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专题六数列
第十八讲数列的综合应用
2019
年
1.（2019 浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，n
N ,则
A．当b=1
2 时，a10＞
10
B
．当b=1
4 时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞
10
D
．当b=-4 时，a10＞10
2.（2019 浙江20）设等差数列{
}
na
的前
项和为
n
n
S ，
3
4
a =
，
4
3
a
S
=
，数列{ }
n
b
满足：
对每个
1
2
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
S
b S
b S
b
+
+
+
+
+
N
成等比数列.
（）求数列
1
{
},{ }
n
n
a
b
的通项公式；
（）记
2
,
,
2
n
n
n
a
c
n
b
=
N
证明：1
2
+
2
,
.
n
c
c
c
n n
+
+
N
3.
2019
（
江苏20）定义首项为
且公比为正数的等比数列为
1
“M－数列”.
（）已知等比数列
1
{an}
*
(
)
nN
满足：
2
4
5
3
2
4
,
4
4
0
a a
a a
a
a
=
−
+
=
，求证：数列{an}为“M
－数列”；
（）已知数列
2
{bn}
*
(
)
nN
满足：
1
1
1
2
2
1,
n
n
n
b
S
b
b +
=
=
−
，其中Sn 为数列{bn
}的前
项和．
n
①求数列{bn}的通项公式；
②设
为正整数，若存在
m
“M－数列”{cn}
*
(
)
nN
，对任意正整数，当
时，都有
k
k m
≤
1
k
k
k
c
b
c +
剟
成立，求
的最大值．
m
4.（
北京理
）已知数列
2019
20
n
a
，从中选取第
1i 项、第2i 项、…、第mi 项 (
)
1
2
m
i
i
i
，
若
1
2
m
i
i
i
a
a
a
L
，则称新数列
1
2
m
i
i
i
a
a
a
L
为
n
a
的长度为
的递增子列。规定：数列
m
n
a
的任意一项都是
n
a
的长度为
的递增子列。
1
（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为
的递增子列；
4
（Ⅱ）已知数列
n
a
的长度为
的递增子列的末项的最小值为
P
o
m
a
，长度为
的递增子
q
列的末项的最小值为
o
na
，若
，求证：
p q
<
o
o
m
n
a
a
；
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（Ⅲ）设无穷数列
n
a
的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若
n
a
的长度为
的
s
递增子列末项的最小值为
，且长度为末项为
的递增子列恰有
2 -1
s
s
2 -1
s
1
2s−个（ s=1,2,…），
求数列
n
a
的通项公式.
2010-2018
年
一、选择题
1
2017
．（
新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家
学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码的活动．这款软件的激活码为
”
下面数学问题的答案：已知数列，
1
1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，
其中第一项是
02 ，接下来的两项是
02 ，
12 ，再接下来的三项是
02 ，
12 ，
22 ，依此类
推．求满足如下条件的最小整数N ：
100
N
且该数列的前N
项和为
的整数幂．那
2
么该款软件的激活码是
A
440
B
．
．
．
．
330 C
220 D
110
2
2016
．（
年全国Ⅲ）定义
数列
“规范01
”{
}
na
如下：{
}
n
a
共有2m 项，其中m
项为，
0
m 项
为
，且对任意
1
2
k
m
，
1
2
,
,
,
k
a a
a
中
的个数不少于
的个数．若
0
1
m =4，则不同
的“规范
数列”共有
01
（）
个
（）
A
18
B
16 个
C
（）14 个
D
（）12 个
3
(2015
)
．
湖北设
1
2
,
,
,
n
a a
a R ，
3
n≥
．若p ：
1
2
,
,
,
n
a a
a
成等比数列；
：
q
2
2
2
1
2
1
(
)
n
a
a
a −
+
+
+
2
2
2
2
2
3
1
2
2
3
1
(
)
(
)
n
n
n
a
a
a
a a
a a
a
a
−
+
+
+
=
+
+
+
，则
A．是
的充分条件，但不是
的必要条件
p
q
q
B．是
的必要条件，但不是
的充分条件
p
q
q
C．是
的充分必要条件
p
q
D．既不是
的充分条件，也不是
的必要条件
p
q
q
4
2014
2
．（
新课标）等差数列
na
的公差为2，若
2a ，
4a ，
8a 成等比数列，则
na
的前n
项和
n
S =
A．
(
)1
n n+
B．
(
)
1
n n−
C．
(
)1
2
n n +
D．
(
)1
2
n n −
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5
2014
．（
浙江）设函数
2
1
)
(
x
x
f
=
，
),
(
2
)
(
2
2
x
x
x
f
−
=
|
2
sin
|
3
1
)
(
3
x
x
f
=
，
99
i
i
a =
，
0,1,2,
,99
i =
，记
1
0
|
(
)
(
) |
k
k
k
I
f
a
f
a
=
−
+
2
1
|
(
)
(
) |
k
k
f
a
f
a
−
++
99
98
|
(
)
(
) |
k
k
f
a
f
a
−
，
.3,2,1
=
k
则
A．
3
2
1
I
I
I
B
．
3
1
2
I
I
I
C
．
2
3
1
I
I
I
D
．
