文档文本内容
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用函数观点看一元二次函数
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1、理解二次函数与一元二次方程的关系；
2、掌握抛物线与
轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题；
3、掌握并运用二次函数
解题.
1．二次函数与一元二次方程的关系
如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是
方程
的一个根。
2. 二次函数图象与一元二次方程根的关系
二次函数的图象与
轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对
应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个_______实数根，有两个_______实数根。
3．实际应用
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二
次函数的最_________或最_______。
参考答案：
1.
2. 相等的 不等的
3. 大值 小值
2
1、二次函数与一元二次方程的关系
【例1】如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成
角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛
物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度
（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有关系
．
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
【解析】由于球的飞行高度
与飞行时间的关系是二次函数
．
所以可以将问题中
的值代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，如果方程有合乎实际
的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中
的
值．
解：（1）解方程
．
．
．
∴当球飞行1s 和3s 时，它的高度为 15m．
（2）解方程
．
．
．
∴当球飞行2s 时，它的高度为 20m．
（3）解方程
．
．
∵
∴方程无解．
h
h
3
即球的飞行高度达不到 20.5m．
（4）解方程
．
．
．
∴当球飞行0s 和4s 时，它的高度为 0m，
即0s 时球从地面飞出．4s 时球落回地面．
画出二次函数h=20t−5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案．
总结：
一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程
．.
练1. （2014 春•天津市校级月考）已知二次函数
，且
，则一定
有（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】由
，可知抛物线开口向下，又当
时，
，所以抛物线有在
x 轴上方的图象，必与x 轴有两个交点，则方程有两个不等实根，
，即可求解.
解：
中
，
∴抛物线的开口向下
又当
时，
，
∴抛物线有在第二象限的点。
它的示意图如图。
∴抛物线与x 轴有两个交点。
4
令
，得
方程有两个不相等的实数根
∴
故选A。
练2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2.
【解析】结合图象，抛物线与x 轴交点个数，即可得到一元二次方程根的关系.
解：由图象可得，抛物线与x 轴有两个交点，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根，
且一根小于1，一根大于2.
故选D.
2．二次函数图象与一元二次方程根的关系
【例2】二次函数(1)y＝x2+x−2；(2) y＝x2−6x+9；(3) y＝x2−x+1 的图象如下图所示．
（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根
吗？
【解析】如果二次函数y = ax2+bx+c 的图像与x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程
ax2+bx+c=0 的根.
解：（1）抛物线y＝x2+x−2 与x 轴有两个公共点，它们的横坐标是−2，1；
5
当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程x2+x−2 = 0 的根是−2，1．
（2）抛物线y＝x2−6x+9 与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3．
当x＝3 时，函数的值是0．由此得出方程x2−6x+9=0 有两个相等的实数根3．
（3）抛物线y＝x2−x+1 与x 轴没有公共点， 由此可知，方程x2−x+1 = 0 没有实数根．
总结
一般地，从二次函数y = ax2+bx+c 的图象可知，
（1）如果抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数
的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0 的一个根．
（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
练3. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
【解析】将点代入函数解析式，即可求解.
解： ∵将P(1，0)点代入二次函数得，
∴ a＋b＋c=0.
练4. （2014 春•江宁区校级月考）一次函数y＝2x＋1 与二次函数y＝x2－4x＋3 的图象交点
( )
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点.
【解析】将一次函数与二次函数联立方程组，转换成关于x 的一元二次方程，利用△即可求解.
解： 由题意得，
，
∴
∴
.
∴方程有两个不相等的实数根，
即一次函数与二次函数有两个交点.
故选B.
3．实际应用
【例3】利用函数图像求方程
的实数根（精确到0.1）.
【解析】通过描点法作出函数图象，即可求解．
解：作
的图象，如下图，
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它与x 轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
∴方程
的实数根为
练5. （2015•烟台市一模）已知二次函数
，其中为常数，且满足
。试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方，还是在x 轴
下方？
【解析】欲确定抛物线的开口方向，要看
，还是
，由
，可知
，得知抛物线开口向下；又
，得知抛物线与y 轴交点在x 轴上方；再由
，得知抛物线与x 轴有两个交点
解：
∴
∴抛物线开口向下；
又∵
，
∴抛物线与y 轴的交点在x 轴上方；
令
，得
∴抛物线与x 轴有两个不同的交点。
练6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )
A．a＞0，△＞0
B．a＞0，△＜0
C．a＜0，△＞0
D．a＜0，△＜0.
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【解析】结合二次函数开口方向即与x 轴的交点的性质，即可求解.
解： 由题可知，
要使二次函数y＝ax2＋bx＋c 对于x 的任何值都恒为负值，
需开口向下，即a<0；
且抛物线与x 轴无交点，
即一元二次方程ax2＋bx＋c=0 无解
∴△＜0.
故选D.
【例4】已知抛物线与x 轴交于A（
，0），B（
，0）（
）。
（1）求
的取值范围，并证明A、B 两点都在原点O 的左侧；
（2）若抛物线与y 轴交于点C，且
，求
的值.
【解析】（1）将二次函数转化为一元二次方程，由
，求出
的范围；由
，得出
同号；再由
，得出两点在原点左侧．
（2）由
，得出
，再由x1+x2=2a−1，求出
的解。
解：（1）∵抛物线与x 轴交于
两点，且
，
令
，得
∴
的取值范围是
，且
。
又
同为负数。
8
∴点
都在原点左侧。
（2）
同为负数，
由
，得
∴
∵
∴
练7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0 的两个根，且
抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
【解析】先求出方程的两个根，再结合过已知点坐标，代入解析式即可求解．
解：由题意可得，
x2＋x－2＝0
（x-1）（x+2）=0
∵将点（2,8）代入
∴
∴
∴
即为二次函数的解析式.
