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八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分．）
1．（3 分）下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14159
D．
2．（3 分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．
（﹣3，﹣4）C．
（3，4）D．（3，﹣4）
3．（3 分）点A（1，y1）、B（2，y2）在直线y=2x+2 上，y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2 D．不能确定
4．（3 分）若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为（ ）
A．8 B．64
C．136
D．136 或64
5．（3 分）方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）一组数据1，1，2，3，4，4，5，6 的众数是（ ）
A．1 B．4 C．1 和4 D．3.5
7．（3 分）如图，对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b 的是（ ）
A．∠1=∠4 B．∠2=∠4
C．∠3+∠2=∠4 D．∠2+∠3+∠4=180°
8．
（3 分）如图，动点P 从（1，2）出发，沿图中箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹
（反弹时反射角等于入射角），假设反弹可以无限进行下去，则在点P 运动路径上的点是（
）
A．（0，5）B．
（5，0）C．
（3，3）D．（7，3）
9．（3 分）在坐标平面内有下列三条直线：
①经过点（0，2）且平行于x 轴的直线；
②直线y=2x
8
﹣；
③经过点（0，12）且平行于直线y=
2x
﹣
的直线，
其中经过点（5，2）但不经过第三象限的直线共有（ ）
A．0 条B．1 条C．2 条D．3 条
10．（3 分）若
+
=n
（n 为整数），则m 的值可以是（ ）
A．
B．18
C．24
D．75
11．
（3 分）甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学5 本，则剩下8 本；每个同学8 本，又
差了7 本，若设有x 个同学，y 本笔记本，则可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3 分）如图，平行于x 轴的直线l 与y 轴、直线y=3x、直线y=x 分别交于点A、B、C．则下
列结论正确的个数有（ ）
①∠AOB+∠BOC=45°；②BC=2AB；③OB2=10AB2；④OC2=
OB2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）
的算术平方根为 ．
14．（3 分）对顶角相等的逆命题是 命题（填写“真”或“假”）．
15．（3 分）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC= ．
16．（3 分）如图，直线l1的表达式为y=
3x
﹣
+3，且直线l1与x 轴交与点D，直线l2经过点A、
B，且与直线l1交于点C，则△BDC 的面积为 ．
三、解答题：（本题共7 小题，其中第17 小题8 分，第18 小题5 分，第19 小题6 分，第20 小题
7 分，第21 小题8 分，第22 小题8 分，第23 小题10 分共52 分）
17．（8 分）计算：
（1）
（2）（
﹣
）×
﹣
．
18．（5 分）解方程组：
．
19．（6 分）如图所示，现有下列4 个亊项：
（1）∠1=∠2，（2）∠3=∠B，（3）FG⊥AB 于G，（4）CD⊥AB 于D．
以上述4 个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的己知条件，（4）作为该命题的结论，
可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
20．（7 分）我市某中学七、八年级各选派10 名选手参加学校举办的环保知识竞赛，计分采用
10 分制，选手得分均为整数，成绩达到6 分或6 分以上为合格，达到9 分或10 分为优秀，这
次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表（不完整）如
下所示：
队别
平均
分
中位
数
方
差
合格
率
优秀
率
七年
级
m
3.