1
2
3
I
I
I
二、填空题
6．(2018
)
江苏已知集合
*
{ |
2
1,
}
A
x x
n
n
=
=
−
N
，
*
{ |
2 ,
}
n
B
x x
n
=
=
N
．将A
B 的所有元
素从小到大依次排列构成一个数列{
}
na
．记
n
S
为数列{
}
na
的前n 项和，则使得
1
12
n
n
S
a +
成立的n 的最小值为
．
7
2015
．（
陕西）中位数为
的一组数构成等差数列，其末项为
，则该数列的首项
1 010
2 015
为
．
8
2014
2
．（
新课标）数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
+ = −
，
2
a =2，则
1a =_________．
9
2013
．（
重庆）已知
na
是等差数列，
1
1
a = ，公差
0
d
，
n
S 为其前n 项和，若
1
2
5
,
,
a a a
成等比数列，则
8
_____
S =
．
10．（2011 江苏）设
7
2
1
1
a
a
a
，其中
7
5
3
1
,
,
,
a
a
a
a
成公比为q 的等比数列，
6
4
2
,
,
a
a
a
成公差为
的等差数列，则
1
q 的最小值是________
．
11．（2011 浙江）若数列
2
(
4)( )
3
n
n n
+
中的最大项是第k 项，则k =_______________．
三、解答题
12．(2018
)
江苏设{
}
n
a
是首项为
1a ，公差为d 的等差数列，{ }
nb
是首项为1b ，公比为q 的
等比数列．
(1)设
1
1
0,
1,
2
a
b
q
=
=
=
，若
1
|
|
n
n
a
b
b
−
≤
对 1,2,3,4
n =
均成立，求d 的取值范围；
(2) 若
*
1
1
0,
,
(1, 2]
m
a
b
m
q
=
N
，证明：存在 d R
，使得
1
|
|
n
n
a
b
b
−
≤
对
2,3,
,
1
n
m
=
+ 均成立，并求d 的取值范围（用
1
,
,
b m q 表示）．
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13．（ 2017 天津）已知{
}
n
a
为等差数列，前
项和为
n
(
)
nS n
N
，{
}
nb
是首项为
的等比
2
数列，且公比大于，
0
2
3
12
b
b
+
=
,
3
4
1
2
b
a
a
=
−
，
11
4
11
S
b
=
．
（Ⅰ）求{
}
n
a
和{
}
n
b
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
−
的前
项和
n
(
)
n
N
．
14．（ 2017 浙江）已知数列{
}
n
x
满足：1
1
x =
，
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
+
(
)
n
*
N
．
证明：当n
*
N 时
（Ⅰ）
1
0
n
n
x
x
+
；
（Ⅱ）
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
+
+
−
≤
；
（Ⅲ）
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
−
−
≤
≤
．
15．（2016
{
年四川高考）已知数列
na
}
1
的首项为
，
n
S 为数列{
na
}的前n 项和，
1
1
n
n
S
qS
+ =
+
，其中q>0，
*
n
N
.
（）若
I
2
3
2
2
,
,
2
a a a +
成等差数列，求
na 的通项公式；
(
)
Ⅱ设双曲线
2
2
2
1
n
y
x
a
−
= 的离心率为ne ，且
2
5
3
e =
，证明：
1
2
1
4
3
3
n
n
n
n
e
e
e
−
−
+
+ +
．
16．（
湖北）设等差数列
2015
{
}
na
的公差为
项和为
d，前n
n
S ，等比数列{ }
nb
的公比为q．已
知
1
1
b
a
=
，
2
2
b = ，q
d
=
，
10
100
S
=
．
（）求数列
Ⅰ
{
}
na
，{ }
nb
的通项公式；
（）当
Ⅱ
1
d 时，记
n
n
n
a
c
b
=
，求数列{ }
nc
的前n 项和
nT ．
17．（2015 陕西）设
( )
nf
x 是等比数列1，x ，
2
x ，，
n
x 的各项和，其中 0
x
，n，
2
n≥
．
（Ⅰ）证明：函数
( )
( ) 2
n
n
F
x
f
x
=
−
在1 ( ,1)
2
内有且仅有一个零点（记为
nx ），且
1
1
1
2
2
n
n
n
x
x +
=
+
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
( )
n
g
x ，比较
( )
nf
x 与
( )
n
g
x 的大小，并加以证明．
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18．（
）在数列
2015 重庆
na
中，
1
3
a =
，
2
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
=
(
)
n
N+
．
（）若
Ⅰ
0,
2
=
= −，求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）若
0
0
0
1
(
,
2)
k
N k
k
+
=
≥
，
1
= −，
：
证明
0 1
0
0
1
1
2
2
3
1
2
1
ka
k
k
+
+
+
+
+
．
19．(2014 山东）已知等差数列
}
{
na
的公差为2，前n项和为
n
S ，且
1S ，
2
S ，
4
S 成等比数
列．
（Ⅰ）求数列
}
{ na
的通项公式；
（Ⅱ）令nb =
,
4
)1
(
1
1
+
−
−
n
n
n
a
a
n
求数列
}
{ nb
的前n 项和
nT ．
20．（2014浙江）已知数列
n
a
和
nb 满足
(
) (
)
=
N
n
a
a
a
n
b
n
2
2
1
．若
n
a
为等比数列，
且
.