9
练8．（2015•泰安市一模）当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m 的最小值为
8
9
⋅¿ ¿
【解析】根据函数顶点坐标公式，即可求解．.
解：根据二次函数图象可知，
y＝2x2＋3mx＋2m 的最小值为
8
9
⋅¿ ¿
∴
∴
.
【例5】已知：抛物线
。
（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点
C。
试问：是否存在实数
，使
与
相似？若存在，求出相应的
的值；若不存在，
请说明理由。
【解析】（1）只要证
即可；（2）设法判定
与
的形状，求出点A、B、C
的坐标，再判定当两个三角形相似时，求出
的值．
解：（1）令
，得
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抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴
∴当
时，抛物线与x 轴只有一个公共点。
（2）∵抛物线
与y 轴负半轴交于点C，
当
时，
，
∴点C 的坐标为（0，
），
.
当
时，得
∵点A 在点B 的左边，
∴A、B 两点的坐标分别是
是等腰直角三角形。
要使
与
相似，只需
∴这样的
值存在，且
.
练9．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a)，与x 轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若a
＞0，则函数解析式为( )
A．
y= a
b2 x+a
B．
y=−a
b2 x2+a
C．
y=−a
b2 x2−a
D．
y= a
b2 x2−a
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【解析】将与坐标轴的交点代入解析式，即可求解．
解：∵二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a)
∴
又与x 轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)
∴
故选B.
练10．m 为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1 与x 轴没有交点?
【解析】转化成一元二次方程，根据无交点，计算△<0，即可求解．
解： (m－1)x2＋2mx＋m－1=0
∵无交点，即方程无解
∴
∴
∴
．
【例6】．某商店如果将进价为每件8 元的某种商品按每件10 元出售，每天可销售100 件。为了增
加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1 元，销售量要减少10 件。问当售价定为多
少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润.
【解析】若每件商品提高x 元，那么每件利润为
元，每天销售量为
件，每
天所得利润为y 元，可列出函数解析式
．
解：设每件提高x 元（
）
∴每件获得利润为
元。
每天可销售
件，
设每天获利润y 元，
则
12
∴当
时，y 的值最大。
即当定价为每件14 元时，获得利润最大，每天最大利润为360 元.
练11．当m 为何值时，抛物线
与x 轴有两个交点，有一个交点，无交
点？
【解析】转化为一元二次方程求根的个数，即可求解．
解：令
，得
∴当
时，
，抛物线与x 轴有两个交点；
当
时，
，抛物线与x 轴有一个交点；
当
时，
，抛物线与x 轴无交点.
练12．（2015 秋•秦皇岛市期末）已知二次函数
（
）的图象经过O（0，
0），A（1，
），B（
，14）和C（2，m）四点，求这个函数的解析式及m 的值.
【解析】将点坐标代入函数解析式，即可求解．
解：∵函数图象经过O（0，0），A（1，
），B（
，14）三点，
∴
解得
∴解析式为
又
图象过C（2，m）点，
练13．（2014 秋•燕山区期末）已知二次函数
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x 轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1，0）.求B 点坐标.
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【解析】（1）计算一元二次方程△的值，即可求解；（2）将A 点坐标代入函数解析式，再
转化为求一元二次方程的根.
解：（1）
，
∴对于任意实数m，该二次函数图象与x 轴总有公共点。
（2）把（1，0）代入，得
，
当
时，
∴B 点坐标为（－2，0）
当
时，
∴B 点坐标为（
）.
1．若抛物线y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c 满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．
2．关于x 的方程x2－x－n＝0 没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n 的顶点在第______象限．
3．函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c－3＝0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
4．对称轴平行于y 轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，求此函数
的解析式．
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5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
－1
−1
2
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
y
－2
−1
4
1
7
4
2
7
4
1
−1
4
－2
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列
选项中的哪一个______．
①
−1
2 <x1<0, 3
2 <x2<2
②
−1<x1<−1
2 ,2<x2< 5
2
③
−1
2 <x1<0,2<x2< 5
2
④
−1<x1<−1
2 , 3
2 <x2<2
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1. 已知直线y＝5x＋k 与抛物线y＝x2＋3x＋5 交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为
______．
2. y＝x2＋kx＋1 与y＝x2－x－k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 值为( )
A．0
B．－1
C．2
D．
1
4
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c＋2＝0 的根的
情况是( )
A．无实根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
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D．有两个同号不等实数根
4．若m，n(m＜n)是关于x 的方程1－(x－a)(x－b)＝0 的两个根，且a＜b，则a，b，m，n 的大
小关系是( )
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
5. 当m 取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点.
6．已知抛物线
。
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB 的长.
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参考答案：
当堂检测
1．答案：(－1，0)．
2．答案：一．
3．答案：C ．
4．答案：
y=−18
5 x2+66
5 x−4
或y＝2x2＋2x－4.
5. 答案：(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③．
家庭作业
1. 答案： 4，(1，9).
2. 答案：C
3. 答案：D．
4. 答案：A．
5. 答案：(1)由x2－x－m＝0(1)当＝1＋4m≥0，即
m≥−1
4 时两线有公共点．
(2)当＝1＋4m＜0，即
m<−1
4 时两线无公共点．
6. 答案：（1）顶点（－1，－3），对称轴
；
（2）
.
课程顾问签字： 教学主管签字：