41
90%
20%
八年
级
7.1
n
80%
10%
（1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差 ，七年级成绩的标准差（填“＞”、
“＜”或“=”），表格中m= ，n= ；
（2）计算七年级的平均分；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有
人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
21．（8 分）某服装店用7000 元购进A、B 两种新式服装，按标价售出后获得毛利润4000 元
（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示：
类型
价格
A 型
B 型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
150
求这两种服装各购进的件数？
22．（8 分）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A 处有甲、乙两只蚂蚁，它
们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧
面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是
12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′= cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm（π 取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到
达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π 取3，
≈1.4）
23．（10 分）二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（%）达到100 时，轮胎就报
废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙
两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（%）
y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示：
（1）线段OB 表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取
值范围）；
（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米？
（3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a 百万
米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你
确定方案中a、b 的值．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分．）
1．（3 分）（2015 秋•福田区期末）下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14159
D．
【考点】无理数．菁优网版权所有
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、
是有理数，故A 错误；
B、
是有理数，故B 错误；
C、3.14159 是有理数，故C 错误；
D、
是无理数，故D 正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3 分）（2016 春•祁阳县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x 轴的对称点的坐
标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．
（﹣3，﹣4）C．
（3，4）D．（3，﹣4）
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x 轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横
轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于x 轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是
需要识记的内容，比较简单．
3．（3 分）（2015 秋•福田区期末）点A（1，y1）、B（2，y2）在直线y=2x+2 上，y1与y2的大小关系
是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2 D．不能确定
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据k=2＞0，y 将随x 的增大而增大，得出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵k=2＞0，
∴y 将随x 的增大而增大，
∵1＜2，
∴y1＜y2．
故选B．
【点评】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y 随x 增大而增大；当k＜0 时，y 将随x 的增
大而减小．
4．（3 分）（2015 秋•福田区期末）若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为
（ ）
A．8 B．64
C．136
D．136 或64
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论．
【分析】分10 是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：10 是直角边时，m2=62+102=136，
10 是斜边时，m2=102
6
﹣2=64，
所以m2的值为136 或64．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理解直角三角形，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类
讨论．
5．（3 分）（2015 秋•福田区期末）方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①+②得：3x=3，即x=1，
把x=1 代入①得：y=
1
﹣，
则方程组的解为
，
故选A
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
6．（3 分）（2015 秋•福田区期末）一组数据1，1，2，3，4，4，5，6 的众数是（ ）
A．1 B．4 C．1 和4 D．3.5
【考点】众数．菁优网版权所有
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．
【解答】解：在这组数据中，1 和4 都出现了2 次，出现次数最多，
所以这组数据的众数为：1 和4．
故选C．
【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那
个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
7．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b 的
是（ ）
A．∠1=∠4 B．∠2=∠4
C．∠3+∠2=∠4 D．∠2+∠3+∠4=180°
【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判
断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：A、∠1=∠4，因为它们不是a、b 被截得的同位角或内错角，不符合题意；
B、∠2=∠4，因为它们不是a、b 被截得的同位角或内错角，不符合题意；
C、∠3+∠2=∠4，因为它们是a、b 被截得的同位角或内错角，符合题意；
D、∠2+∠3+∠4=180°，因为∠2+∠3 与∠4 是a、b 被截得的同位角，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定方法；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内
角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相
等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，动点P 从（1，2）出发，沿图中箭头所示方向运动，每当
碰到长方形的边时反弹（反弹时反射角等于入射角），假设反弹可以无限进行下去，则在点P
运动路径上的点是（ ）
A．（0，5）B．
（5，0）C．
（3，3）D．（7，3）
