文档文本内容
1
二元一次方程组的应用
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________________________________________________________________________________
1.掌握二元一次方程组的简单应用；
2.掌握二元一次方程组应用题的解法；
3.会找应用题中的等量关系.
1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其
中的
两个未知数；
(2)找：找出能够表示题意两个相等关系；
(3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
2.列方程解应用题的基本关系量：
行程问题：__________________
顺水速度=静水速度—水流速度
逆水速度=静水速度—水流速度
工程问题：_________________
浓度问题：溶液×浓度=溶质
银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间
3.列方程组解应用题的常见题型：
和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量
产品配套问题：加工总量成比例
速度问题：速度×时间=路程
航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类
顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速
逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题）
增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量
2
原量×（1＋减少率）=减少后的量
浓度问题：溶液×浓度=溶质
银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%
盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量
数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的
参考答案：
2.速度×时间=路程;工作效率×工作时间=工作量
1.数字问题
【例1】一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位
上的
数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
【解析】：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其
之间
的关系可用下表表示：
【答案】解：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y。根据题意得，
，解方程组得
，
答：所求的两位数是14．
练习1．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2 倍，如果把个位上的数与十位上的数
对调得到的数比原数小36，求原来的两位数.
【答案】84
练习2．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45 后，结果恰好
成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是多少？
【答案】16
2.年龄问题
【例2】兄弟二人今年分别为15 岁和9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍？
【解析】根据年龄增长的特点，两人年龄是同时增长的。
【答案】解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2 倍，
则x 年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
十
位
上的数
个
位
上的数
对应的两
位数
相等关系
原两位数
x
y
10x+y
10x+y=x+y+9
新两位数
y
x
10y+x
10y+x=10x+y+2
7
3
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：3 年前兄的年龄是弟的年龄的2 倍．
练习3．小刚问妈妈的年龄，妈妈笑着说：“我们两人的年龄和为52 岁，我的年龄是你的
年龄的2 倍多7，你能用学过的知识求出我们的年龄吗？”求小刚和妈妈的年龄？
【答案】15 岁和37 岁
练习4.师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是52
岁的人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？
【答案】现在师傅36 岁，徒弟20 岁．
3.利润问题
【例3】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，问
此商品的定价是多少？
【解析】商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，
不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二
是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
因此，设此商品的定价为x 元，进价为y 元，则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利(0.9x-y)元，
因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
【答案】解：设此商品的定价为x 元，进价为y 元，根据题意得，
，解得
，
答：商品定价为200 元．
练习5.(2014 年贵州黔东南州立志中学期中)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5 件
甲种玩具的进价与3 件乙种玩具的进价的和为231 元，2 件甲种玩具的进价与3 件乙种玩具的
进价的和为141 元．求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
【解析】设每件甲种玩具的进价是x 元，每件乙种玩具的进价是y 元，根据“5 件甲种玩
具的进价与3 件乙种玩具的进价的和为231 元，2 件甲种玩具的进价与3 件乙种玩具的进价的
和为141 元”列出方程组解决问题。
【答案】解：设每件甲种玩具的进价是x 元，每件乙种玩具的进价是y 元，由题意得
，
解得
，
答：件甲种玩具的进价是30 元，每件乙种玩具的进价是27 元。
练习6.福建欣欣电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68 万元，每年需付
出利息8.42 万元．甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款
的数额各是多少？
【答案】解：设甲种贷款x 万元，乙种贷款y 万元，则
解得
答:甲种贷款42 万元，乙种贷款26 万元.
4.配套问题
【例4】某厂共有120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个，如果一个
4
螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每
天生产出来的产品配成最多套？
【解析】产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配
套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其
中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于
乙产品数的ａ倍，即
；
（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产
品数应满足的相等关系式是：
．
此题要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题
意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．
【答案】解：设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25 ｘ个，螺母20 ｙ
个，依题意，得
，解之，得
．
答：应安排20 人生产螺栓，100 人生产螺母．
练习7．某种仪器由1 种A 部件和1 个B 部件配套构成．每个工人每天可以加工A 部件1000
个或者加工B 部件600 个，现有工人16 名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A 部件和B 部
件配套？
【答案】解：设安排x 人生产A 部件，安排y 人生产B 部件，由题意，得
，
解得：
．
答：设安排6 人生产A 部件，安排10 人生产B 部件，才能使每天生产的A 部件和B
部件配套．
练习8.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16 个，或盒底43 个，一个盒身与两个盒底配
成一套罐头盒。现有150 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头
盒.
