角
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1、结合生活情景认识角，知道角的各部分名称，会用不同的方法和材料做出角。
2、在操作活动中体验感知角有大小，会用多种方法来比较角的大小，在探索角的大小比较的
过程中，发展数学思考能力。
3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中，体验解决问题策略的多样
性，培养学生的动手实践能力和创新意识。
1.角的定义与表示方法
（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。
角的组成定义：有______的两条射线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，
这两条射线是角的两条边。
角的形成定义：由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。
（2）角的表示方法：用三个大写的英文字母表示，其中表示顶点的字母应该写在____，
如图1 所示，表示为∠AOB；用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的____，如图1，
还可以表示为∠O（这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。用一个小写的希腊字母表
示，如图2 所示，表示∠α；④用数字表示标注，如图3 所示，表示为∠1.
（3）易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小
有关。另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。
2.角的度量及换算
（1）常用的角的度量单位为___、___、___，这种角的度量制叫做角度制。1 ﾟ
=__,1’=__。除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。
（2）常见的角的分类：锐角：大于0 ，小于
ﾟ
90 的角；钝角：大于
ﾟ
90 ，小于
ﾟ
180 的角
ﾟ
；
1 直角=__，1 平角=，1 周角=。
（3）角的度量工具有：量角器、经纬仪、测角器等。
（4）借助三角尺可以画出30 ，
ﾟ45 ，
ﾟ60 ，
ﾟ90 等特殊角，借助量角器可以画出任何给
ﾟ
定的角。
3.角的比较与运算
（1）角的比较与运算
______，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条
边的位置，如图所示。
______，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。
（2)易混淆点
在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。
4.角平分线
（1）定义：从一个角的____出发，把这个角分成两个____的角的，叫做这个角的平分线。
（2）角的n 等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n 个角，
叫做角的n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等。
5.角平分线的几何表示。
6.易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。
7.余角和补角
（1）定义：如果两个角的和等于90 ，就说这两个角互为
ﾟ
__角，简称________，其中一个
角是另一个角的余角。如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角，简称________，
其中一个角是另一个角的补角。
（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。
8.余角、补角的性质
（1）余角的性质：同角的余角相等。
（2）补角的性质：同角的补角相等。
9.方位角
（1）定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运
动的方向的夹角为方位角。
（2）注意事项：方位角在叙述是，一般先说____，后说____，如南偏东30 。但与南北方向
ﾟ
夹角为45 时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东
ﾟ
____，即为东南方向。
参考答案
1.公共端点 公共端点 端点 中间 顶点
2.度 分 秒 60’ 60” 90
ﾟ
180
ﾟ
360 ﾟ
3.叠合法 度量法
4.顶点 相等 射线
7.余 两个角互余 180 两个角互补
ﾟ
9.南北 东西 45 ﾟ
1. 角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是( )
A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间,每边上的点写在两旁
B.任何角都可以用一个字母表示
C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D 都符合角的表示方法的要求,B,当角的顶点处只有一个角时,才能用一个字母
表示,B 说法错误.
答案：B.
总结：角的表示方法：
1. 角可用三个大写字母表示
2. 记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
3. 记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
练1. 下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
答案： A
练2. 下列说法中，不正确的是（ ）
A.∠AOB 的顶点是O 点 B.∠AOB 的边是两条射线
C.射线BO,射线AO 分别是∠AOB 的边 D.∠AOB 与∠BOA 表示的是同一个角
【解析】A 三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B 角的两边是两条射线；C 射
线BO 端点为B 向BO 方向延伸，而射线AO 延AO 方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，
所以错误；D 角的两边是射线。
答案:C
练3 如图，下列表示角的方法错误的是 （ ）
A.∠1 与∠AOB 表示同一个角
B.∠AOC 可用∠O 来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC
D.∠β 表示的是∠BOC
【解析】A 同一个角的两种表示方法
B 一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。
C、D 正确。
答案：B
2. 角的度量与比较大小
【例2】钟表在3 点40 分时,它的时针和分针所成的钝角的度数是 .用10 倍的放
大镜观察,这个角应是 .