【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，即可解答．
【解答】解：如图，
只有（5，0）在点P 运动路径上，
故选：B．
【点评】本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，利用反射角与入射角的定义作出图形是
解题的关键．
9．（3 分）（2015 秋•福田区期末）在坐标平面内有下列三条直线：
①经过点（0，2）且平行于x 轴的直线；
②直线y=2x
8
﹣；
③经过点（0，12）且平行于直线y=
2x
﹣
的直线，
其中经过点（5，2）但不经过第三象限的直线共有（ ）
A．0 条B．1 条C．2 条D．3 条
【考点】一次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据①经过点（0，2）且平行于x 轴的直线是y=2，画图可得此直线经过点（5，2）经过
第一、二象限；
②把（5，2）代入y=2x
8
﹣，左右相等，因此y=2x
8
﹣过（5，2），此直线经过一、三、四象限；
③经过点（0，12）且平行于直线y=
2x
﹣
的直线是y=
2x
﹣
+12，此直线经过点（5，2），经过第一、
二、四象限进行分析即可．
【解答】解：①如图，经过点（0，2）且平行于x 轴的直线经过点（5，2），但不经过第三象限的直
线；
②直线y=2x
8
﹣经过点（5，2），也经过第三象限的直线；
③经过点（0，12）且平行于直线y=
2x
﹣
的直线经过点（5，2），但不经过第三象限的直线，
共2 条，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是正确判断出一次函数经过的象限，掌握凡是
函数图象经过的点必能满足解析式．
10．（3 分）（2015 秋•福田区期末）若
+
=n
（n 为整数），则m 的值可以是（ ）
A．
B．18
C．24
D．75
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质正确化简求出答案．
【解答】解：∵
+
=n
（n 为整数），
∴2
+
=n
，
∴
化简后被开方数为3，
故只有
=5
符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
11．（3 分）（2015 秋•福田区期末）甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学5 本，则剩下
8 本；每个同学8 本，又差了7 本，若设有x 个同学，y 本笔记本，则可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】设有x 个同学，有y 个笔记本，根据若每个同学5 本，则剩下8 本；每个同学8 本，又
差了7 本，可列出方程组．
【解答】解：设有x 个同学，有y 个笔记本，可得：
．
故选A
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意的能力，设出人数和本数，可以本
数的数量作为等量关系列出方程组．
12．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，平行于x 轴的直线l 与y 轴、直线y=3x、直线y=x 分
别交于点A、B、C．则下列结论正确的个数有（ ）
①∠AOB+∠BOC=45°；②BC=2AB；③OB2=10AB2；④OC2=
OB2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】由直线y=x 得出∠AOC=45°，得出①正确；
由直线y=3x 和y=x 得出OA=3AB，OA=AC，因此AC=3AB，BC=2AB，得出②正确；
由勾股定理得出③正确，④不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
即∠AOB+∠BOC=45°，
∴①正确；
∵平行于x 轴的直线l 与直线y=3x、直线y=x 分别交于点B、C，
∴OA=3AB，OA=AC，
∴AC=3AB，
∴BC=2AB，
∴②正确；
∵OB2=AB2+OA2=AB2+（3AB）2=10AB2，
∴③正确；
∵OC2=OA2+AC2=（3AB）2+（3AB2）=18AB2=
OB2=
OB2，
∴④不正确；
结论正确的有3 个，
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、直线的特征、勾股定理；熟练掌握两条直线相
交或平行特征，得出OA=3AB，OA=AC，AC=3AB 是解决问题的关键．
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）（2014•鄂州）
的算术平方根为
．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】首先根据算术平方根的定义计算先
=2，再求2 的算术平方根即可．
【解答】解：∵
=2，
∴
的算术平方根为
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道
=2，实际上这个题是求2 的算
术平方根．注意这里的双重概念．
14．（3 分）（2016•滨湖区一模）对顶角相等的逆命题是 假 命题（填写“真”或“假”）．
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】先根据互逆命题的定义写出对顶角相等的逆命题，再判断真假．
【解答】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题．
故答案为：假．
【点评】本题考查了互逆命题及真假命题的定义．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二
个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
其中一个命题称为另一个命题的逆命题；正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．
15．（3 分）（2016•周口校级一模）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC=
75°
．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠BAC=45°，∠ACB=60°，
∴∠ABC=180°
45°
60°=75°
﹣
﹣
．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
16．
（3 分）
（2015 秋•福田区期末）如图，直线l1的表达式为y=
3x
﹣
+3，且直线l1与x 轴交与点
D，直线l2经过点A、B，且与直线l1交于点C，则△BDC 的面积为
．
【考点】两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】利用待定系数法确定直线l2的解析式；解由两条直线解析式所组成的方程组，确定C
点坐标，根据直线l1的表达式求D 点坐标；然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：把y=0 代入y=
3x
﹣
+3 得﹣3x+3=0，解得x=1，
所以D 点坐标为（1，0）；
设直线l2的解析式为y=kx+b，
把A（4，0）、B（3，﹣
）代入得
，
解得
，
所以直线l2的解析式为y=
x
6
﹣；
解
得
，
所以C 点坐标为（2，﹣3），
所以S△BDC=S△ADC
S
﹣
△ADB=
×（4
1
﹣）×（3﹣
）=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对
应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的
自变量系数相同，即k 值相同．例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
三、解答题：（本题共7 小题，其中第17 小题8 分，第18 小题5 分，第19 小题6 分，第20 小题
7 分，第21 小题8 分，第22 小题8 分，第23 小题10 分共52 分）
17．（8 分）（2015 秋•福田区期末）计算：
（1）
（2）（
﹣
）×
﹣
．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）首先化简二次根式，进而得出答案；
（2）利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．
【解答】解：（1）
=
=
=1；
（2）（
﹣
）×
﹣
=
﹣
﹣
=3
2
﹣
=
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（5 分）（2015 秋•福田区期末）解方程组：
．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：
，
把①)代入②得：5x+2x
8=6
﹣
，即x=2，
把x=2 代入①得：y=
2
﹣，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
