文档文本内容
1
实际问题与二次函数
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、熟悉数学建模的基本过程．
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型．
1．实际应用
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二
次函数的最_________或最_______。
参考答案：
1. 大值 小值
1、二次函数的应用
【例1】某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星
期少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能
使利润最大？
【解析】调整价格包括涨价和降价两种情况，分别列出利润与价格变化的函数关系，即可求解.
解：（1）设每件涨价x 元，由题意可得利润为
2
∴当x =
= 5 时，
y 最大值 = −10×25+100×5+6000 = 6250
（2）设每件降价x 元，由题意可得利润为
∴当x =
= 2.5 时，
y 最大值 = −20×6.25+100×2.5+6000 = 6150
∴当定价为65 元时，利润最大，最大利润为6250 元.
总结：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．
练1. （2014 春•重庆市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百
分率为x，该药品原价为18 元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】根据降价关系，列出价格与降价百分率的函数关系，即可求解.
解： 第一降价后
，
第二次降价后
故选D。
练2. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 米，跨度为40 米，现把它的示意图放在如图所
示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________ .
【解析】结合图象，抛物线与x 轴、y 轴的特殊点坐标，代入解析式即可求解.
解：由图象可得，抛物线过点（0,0），（40,0），（20,16）
∴设抛物线解析式为
∴
3
∴
∴
∴
即为抛物线的解析式.
【例2】计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫
做磁道.如下图，现有一张半径为45mm 的磁盘．
（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0.015mm 的弧长为1 个存储单元，这条磁道由多少
个存储单元？
（2）磁盘上个磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不少磁道，这张磁盘最多有
多少条磁道？
（3）如果个磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r 是多少时，磁盘的存储
量最大？
【解析】根据圆周长，及题目条件，列出函数关系式，再求出最值即可.
解：（1）最内磁道的周长为2πr mm，
∴它上面的存储单元个数超不过
（2）由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于 0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，
各磁道则分布在内径为r 外径为45 的圆环区域，
∴这张磁盘最多有
条磁道
（3）当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，
磁盘每面存储量 = 每条磁道的存储单元数×磁道数
设磁盘每面存储量为y，则
4
∴
∴当
时，磁盘的存储量最大.
练3. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这
两个正方形的面积之和的最小值是___________．
【解析】根据题意，列出面积与铁丝长度的函数关系式，即可求出最值.
解： 设其中一段长度为xcm，另一段为(20-x)cm，
∴
∴ 的
∴当
时，S 最小值为12.5，
练4. （2014 春•江宁区校级月考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长
度为xcm 的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x 的变化而变化。
（1）请直写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（2）当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？
【解析】根据三角形面积公式，建立函数关系式，即可求解.
解： （1）
，
（2）当
时，
S 最大值=
cm2.
【例3】图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m 时，水面
宽度增加多少？
5
【解析】我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当直角坐标系就可以求出这条抛物线表
示的二次函数. 以抛物线顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，如图．列出函数关
系式，即可求解.
解：设抛物线的解析式为
当拱桥离水面 2m 时，水面宽 4m
即抛物线过点(2，−2)
∴−2 = a×22，∴a = −0.5
∴解析式为：
当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y= −3，
∴−3 = −0.5x2，
∴这时水面宽度为
m，
∴当水面下降1m 时，水面宽度增加了
m．
练5. （2014 秋•威海市期末）下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式
是（ ）
A．
B．
C、
D 、
6
【解析】根据二次函数图象中特殊点坐标，即可求解.
解： ∵建立坐标系后，图象过点（±2，-2）
代入函数解析式
，得
故选择C.
练6. 如图，铅球的出手点C 距地面1 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4 秒钟达到最
大高度3 米，则铅球运行路线的解析式为（ ）
A、
B、
C、
D、
.
【解析】根据图中特殊点坐标，代入函数解析式，即可求解.
解： 由题可知，抛物线过点（0,1），（4,3），
∴设二次函数解析式为
将点坐标代入，得
，
∴
∴
7
∴
故选C.
【例4】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的A 处飞出（A 在y 轴上），
运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4 米高，球落地后
又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少
到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取
）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取
）
【解析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0 可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．
（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2 个
单位可解得x 的值即可知道CD、BD．
解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，
抛物线的表达式为
，
∵h=6，k=4，
8
∴
，
当x=0 时y=1，即1=36a+4，
∴
，
∴
．
（2）令y=0，
，
∴
，
∴
，
（舍去），
∴足球第一次落地距守门员约13 米．
（3）如图，第二次足球弹出后的距离为CD，
根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2 个单
位），
∴
解得：
，
CD=
∴
，
BD=13-6+10=17
∴
（米）．
练7．（2015•泰安市一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，E、F 分别是边BC 和CD 上的动
点（不与正方形的顶点重合），不管E、F 怎样动，始终保持AE
EF
⊥
．设BE=x，DF=y，则
y 是x 的函数，函数关系式是（ ）
9
A、
B、
C、
D、
【解析】利用三角形函数关系，求出FC，即可求解．
解：∵AE
EF
⊥
，
∴
∴
，即
∴
∵
∴
故选择C.
练8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建
立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷
出的最大高度是___________.
【解析】根据函数图象顶点坐标，即可求解．.
解：∵y=-x2+4x，
∴当
时，y 最大值=4.
即最大高度是4 米.