【答案】64 张做盒底，86 张做盒身。
5.行程问题
【例5】在某条高速公路上依次排列着A、B、C 三个加油站，A 到B 的距离为120 千米，B 到
C 的距离也是120 千米．分别在A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的
速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同
的速度分别往A、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而
上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙
的车的速度各是多少？
【解析】“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都
存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
【答案】解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y 千米/时，则
a
b
甲产品数
乙产品数
a
b
c
甲产品数
乙产品数
丙产品数
120
50
2
20
1
x
y
x
y
20
100
x
y
5
，整理，得
，解得
，
答：巡逻车的速度是80 千米/时，犯罪团伙的车的速度是40 千米/时．
练习9.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45 千米，就要延误30 分钟到达；若每小时行
驶50 千米，那就可以提前30 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
【答案】A、B 距离为450 千米，原计划行驶9.5 小时；
练习10.轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3 小时，若船速为26 千
米/小时，水速为2 千米/时，则A 港和B 港相距______千米．
【答案】21
6.货运问题
【例6】某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种
货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨的体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，
甲、乙两重货物应各装多少吨？
【解析】“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且
“货物的体积等于船的容积”．
【答案】解：设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则
，整理，得
，解得
，
答：甲、乙两重货物应各装150 吨．
练习11．甲桶装水49 升，乙桶装水56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩
下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好
是甲桶容量的
1
3 ，求这两个水桶的容量。
【答案】甲的容量为63 升，乙水桶的容量为84 升
练习12.某城市规定：出租车起步价允许行使的最远路程为3 千米，超过3 千米的部分按每
千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11 千米，付了17 元”；乙说：“我乘这种出租
车走了23 千米，付了35 元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3 千米后，
每千米的车费是多少元？
【答案】解：设出租车的起步价是x 元，超过3 千米后，每千米的车费是y 元，由题意得：
，
解得：
，
答：出租车的起步价是5 元，超过3 千米后，每千米的车费是1.5 元．
7.工程问题
【例7】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装
厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能
完成订货的
；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这
样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的期
限是几天？
【解析】工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时
3
120
120
x
y
x
y
40
120
x
y
x
y
300
3
600
x
y
x
y
150
150
x
y
4
5
6
间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．
其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
【答案】解：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得
，解得
.
答：订做的工作服是3375 套，要求的期限是18 天。
练习13.（2014 江苏苏州中学期末）某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通．若甲工
程队先用4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9
天；若甲工程队先单独工作8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3 天．设甲工程队平
均每天疏通河道x 米，乙工程队平均每天疏通河道y 米，则（x+y）的值为 ．
【答案】解：设甲工程队平均每天疏通河道x 米，乙工程队平均每天疏通河道y 米，由题意，
得
，
解得：
．
∴x+y=20．
练习14.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6 小时，乙独做需4 小时，
甲先做30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
【答案】解：设甲、乙一起做还需x 小时才能完成工作．
根据题意，得
×
+（
+
）x=1
解这个方程，得x=
=2 小时12 分
答：甲、乙一起做还需2 小时12 分才能完成工作．
1.在二元一次方程－
x+3y=2 中，当x=4 时，y=_______；当y=－1 时，x=______．
2.若x3m－3－2yn－1=5 是二元一次方程，则m=_____，n=______．
3.已知
是方程x－ky=1 的解，那么k=_______．
4.已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
5.二元一次方程x+y=5 的正整数解有______________．
6.以
为解的一个二元一次方程是_________．
4
150
5
200
1
25
y
x
y
x
3375
18
x
y
1
6
1
2
1
6
1
4
11
5
11
5
7
7.已知
的解，则m=_______，n=______．
8.(2014•年山东东营月考)如果实数x，y 满足方程组
，那么代数式（
+2）÷
的值为 ．
【答案】1.
－10 2.
，2 3.－1 4. 4
5.解：
6.x+y=12 此题答案不唯一．
7.1 4
8.1
9..某人用140 元到商场买了15 件商品，其中水桶每个6 元，立顿奶茶每盒16 元，问这个人
买了几个水桶，几盒奶茶？若用会员卡，那么奶茶8 折，水桶9 折，则需付多少钱？
10.初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B 两个超市调查去年和今年“五一节”期间
的销售情况，下图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别
求出A、B 两个超市今年“五一节”期间的销售额．
11.用8 块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每
块地砖的长与宽。
【答案】9.买了10 个水桶，5 盒奶茶。用会员卡，则需付118 元。
10.A 超市今年销售额为115 万元，B 超市为55 万元。
11.每块地砖的长为45cm，宽为15cm。
12.（2014 山东济南实验中学期末）2014 年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小