19．（6 分）（2015 秋•福田区期末）如图所示，现有下列4 个亊项：
（1）∠1=∠2，（2）∠3=∠B，（3）FG⊥AB 于G，（4）CD⊥AB 于D．
以上述4 个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的己知条件，（4）作为该命题的结论，
可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】先由平行线的判定定理得出DE∥BC，GF∥CD，再由FG⊥AB 于G 得出∠BGF=90°，
进而可得出结论．
【解答】证明：∵∠3=∠B，
∴DE∥BC，
∴∠1=∠BCD．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴GF∥CD，
∴∠CDB=∠BGF．
∵FG⊥AB，
∴∠BGF=90°，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键．
20．（7 分）（2015 秋•福田区期末）我市某中学七、八年级各选派10 名选手参加学校举办的环
保知识竞赛，计分采用10 分制，选手得分均为整数，成绩达到6 分或6 分以上为合格，达到9
分或10 分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统
计分析表（不完整）如下所示：
队别
平均
分
中位
数
方
差
合格
率
优秀
率
七年
级
m
3.
41
90%
20%
八年
级
7.1
n
80%
10%
（1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差
＜
，七年级成绩的标准差（填
“＞”、“＜”或“=”），表格中m=
6
，n=
7.5
；
（2）计算七年级的平均分；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有
人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
【考点】标准差；加权平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【分析】（1）求出八年级成绩的方差＜七年级成绩的方差，得出八年级成绩的标准差＜年级
成绩的标准差；求出七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得出m 和n；
（2）由平均数公式即可得出结果；
（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
【解答】解：
（1）∵八年级成绩的方差=
[2（5
7.1
﹣
）2+（6
7.1
﹣
）2+2（7
7.1
﹣
）2+4（8
7.1
﹣
）2+（9
7.1
﹣
）2]=1.69＜3.41，
∴八年级成绩的标准差＜年级成绩的标准差；
七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，
∴中位数为6，即m=6；
八年级成绩为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，
∴中位数为7.5，即n=7.5；
故答案为：＜，6，7.5；
（2）七年级成绩的平均分=（3×1+5×6+7×1+8×1+9×1+10×1）÷10=6.7；
（3）①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的成
绩集中在中上游；
所以支持八年级队成绩好．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解
本题的关键．
21．（8 分）（2015 秋•福田区期末）某服装店用7000 元购进A、B 两种新式服装，按标价售出
后获得毛利润4000 元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示：
类型
价格
A 型
B 型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
150
求这两种服装各购进的件数？
【考点】二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，根据用7000 元购进A、B 两种新式服装，按
标价售出后获得毛利润4000 元，列方程组求解．
【解答】解：设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，
由题意，得
，
解得：
．
答：A 种服装购进50 件，B 种服装购进40 件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组求解．
22．（8 分）（2015 秋•福田区期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A
处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线
爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′
平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′=
12
cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1=
12
+ 1
cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2=
5
cm（π 取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到
达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π 取3，
≈1.4）
【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有
【分析】（1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′=
A′O′，然后根据
l1=A′B′+AA′求解即可；
（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B 的对角线的长度即可；
（3）将
≈1.4 代入从而可求得l1、l2的近似值，从而可作出判断．
【解答】解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′=
A′O′=12
．
∴l1=A′B′+AA′=12
+1．
故答案为：12
；12
+1．
（2）
=
=6π=18．
将圆柱体的侧面展开得到如图1 所示矩形AA′B′B．
∵
=18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′=
=
=5
．
故答案为：5
．
（3）∵l1=12
+1≈12×1.2+1=15.4
∴
=237.16．
∵
=
=324，
∴
．
∴l1＜l2．
∴甲蚂蚁先到达食物处．
【点评】本题主要考查的是平面展开路径最短、勾股定理的应用、扇形的弧长公式的应用，将
圆柱体的侧面展开求得l2的长度是解题的关键．
23．（10 分）（2015 秋•福田区期末）二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（%）
达到100 时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去
的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、
乙轮胎的磨损度（%）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示：
（1）线段OB 表示的是 甲 （填“甲”或“乙”），它的表达式是
y=20x
（不必写出自变
量的取值范围）；
（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米？
（3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a 百万
米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你
确定方案中a、b 的值．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据图象可得OB 表示的轮胎比OA 表示的轮胎磨损慢，据此即可确定是甲或乙，
利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）利用待定系数法求得OA 的函数解析式，然后求得当y=100 时对应的x 的值即可；
（3）根据两个轮胎的磨损度都是100，即可列出方程组求解．
【解答】解：（1）线段OB 表示的是甲，设OB 的解析式是y=kx，
则1.5k=30，
解得：k=20，
则OB 的表达式是y=20x．
故答案是：甲，y=20x；
（2）设直线OA 的表达式为y=mx，
根据题意得：1.5m=50，
解得：m=
，
则OA 的解析式是y=
x．
当y=100 时，100=
