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锐角三角函数
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1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示方法；
2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；
3、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般的思维能力．
1．锐角三角函数的定义
在Rt
ABC
△
中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作sinA．
即sinA= A
∠
的对边斜边=ac．
（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作cosA．
即cosA= A
∠
的邻边斜边=bc．
（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的______，记作tanA．
即tanA= A
∠
的对边∠A 的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是___值．
（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤A≤90°
∠
间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
3．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+ B=90°
∠
时，正余弦之间的关系为：
（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°
A
∠
﹣
）；
（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°
A
﹣∠）；
也可以理解成若∠A+ B=90°
∠
，那么sinA=cosB 或sinB=cosA．
1. 正弦．
【例1】（2014•河北廊坊三中期末）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ABC
∠
等于（ ）
2
A．
B．
C．
D．
练1. 如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．
练2. 在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 余弦．
【例2】（2015•湖南益阳中学月考）如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA 的
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
练3. 已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B，PA=4，OA=3，则cos APO
∠
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 正切．
【例3】（2014•北京第十四中学期中）在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA 的值是（
）
A．
B．2
C．
D．
练4. 如图，已知⊙O 的半径为5cm，弦AB 的长为8cm，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm，则
tan OPA
∠
等于（ ）
3
A．
B．
C．2
D．
4．互余两角三角函数的关系．
【例4】（2014•海口一中期末）在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，sinA= ，则cosB 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
练5. 在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sinA=sinB
B．tanA=tanB
C．sinA=cosB
D．cosA=cosB
5．锐角三角函数的增减性．
【例5】（2015•北京一六一中学期末）已知α 为锐角，则m=sinα+cosα 的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1
D．m≥1
练6．已知A 为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30°
D．30°≤A＜90°
1．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB 的值为（ ）
A．
B ．
C．
D．
2．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC 的长是（ ）
A．
B．3 C．
D．
3．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=3，AB=5．则cosB 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt
ABC
△
中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinB=
B．cosB=
C．tanB=2
D．cotB=
6．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA=sinB
B．cosA=sinB
C．sinA=cosB
D．sin（A+B）=sinC
4
7．在RT
ABC
△
中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是
（ ）
A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=b•tanB D．b=
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1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则cosB 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦且CD AB
⊥
，BC=6，AC=8，则sin ABD
∠
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB=
B．cosB=
C．tanB=
D．cotB=
6．如图，CD 是Rt
ABC
△
斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos BCD
∠
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）
5
A．
B．
C．
D．
8．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，E 是BC 的中点，AE 交BC 于点D，DF AB
⊥
于
F，F 为垂足，连接CF．
（1）判断△CDF 的形状，并证明你的结论；
（2）若AC=8，cos CAB=
∠
，求线段BC 和CD 的长．
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