组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10 张，总价为5800 元．其中小组赛球票每张550 元，淘汰赛
球票每张700 元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
两超市销售额
去年共为150 万
元，今年共为170
万元
A 超市销售额
今年比去年增加
15％
B 超市销售额
今年比去年增加
10％
8
【答案】解：设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票
张，由题意有
{
x+ y=10
550 x+700 y=5800 ，解之
．
答：小李预定了小组赛球票8 张，淘汰赛球票2 张．
13.七年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李
小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100 元，请帮我安排买10 支钢笔和15 本笔记本．售货员：好，每支钢笔比
每本笔记本贵2 元，退你5 元，请清点好，再见．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的
单价各是多少吗？
【答案】解：设钢笔每支为x 元，笔记本每本y 元，据题意，得
．
解方程组，得
答：钢笔每支5 元，笔记本每本3 元．
14.某商场准备购进两种摩托车共25 辆，预计投资10 万元。现有甲、乙、丙三种摩托车，甲
种每辆4200 元，可获利400 元；乙种每辆3700 元，可获利350 元；丙种每辆3100 元，可获利
300 元。10 万元资本全部用完。
（1）请你帮助该商场设计进货方案；（2）从销售利润上考虑，应选择哪种方案？
【答案】有三种方案：
第一种：购甲乙两种摩托
设甲摩托x 辆，乙为y 辆
x+y=25
4200x+3700y=100000
解方程得：x=15，y＝10
可赢利：15×400+10×350＝9500 元
第二种方案：购甲丙两种摩托
甲摩托x 辆，丙为y 辆
x+y=25
4200x+3100y=100000
解方程得：x=20，y＝5
可赢利：20×400+10×300＝11000 元
第三种方案
乙摩托x 辆，丙为y 辆
x+y=25
3700x+3100y=100000
解方程得：y 为负值，所以这种方案不成立
所以只有两种方案
由于 11000>9500
所以选择第二种方案
15.某中学新建了一栋4 层的教学大楼，每层楼有8 间教室，进出这栋大楼共有4 道门，其中
两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4 道门进行了测试：当同时开起一
道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560 名学生;当同时开起一道正门和一道侧门时，4min
y
2
8
y
x
9
内可以通过800 名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%,安全检查规定，在紧急
情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4 道门安全撤离。假设这栋大楼每间教室最多有45 名
学生。问：建造的这4 道门是否符合安全规定？请说明理由。
【答案】解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学
生，根据题意得：{2X+2×2Y=560¿¿¿¿
解得： {X=120¿¿¿¿
答：平均每分钟一道正门可以通过120 名学生，一道侧门可以通过80 名学生。
（2）因为紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%,
所以紧急情况平均每分钟一道正门可以通过120（1-20%）=96 名学生，一道侧
门可以通过80（1-20%）=64 名学生所以在紧急情况下，在5min 内可通过这4
道门的学生数为：
5×2×96+5×2×64=1600 （人）
因为是4 层的教学大楼，每层楼有8 间教室，共有32 个教室，
因为 1600÷32=50 （人）
45<50
所以建造的这4 道门是符合安全规定的；
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1．在方程3x+4y=16 中，当x=3 时，y=________，当y=-2 时，x=_______
若x、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________；
2.方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________；
3.如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y 的代数式表示的代数式是_____________；
4.若{x=1¿¿¿¿是方程组{ax+2y=b¿¿¿¿的解，则{a=_______¿¿¿¿；
5.方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________；
6.如果x=1，y=2 满足方程
ax + 1
4 y=1
，那么a=____________；
7.已知方程组{2x+ay=3¿¿¿¿有无数多解，则a=______，m=______；
8.若方程x-2y+3z=0，且当x=1 时，y=2，则z=______；
9.若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；
10
【答案】1.
7
4 ，8，{x=4¿¿¿¿；
2.2；
3.
x=5 y+12
4
；
4.a=3，b=1；
5.{a=0¿¿¿¿{a=1¿¿¿¿{a=2¿¿¿¿6.
1
2 ；
7.3，-4；
8.1；
9.20；
10.（2014 山东聊城一中期中）某服装店用6000 元购进A，B 两种新式服装，按标价售出后
可获得毛利润3800 元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：
类型
价格
A 型
B 型
进价
（元/件）
60
100
标价
（元/件）
100
160
（1）这两种服装各购进的件数；
（2）如果A 中服装按标价的8 折出售，B 中服装按标价的7 折出售，那么这批服装全部
售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】解：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得
，
解得：
．
答：A 种服装购进50 件，B 种服装购进30 件；
（2）由题意，得
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）
=3800﹣1000﹣360
=2440（元）．
答：服装店比按标价出售少收入2440 元．
11.皇帝巧算牛马价
有一年，康熙皇帝微服南巡，在扬州城一个集市上看见两个公差正和几个卖牛马的伙争
执，只听伙计苦苦央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买4 匹马，6 头牛，共48
两银子；这位大爷，您买3 匹、5 头牛，共38 两银子，加起来，一共是86 两银子，可是你们
只给了80 两，还少6 两，我们可亏不起这么多呀！”而两位公差不仅不补给银子，反而瞪眼
呵斥，强赶牛、马要走．正在这时，身着便服的康熙，走到公差面前说：“买卖公平，这是天
经地义的事，一匹马，一头牛都有个价，要想买牛马，该付多少银子，就付多少银子，怎么能
仗势欺人！”甲公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！你知道一匹马、一头牛是
什么价？”康熙微微一笑，略略思索了一会儿，便说：“我事先不知道，但可以算出来，马每
匹6 两，牛每头4 两！”伙计们和围观的人一听无不惊奇，而公差去恼羞成怒，上前就要抓康
熙，此时，康熙从口袋里掏出玉玺，公差一看，方知皇帝驾到，吓得魂飞魄散，连忙跪下求饶．
原来，康熙是一位精通数学的皇帝，他当时是用算术的方法求出马和牛的价格的．
同学们，你不妨用二元一次方程算一算，看与康熙皇帝求得的结果一样吗？
【答案】 解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意，
得
，
4
6
48
6
3
5
38
4
x
y
x
x
y
y
, 解这个方程组, 得
11
与康熙皇帝用算术方法求得的结果是一致的．
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