x，
解得：x=3．
答：这辆自行车最多可骑行3 百万米．
（3）根据题意，得
，
解这个方程组，得
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情
况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；wdzyzlhx；守拙；王学峰；sks；HJJ；家有儿女；
sdwdmahongye；sd2011；gbl210；1987483819；蓝月梦；开心；HLing；ZJX；caicl；梁宝华；zhjh
（排名不分先后）
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2016 年12 月16 日
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根．记为a．
（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是
非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方
根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、
2 的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，
③含有π 的数，如分数π2 是无理数，因为π 是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如
等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多一个0）．
（3）含有π 的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如
是有理数，而不是无
理数．
3．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次
根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的
因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根
式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解
题途径，往往能事半功倍．
5．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将
这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代
入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x
（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把
求得的x、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的
系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等
或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次
方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任
意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原
方程组的解，用{x=ax=b 的形式表示．
6．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是
同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成
两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息
的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
7．二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎
样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
8．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
9．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下
降．
由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半
轴；当b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（﹣
，
0）；与y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
11．两条直线相交或平行问题
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，
图象相交；当k，b 都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程
组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同
位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内
错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：
同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
14．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来
寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
15．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个
内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转
化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，
用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2
b2
﹣
，b=c2
a2
﹣
及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每
一条直角边．
17．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间
的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解
决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
18．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事
项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标
（1）关于x 轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y 轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y 轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
20．加权平均数
（1）加权平均数：若n 个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…
+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
21．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
22．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
23．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1
x¯
﹣
）2+（x2
x¯
﹣
）2+…+（xn
x¯
﹣
）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
24．标准差
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程
度．
公式：s=s2=1n[（x1
x¯
﹣
）2+（x2
x¯
﹣
）2+…+（xn
x¯
﹣
）2]
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标
准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．
