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2018 年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）
1．（3 分）﹣2 的相反数是（ ）
A．2B．﹣2 C．2
1
﹣D．﹣
2．（3 分）已知三角形两边的长分别是3 和7，则此三角形第三边的长可能是（
）
A．1B．2C．8D．11
3．（3 分）已知实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0
D．﹣a＞b
4．（3 分）若一次函数y=（k
2
﹣）x+1 的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
5．（3 分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们
的平均成绩都是86.5 分，方差分别是S 甲2=1.5，S 乙2=2.6，S 丙2=3.5，S 丁2=3.68，你认
为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．（3 分）如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，
∠BAC=90°，AD=3，则CE 的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3 分）把图1 中的正方体的一角切下后摆在图2 所示的位置，则图2 中的几何
体的主视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）阅读理解：a，b，c，d 是实数，我们把符号
称为2×2 阶行列式，并且
规定：
=a×d
b
﹣×c，例如：
=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=
6
﹣+2=
4
﹣．二元
一次方程组
的解可以利用2×2 阶行列式表示为：
；其中D=
，Dx=
，Dy=
．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组
时，下面说法错误的是（
）
A．D=
=
7
﹣B．Dx=
14
﹣
C．Dy=27D．方程组的解为
二、填空题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）
9．（3 分）﹣8 的立方根是 ．
10．（3 分）分式方程
﹣
=0 的解为x= ．
11．（3 分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000 千米，用科学记数法
表示为 千米．
12．（3 分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1 的中位数是 ．
13．（3 分）若关于x 的一元二次方程2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，则b 的
值可能是 （只写一个）．
14．（3 分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力
在4.9≤x＜5.5 这个范围的频率为 ．
视力x
频数
4.0≤x＜4.3
20
4.3≤x＜4.6
40
4.6≤x＜4.9
70
4.9≤x≤5.2
60
5.2≤x＜5.5
10
15．（3 分）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落
在点H 处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．
16．（3 分）5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实
数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个
人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4 的人心里想的数
是 ．
三、（本大题2 个小题，每小题5 分，满分10 分）
17．（5 分）计算：（
﹣π）0﹣|1
2
﹣
|+
﹣（
）﹣2．
18．（5 分）求不等式组
的正整数解．
四、（本大题2 个小题，每小题6 分，满分12 分）
19．（6 分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中x=
．
20．（6 分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=
（k2≠0）的图
象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x 的取值范围．
五、（本大题2 个小题，每小题7 分，满分14 分）
21．（7 分）某水果店5 月份购进甲、乙两种水果共花费1700 元，其中甲种水果8
元/千克，乙种水果18 元/千克．6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10
元千克，乙种水果20 元/千克．
（1）若该店6 月份购进这两种水果的数量与5 月份都相同，将多支付货款300 元
求该店5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）若6 月份将这两种水果进货总量减少到120 千克，且甲种水果不超过乙种水
果的3 倍，则6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
22．（7 分）图1 是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2 米，且两扇门的大小相同
（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1
绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保
留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
≈1.4）
六、（本大题2 个小题，每小题8 分，满分16 分）
23．（8 分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了
部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计
图回答下列问题：
（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；
（2）请你估计全校500 名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学
中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的
概率．
24．（8 分）如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延
长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC 交CF 于E．
（1）求证：EA 是⊙O 的切线；
（2）求证：BD=CF．
七、（本大题2 个小题，每小题10 分，满分20 分）
25．
（10 分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x 轴交于另一点
B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN∥AB 交OA 于N，当△ANM 面积最大时，求M 的
坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ⊥x 轴与抛物线交于Q．过A 作AC⊥x 轴于C，当以
O，P，Q 为顶点的三角形与以O，A，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
26．（10 分）已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线
AM 交直线DC 于E，过D 作DH⊥AE 于H，设直线DH 交AC 于N．
（1）如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO；
（2）如图2，当M 在线段OD 上，连接NE，当EN∥BD 时，求证：BM=AB；
（3）在图3，当M 在线段OD 上，连接NE，当NE⊥EC 时，求证：AN2=NC•AC．
2018 年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）
1．
【解答】解：﹣2 的相反数是：2．
故选：A．
2．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7
3
﹣＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
3．
【解答】解：由数轴可得，
2
﹣＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜b，故选项A 错误，
|a|＞|b|，故选项B 错误，
ab＜0，故选项C 错误，
a
﹣＞b，故选项D 正确，
故选：D．
4．
【解答】解：由题意，得
k
2
﹣＞0，
解得k＞2，
故选：B．
5．
【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，
∴甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更好，
故选：A．
6．
【解答】解：∵ED 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3
，
故选：D．
7．
【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
故选：D．
8．
【解答】解：A、D=
=
7
﹣，正确；
B、Dx=
=
2
1
﹣﹣×12=
14
﹣
，正确；
C、Dy=
=2×12
1
﹣×3=21，不正确；
D、方程组的解：x=
=
=2，y=
=
=
3
﹣，正确；
