勾股定理
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC 的三边a,b,c 的大小关系是
( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a
2.(南京中考)设边长为3 的正方形的对角线长为a,下列关于a 的四
种说法:①a 是无理数;②a 可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;
④a 是18 的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是( )
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④[来源:学&科&网]
3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n 个三角形的面积为
( )
A.n
B.
C.
D.
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.如图所示,数轴上点A 所表示的数为a,则a 的值是 .
5.(吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别
为(-6,0),(0,8).以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交x 正
半轴于点C,则点C 的坐标为 .
6.如图是由4 个边长为1 的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度
的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
的线段
条.
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),
再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC 的面积与周长.
8.(8 分)如图所示,在有24 个边长为1 的小正三角形的
网格中,点P 是正六边形的一个顶点,以点P 为直角顶点
作格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可
能的直角三角形斜边的长.
【拓展延伸】
9.(10 分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其
中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和
含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上
第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,第二个正方形和
第二个直角三角形的面积之和为S2,…,第n 个正方形和第n 个直角
三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题:
(1)S1= .
(2)通过探究,用含n 的式子表示Sn,则Sn= .
答案解析
1.【解析】选C.∵AC=
=5=
,BC=
=
,AB=4=
,
∴b>a>c,即c<a<b.
2.【解析】选C.由勾股定理得,正方形的对角线长为a=
=
=3
,且4<a<5.所以③错误,其他都正确.
3.【解析】选D.根据勾股定理:
在第一个三角形中:O
=1+1,S1=1×1÷2.
在第二个三角形中:O
=O
+1=1+1+1,
S 2=OA1×1÷2=
×1÷2.
在第三个三角形中:O
=O
+1=1+1+1+1,
S3=OA2×1÷2=
×1÷2;
…
在第n 个三角形中:Sn=
×1÷2=
.[来源:学科网ZXXK]
4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1 和2,所以斜边长为
=
,所以-1 到点A 的距离是
,那么点A 所表示的数为
-1.
答案:
-1
5.【解析】∵点A,B 的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,
∴AB=
=10,
∵以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,
∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,
∵交x 正半轴于点C,∴点C 的坐标为(4,0).
答案:(4,0)
6.【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为1,那么根据勾
股定理容易得到长度为
的线段,然后可以找出所有这样的
线段.如图,所有长度为
的线段全部画出,共有8 条.[来源:学科网]
答案:8
7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC=
=5,BC=
=
,
AB=2-(-3)=5,
∴△ABC 的周长为A C+BC+AB=5+
+5=10+
, 面积为
×5×3=
.
8.【解析】通过作图知,以点P 为直角的三角形有八种情况,如图,
△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PC'B',△PC'A',△PD'B',△PD'A',均是以点P
为
直
角
的
直
角
三
角
形
,
且
△PCB≌△PC'B',△PCA≌△PC'A',△PDB≌△PD'B',△PDA≌△PD'A',故:
在Rt△PCB 中,BC=
=
=2=B'C';
在Rt△PCA 中,AC=
=
=
=A'C';
在Rt△PDB 中,BD=
=
=
=B'D';
在Rt△PDA 中,AD=
=
=4=A'D'.
故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2,
,
.
9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,
∴正方形的面积为1,
又∵直角三角形一个角为30°,
∴三角形的一条直角边为,另一条直角边就是
=
,
∴三角形的面积为×
÷2=
,∴S 1=1+
.
(2)∵第二个正方形的边长为
,它的面积就是,也就是第一个正方形
面积的,
同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的,[来源:Z_xx_k.Com]
∴S2=
· ,依此类推,S3=
· · ,即S3=
·
,[来源:Zxxk.Com]
所以Sn=
·
(n 为整数).