【解析】每小时分针转360°，时针转动30°；每分钟分针旋转6°，时针旋转0.5°
答案：130° 130°
总结：角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小
O
1
β
A
B
C
有关。
练4.(2014 濮阳一中)已知∠AOB=120°，OC 在它的内部，且把∠AOB 分成1：3 的两个角，那么
∠AOC 的度数为( )
A． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°
【解析】120 除以（1+3）=30°。
由于OC 可能靠近OA，或OB 所以出现了两种可能，
两种结果，∠AOC=30°或∠AOC=90°
答案：D
练5.如图,平角AOB 被分成的三个角∠AOC,∠COD,∠DOB 的比为2∶3∶4,则其中最大的角是
度.
【解析】设∠AOC=2x°,则∠COD=3x°,∠DOB=4x°,
根据题意得:2x+3x+4x=180,解得:x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案：80
练6.比较大小:38°15′___ 38. 15 度(填“>”“=”或“<”).
【解析】因为1°=60′,所以38.15°=38°+(0.1 5×60)′=38°9′,所以
38°15′>38 .15 度.
答案：>
练7 . 51°28′30"=________度
【解析】51 度28'30''= 51 度28.5'=51 度+(28.5/600 度=51 度+0.475 度=51.475 度
答案：51.475
3.角平分线
【例3】（2015 北京文汇期末）如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线.如果
∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）
50° B．60° C．65° D．70°
【解析】∵ OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=
∠COE=
×60°=30°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
答案：D
练8. 已知直线AB，CD 相交于点O，OA 平分
，
=70º，则
的度数是多少？
O
B
D
C
A
E
【解析】∵
=70º∴∠EOD=100º
∵OA 平分角EOC
∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º
∴∠BOD=55°
答案：55°
练9. 已知∠AOE=100º，∠DOF=80º。OE 平分∠DOC，OF 平分∠AOC。求∠EOF 的度数。
D
E
C
F
A
O
【解析】已知∠AOE＝∠AOC+∠COE＝100°，∠DOF＝∠DOC+∠COF＝80°，∠DOC＝
2∠COE，∠AOC＝2∠COF，∠EOF＝∠COE+∠COF。
则有∠AOE+∠DOF＝∠AOC+∠COE+∠DOC+∠COF
＝3∠COF+3∠COE＝3∠EOF＝180°，则∠EOF＝60°
答案：60°
练10. 如图，∠AOB=90º，∠AOC 是锐角，OF 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，求∠EOF 的度数。
B
E
F
C
A
O
【解析】OF 平分∠AOC,∠FOC=1/2*∠AOC
OE 平分∠BOC,∠EOC=1/2*∠BOC
∠EOF=∠FOC+∠EOC
=1/2*∠AOC+1/2*∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)
=1/2*∠AOB
=1/2*90°
=45°
答案：45º
4.余角与补角方位角
【例4】如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( )
A.150° B.90°
C. 60°
D.30°
【解析】这个角的补角是120º，那么这个角为60º，所以余角为30º。
答案：30º
总结：互为补角的两个角和为180 度，互为余角的两个角和为90 度。
练11.A 看B 的方向是北偏东30°，那么B 看A 的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60° （C）南偏东30° （D）南偏西30°
【解析】反过来看，参照物不同，位置相反为南偏西30º。
答案：D
练12.70°的余角是________ ，补角是_________。
【解析】互为余角的两个角和90º，互为补角的两个角和为180º 。
答案：20º 110º
练13. ∠ a （ ∠ a <90 ° ）的余角是 _________，它的补角是 ___________。
答案：90º-∠ a 180º- a 。
练14.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
【解析】设补角为4x 度，则余角为x 度，据题意列方程得：
4x-x=90º
x=30º
90 º-30 º =60 º
答案：60º
1.下列说法正确的是（ ）
A.两点之间直线最短
B .用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
C .把一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D .直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上呢
2.下图中，小于平角的角有（ ）
A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
3.（2014 前门外国语期末）如图所示，射线OA 表示的方向，射线OB 表示的方向,则
∠AOB=( )