故选：C．
二、填空题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）
9．
【解答】解：∵（﹣2）3=
8
﹣，
∴﹣8 的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
10．
【解答】解：去分母得：x+2
3x=0
﹣
，
解得：x=1，
经检验x=1 是分式方程的解．
故答案为：1
11．
【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，[来源:Z,xx,k.Com]
故答案为：1.5×108．
12．
【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，
所以这组数据的中位数为1，
故答案为：1．
13．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2
4
﹣×2×3＞0，
解得：b＜﹣2
或b＞2
．
故答案可以为：6．
14．
【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5 这个范围的频数为：60+10=70，
则视力在4.9≤x＜5.5 这个范围的频率为：
=0.35．
故答案为：0.35．
15．
【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠EGB．
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC．
∴∠AGB=∠BGH．
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB=
∠AGH=75°，
故答案为：75°．
16．
【解答】解：设报4 的人心想的数是x，报1 的人心想的数是10
x
﹣，报3 的人心想
的数是x
6
﹣，报5 的人心想的数是14
x
﹣，报2 的人心想的数是x
12
﹣
，
所以有x
12
﹣
+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
三、（本大题2 个小题，每小题5 分，满分10 分）
17．
【解答】解：原式=1﹣（2
1
﹣）+2
4
﹣，
=1
2
﹣
+1+2
4
﹣，
=
2
﹣．
18．
【解答】解：
，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤
，
不等式组的解集是﹣2＜x≤
，[来源:学科网]
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
四、（本大题2 个小题，每小题6 分，满分12 分）
19．
【解答】解：原式=[
+
]×（x
3
﹣）2
=
×（x
3
﹣）2
=x
3
﹣，
把x=
代入得：原式=
3=
﹣
﹣
．
20．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2=
（k2≠0）的图象过点A（4，1），
∴k2=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y2=
．
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=
的图象上，
∴n=4÷（﹣2）=
2
﹣，
∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，
，解得：
，
∴一次函数的解析式为y=
x
1
﹣．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2 和0＜x＜4 时，一次函数图象在反比例函数图
象下方，
∴y1＜y2时x 的取值范围为x＜﹣2 或0＜x＜4．
五、（本大题2 个小题，每小题7 分，满分14 分）
21．
【解答】解：（1）设该店5 月份购进甲种水果x 千克，购进乙种水果y 千克，
根据题意得：
，
解得：
．
答：该店5 月份购进甲种水果190 千克，购进乙种水果10 千克．
（2）设购进甲种水果a 千克，需要支付的货款为w 元，则购进乙种水果（120
a
﹣）
千克，
根据题意得：w=10a+20（120
a
﹣）=
10a
﹣
+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3 倍，
∴a≤3（120
a
﹣），
解得：a≤90．
∵k=
10
﹣
＜0，
∴w 随a 值的增大而减小，
∴当a=90 时，w 取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500 元．
22．
【解答】解：作BE⊥AD 于点E，作CF⊥AD 于点F，延长FC 到点M，使得BE=CM，如
图所示．
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在Rt△ABE 中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在Rt△CDF 中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC 为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF 中，EF=AD
AE
DF=0.5
﹣
﹣
，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=
≈1.4，
∴B 与C 之间的距离约为1.4 米．
六、（本大题2 个小题，每小题8 分，满分16 分）
23．
【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为50
8
20
6
2=14
﹣﹣
﹣﹣
（人），
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=
×100%=28%，
补全条形统计图如下：
（2）500×12%=60，
所以估计全校500 名学生中最喜欢“排球”项目的有60 名；[来源:学#科#网]
（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
（4）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率=
=
．
24．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE 是⊙O 的切线；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD 和△CAF 中，
∵
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
七、（本大题2 个小题，每小题10 分，满分20 分）
25．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x
6
﹣），
把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=
，
∴抛物线解析式为y=
x（x
6
﹣），即y=
x2﹣
x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA 的解析式为y=
x，
设直线AB 的解析式为y=kx+b，[来源:学*科*网]
把B（6，0），A（8，4）代入得
，解得
，
∴直线AB 的解析式为y=2x
12
﹣
，
∵MN∥AB，
∴设直线MN 的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=
2t
﹣
，
∴直线MN 的解析式为y=2x
2t
﹣
，
解方程组
得
，则N（
t，
t），
∴S△AMN=S△AOM
S
﹣△NOM
=
•4•t﹣
•t•
t
=﹣
t2+2t
=﹣
（t
3
﹣）2+3，
当t=3 时，S△AMN有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，
m2﹣
m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当
=
时，△PQO∽△COA，即
=
，
∴PQ=2PO，即|
m2﹣
m|=2|m|，
解方程
m2﹣
m=2m 得m1=0（舍去），m2=14，此时P 点坐标为（14，28）；
解方程
m2﹣
m=
2m
﹣
得m1=0（舍去），m2=
2
﹣，此时P 点坐标为（﹣2，4）；
∴当
=
时，△PQO∽△CAO，即
=
，
∴PQ=
PO，即|
m2﹣
m|=
|m|，
解方程
m2﹣
m=
m 得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程
m2﹣
m=﹣
m 得m1=0（舍去），m2=2，此时P 点坐标为（2，﹣1）；
综上所述，P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
26．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
（2）连接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，
∵OD=OD，
∴DM=CN=EN，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM 是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴▱DENM 是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
（3）设CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN=
a，
设DE=b（b＞0），
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根据勾股定理得，AC=
AD=
（a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴
，
∴
，
∴a=
b（已舍去不符合题意的）
∴CN=
a=
b，AC=
（a+b）=
b，
∴AN=AC
CN=
﹣
b，
∴AN2=2b2，AC•CN=
b•
b=2b2
∴AN2=AC•CN．