【例5】如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一
段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
10
(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB 的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说
明围法；如果不能，请说明理由．
【解析】（1）建立花圃面积与宽的函数关系，即可求解；
（2）根据函数关系式中宽的范围，即可求出函数最值．
解：（(1)设花圃的宽AB＝x 米，知BC 应为(24－3x)米，故面积y 与x 的关系式为
y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．
当y＝45 时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．
当x1＝3 时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；
当x2＝5 时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．
故AB 长为5 米．
(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．
∵0<24−3 x≤10，
∴14
3 ≤x<8.
由抛物线y＝－3(x－4)2＋48 知，在对称轴x＜4 的左侧，y 随x 的增大而增大，
当x＞4 时，y 随x 的增大而减小．
∴当
x=14
3 时，y＝－3(x－4)2＋48 有最大值，
最大值为
48−3(14
3 −4)2=46 2
3 (m2),
此时，
AB =14
3 m,
BC＝10m，
即围成长为
10 米，宽为
14
3 米的矩形ABCD 花圃时，其最大面积为
46 2
3 m2.
练9．有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂
11
直于墙的一边长为xm，面积是Sm2，则S 与x 的关系式是（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】建立花圃面积与宽的函数关系，即可求解．
解：由题意可得函数关系式为
∴
故选A.
练10．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)
与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售
利润为多少？
【解析】根据销售利润=销售额-成本，建立函数关系式，即可求解．
解：（1）由题意可得，
（2）当
时，
y 最大值=
∴最大利润为432 元．
【例6】．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系
(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系)．
12
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；
(3)求第8 个月公司所获利润为多少万元?
【解析】将函数图象特殊点坐标代入解析式，即可求解．
解：(1)设s 与t 的函数关系式为x＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为
(1，-1.5)，(2，-2)，(5，2.5)．分别代入，得
解得
(2)把s＝30 代入
s=1
2 t2−2t ,
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．
即截止到10 月末，公司累积利润可达到30 万元．
(3)把t＝7 代入
s=1
2 t2−2t ,
得7 月末的累积利润为s7＝10．5(万元)．
把t＝8 代入
s=1
2 t2−2t ,
13
得8 月末的累积利润为s8＝16(万元)．
∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．
即第
8 个月公司获利润5.5 万元．
练11．某工厂现有80 台机器，每台机器平均每天生产384 件产品．现准备增加一批同类机器以
提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器
平均每天将减少生产4 件产品．
(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
【解析】根据生产总量与增加台数的关系，建立函数关系式，即可求解．
解：(1)由题意得
y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．
(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，
∴当x＝8 时，y 有最大值=30976．
练12．（2015 秋•唐山市期末）随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x 成正
比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与
投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业
户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
【解析】将函数图象特殊点坐标分别代入解析式，即可求解．
解：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx 的图象过（1，2），
∴2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x 的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
14
∴
，a＝
，
故利润y2关于投资量x 的函数关系式是：
；
（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万
元，他获得的利润是z 万元，根据题意，
当x=2 时，z 的最小值是14，
0≤
∵
x≤8，
-2≤
∴
x-2≤6，
∴
∴
即z≤32，此时x=8，
答：当x=8 时，z 的最大值是32．
1．在一幅长60cm，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y 关于x 的函数
是（ ）
A、y=（60+2x）（40+2x） B、y=（60+x）（40+x）
C、y=（60+2x）（40+x） D、y=（60+x）（40+2x）
15
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位
置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A、
B、
C、
D、
3．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他
的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9 ），则这个二次函数的表达式为
_____________，小孩将球抛出约___________米.
4．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC，BC 为斜边在的同侧作两个等要直
角三角形△ACD 和△BCE，那么DE 长的最小值是______________。
5. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米，现以O 为原点米，
OM 所在的直线为x 轴建立直角坐标系。
（1）直接写出点M 的坐标及抛物线顶点P 的坐标；
16
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使C,D 点在抛物线上，A,B 点在地面OM 上，则这个
“支撑架”总长的最大值是多少？
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1.某文具店出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售（6-x）个，则当x=___________时，一天
出售这种文具盒的总利润y 最大。
2. 某一型号的飞机着陆后滑行的距离y（米）与滑行时间x（秒）之间的函数关系式是
，该型号飞机着陆后需滑行___________米才能停下来.
3．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到
警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位
后几小时淹到桥拱顶．
17
4．如图，一元二次方程
的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线
与x 轴的
两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC 相交于点Q，求点P 和点Q 的坐标；
（3）在x 轴上有一动点M，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
5. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x 轴交于A，B 两点，
点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点D 是点C 关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC 交于点P，试判断直线AD，
BC 是否垂直，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若点M，N 分别是射线PC，PD 上的点，问：是否存在这样的点M，
N，使得以点P，M，N 为顶点的三角形与△ACP 全等?若存在请求出点M，N 的坐标；若不
存在，请说明理由．
6．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE，
ED，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11
米，以ED 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线的解析式；
18
（2）已知从某时刻开始的40 个小时内，水面与河底ED 的距离h（米）随时间（时）的变化满
足函数关系：
，且当顶点C 到水面的距离不大于5 米时，需禁
止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？
.
参考答案：
当堂检测
1．答案：A．
2．答案：C．
3．答案：
，16.5 ．
4．答案：1.
5. 答案：(1)M(12，0)，P（6,6）；(2)
；(3)
，最大值15 米.
家庭作业
1. 答案：3.
2. 答案：600.
3. 答案：5 小时．
4. 答案：（1）
；（2）P 的坐标为：（-1，-2），Q 点坐标为（-1，2）；（3）M
点坐标为（0，0）．
19
5. 答案：(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；
(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．
6. 答案：（1）
；
（2）32 小时.
课程顾问签字： 教学主管签字：