A.155 ° B.205 ° C.85° D.105°
4.一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C
点，那么ABC=（ ）
A .60° B .15° C.45° D.70°
5.角也可以看作由 旋转面形成的图形。
北
西
南
东
75
40
O
B
A
2 题图
3 题图
4 题图
_______________________________________________________________________________
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1.下列说法中，正确的是（ ）
A．平角是一条直线。 B.一条直线是一个周角
C．两边成一条直线的角是平角 D.直线是平角
2.（2014 五中分月考）已知如图：试用三个大写字母表示:∠1 就是 ，
∠2 就是 ，∠3 就是 ，∠4 就是 。
3.在时刻8：30，时钟上的时针与分针之间的夹角是______,20 时15 分，时针与分针的夹角是
_______,2:25 时，时针与分针的夹角是________.
4. 如图，AB 是直线，∠1=∠2=50°36′求∠3 的度数。
5. 在∠AOB
的内部引一条射线
OC, 可得几个小于平角的角
? 引两条射线OC、OD 呢?引三条射线OC、OD、OE
呢? 若引n 条射线一共会有多少个角?
6.已知一条射线OA，若从点O 再引两条射线OB 和OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
则∠AOC 的度数为_____________
7.如图,把∠AOB 绕着O 点按逆时针方向旋转一个角度,得∠A′OB′,指出图中所有相等的
角,并简要说明理由.
O
A
B
B'
A'
C
D
1
2
A
O
3
B
8.如图,BD 平分∠ABC,BE 分∠ABC 分2:5 两部分,∠DBE=21°,求∠ABC 的度数。
9.（2014 吉安期末）直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠AOD，∠FOC=90°，
∠1=40°，求∠2 与∠3 的度数。
10.如图1，点A 在O 的北偏东 °，点B 在O 的 °
点C 在O 的 °，点D 在O 的 °.
11．如图2 所示，下列说法中错误的是（ ）
A．OA 的方向是北偏东40 B．OB 的方向是北偏西15
C．OC 的方向是南偏西30 D．OD 的方向是正东南方向
12．（2014 中山一中期末）书店、学校、食堂在平面上分别用点A 、B 、C 来表示，书店在学校
的北偏西30，食堂在学校的南偏东15，则平面图上的
ABC
应该是（ ）
A．65 B．35 C．165 D．135
13．甲从A 点出发向北偏东70°方向走50m 至点B,乙从A 出发向南偏西15°方向走80m 至
点C,则∠BAC 的度数是( )
A.85° B.160° C.125° D.105°
14．A 看B 的方向是北偏东50，则B 看A 的方向是
.
15.（2014 成都中考）如果∠α 和∠β 互补，且α>β，则下列表示β 的余角的式子中正确的
有_______
90°—β α—90° ½（α+β） ④½（α—β)
A.④ B.④ C. D.
E
F
D
B
C
A
O
1
3
2
A
E
D
C
B
北
东
60
°
O
75
°
45
°
75
°
A
B
C
D
图1
图2
北
东
O
参考答案
当堂检测
1.D 2.D 3.A 4.C 5.一条射线绕着它的端点
家庭作业
1.C 2.∠ABD ∠CBD ∠BDA
3. 90º 157.5º 77.5º
4.79º28’
5. 3 6 10 （n+1）（n+2）/2
6.40º 或者80º
7. ①∠AOB=∠A′OB′．
因∠A′OB′是由∠AOB 旋转得到的．
②∠AOA′=∠BOB′．
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB，
∴∠AOA′=∠BOB′．
8. ∵BE 分∠ABC 为2∶5 两部分
∴∠ABE：∠EBC=2：5
∴2∠EBC=5∠ABE
设∠ABD=x
∴∠EBC=x+21°，∠ABE=x°-21°
∴2（x+21°）=5(x-21°）
∴x=49°
∴∠ABC=2x=98°
9. ∠3＝180°－∠FOC－∠1
＝180°－90°－40°
＝50°
∠AOD＝180°－∠3
＝180°－50°
＝130°
∵OE 平分∠AOD
∴∠2＝½×∠AOD
＝½×130°
＝65°
10.30 南偏东45 南偏西 75 北偏西 75
11.A
12.C
13.C
14.南偏西50º
15.B
课程顾问签字： 教学主管签字
