:学科网ZXXK]
6.(桂林中考)如图,在△ABC 中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,
则AE= .
[来源:学科网ZXXK]
三、解答题(共26 分)[来源:学§科§网Z§X§X§K]
7.(8 分)已知,如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求
AC 的长.
8.(8 分)在△ABC 中,AB=15,AC=20,BC 边上的高AD=12,试求BC 边的
长.
【拓展延伸】
9.(10 分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.
现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直
角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3 备用)
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
答案解析
1.【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边长为5;
(2)当4 为斜边时,由勾股定理得,第三边长为
,故选D.
2.【解析】选B.由题意可知,△ACD 和△AED 关于直线AD 对称,因而
△
ACD≌
△
AED.
所
以
AE=AC=6cm,CD=ED,ED⊥
AB,
设
CD=ED=xcm, 则在
Rt△ABC
中, 由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10cm,
在Rt△BDE 中,有x2+(10-6)2=(8-x) 2.
解得x=3.
【归纳整合】运用勾股定理解决折叠问题,往往融方程与几何图形于一
体,具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前后
的不变量(即相等的线段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.
3.【解析】选C.∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴在Rt△ABE 中,AB2=AE2+BE2=100,
∴S 阴影部分=S 正方形ABCD-S△ABE=AB2- ×AE×BE=100- ×6×8=76.
4.【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得A,B 的面积和为S1,C,D
的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.
答案:10
5.【解析】根据等腰三角形的三线合一可得:BD= BC= ×6=3(cm),在
直角三角形ABD 中,
由勾股定理得:AB2=BD2+AD 2,
所以AD=
=
=4(cm).
答案:4
6. 【解析】在Rt△ADB 中, 根据勾股定理, 得DB=
=
=3.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠BEA=90°,
∵CA=CB,∴∠EAB=∠DBA,
又∵AB=BA,
∴△ADB≌△BEA,∴AE=BD=3.
答案:3
7.【解析】过D 作DE⊥AB,垂足为E,
∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,
在Rt△BDE 中,BE=
=
=20,
∵CD=DE,AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AC=AE.
在Rt△ABC 中,由勾股定理得
AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,
解得AC=30.
8.【解析】三角形中某边上的高既可在三角形内部,又可在三角形外部,
故此题应分两种情况来考虑.
(1)当BC 边上的高AD 在△ABC 的内部时,如图1,由勾股定理,得
BD2=AB2-AD2=152-122=81,
得
BD=9,CD2=AC2-AD2=202-
122=256,得CD=16.则BC=BD+CD=25;
(2)当BC 边上的高AD 在△ABC 的外部时,如图2,由勾股定理可求得
CD=16,BD=9.这时BC=CD-BD=7.
综上所述BC 边的长为25 或7.
9.【解析】在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得
AB=10m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:
①如图1,当AB=AD=10m 时,
∵AC⊥BD,∴CD=CB=6m,
∴△ABD 的周长=10+10+2×6=32(m).
②如图2,当AB=BD=10m 时,
∵BC=6m,∴CD=10-6=4(m),
∴AD=
=
=4
(m),
∴△ABD 的周长=10+10+4
=(20+4
)m.
③如图3,当AB 为底时,设AD=BD=xm,
则CD=x-6(m),由勾股定理得:
AD=
=
=x,
解得,x=
m.∴△ABD 的周长为
m.