6
,2
2
3
1
b
b
a
+
=
=
（Ⅰ）求
na 与
nb ；
（Ⅱ）设
(
)
−
=
N
n
b
a
c
n
n
n
1
1
．记数列
nc
的前n 项和为
n
S ．
（ⅰ）求
n
S ；
（ⅱ）求正整数k ，使得对任意
N
n
，均有
n
k
S
S
．
21．（ 2014 湖南）已知数列{
na }满足
*
1
1
1,|
|
,
.
n
n
n
a
a
a
p n
N
+
=
−
=
（Ⅰ）若{
na }是递增数列，且
1
2,
3
,2
3
a
a
a 成等差数列，求p 的值；
（Ⅱ）若
1
2
p =
，且{
2
1
n
a
−}是递增数列，{
2n
a
}是递减数列，求数列{
na }的通项公式．
22．（ 2014 四川）设等差数列{
}
na
的公差为d ，点
(
,
)
n
n
a b
在函数
( )
2x
f x =
的图象上
（
*
n
N
）．
（Ⅰ）若1
2
a = −
，点
8
7
(
,4
)
a
b
在函数
( )
f x 的图象上，求数列{
}
na
的前n 项和
n
S ；
（Ⅱ）若1
1
a =
，函数( )
f x 的图象在点
2
2
(
,
)
a b
处的切线在x 轴上的截距为
1
2
ln2
−
，
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求数列{
}
n
n
a
b
的前n项和
nT ．
23．(2014
)
江苏设数列
}
{
n
a
的前n项和为
n
S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得
m
n
a
S
=
，则称
}
{
n
a
是“
数列”．
H
（Ⅰ）若数列
}
{
n
a
的前
项和
n
n
n S
2
=
(
n
N )，证明:
}
{
n
a
是“
数列”；
H
（Ⅱ）设
}
{
n
a
是等差数列，其首项
1
1 =
a
，公差
0
d
．若
}
{
n
a
是“H 数列”，求d 的
值；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列
}
{
n
a
，总存在两个“
数列”
H
}
{ nb
和
}
{ nc
，使得
n
n
n
c
b
a
+
=
(
n
N )成立．
24．（ 2013 安徽）设数列
na
满足1
2
a =
，
2
4
8
a
a
+
=
，且对任意
*
n
N
，函数
1
2
1
2
( )
(
)
cos
-
sin
n
n
n
n
n
f x
a
a
a
x
a
x a
x
+
+
+
+
=
−
+
+
，满足
'(
)
0
2
f
=
（Ⅰ）求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）若
1
2
2 n
n
n
a
b
a
=
+
（
），求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
25．（ 2013 广东）设各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
2
1
4
4
1
n
n
S
a
n
+
=
−
−，
*
n
N
，且
2
5
14
,
,
a a a
构成等比数列．
（Ⅰ）证明：
2
1
4
5
a
a
=
+
；
（Ⅱ）求数列
na
的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有
1
2
2
3
1
1
1
1
1
2
n
n
a a
a a
a a +
+
+
+
．
26．（ 2013 湖北）已知
n
S 是等比数列{
}
n
a
的前n 项和，
4
S ，2
S ，
3
S 成等差数列，
且
2
3
4
18
a
a
a
+
+
= −
.
（Ⅰ）求数列{
}
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得
2013
n S
？若存在，求出符合条件的所有n的集合；
若不存在，说明理由．
27．（2013 江苏）设
n
a
是首项为a ，公差为d 的等差数列 (
)
0
d
，
nS 是其前n 项和．
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记
2
n
n
nS
b
n
c
=
+
，
N
n
*
，其中c为实数.
（Ⅰ）若
0
c =
，且
1b ，
2b ，
4b 成等比数列，证明：
(
)
2
N
nk
k
S
n S
k,n
*
=
；
（Ⅱ） 若
nb
是等差数列，证明：
0
c =
．
28． (2012 山东)已知等差数列{
}
na
的前
项和为
5
105，且
10
5
2
a
a
=
．
（Ⅰ）求数列{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）对任意
*
mN ，将数列{
}
na
中不大于
2
7 m 的项的个数记为
m
b .求数列{
}
mb
的前m
项和
m
S ．
29．（2012 湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金
2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了
％．预计以后每年资金年增长率
50
与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余
资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为
na 万元．
（Ⅰ）用d 表示
1
2
,
a a ，并写出
1
n
a + 与
na 的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m （m
≥）年使企业的剩余资金为
万元，试确定企业每
3
4000
年上缴资金d的值（用m 表示）．
30．（ 2012 浙江）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
n
S =
2
2n
n
+
，∈
n
N﹡，数列
nb
满
足
2
4log
3
n
n
a
b
=
+
，
*
n
N
．
（Ⅰ）求
,
n
n
a b ；
（Ⅱ）求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和nT ．
31．（ 2012 山东）在等差数列
na
中，
84
5
4
3
=
+
+
a
a
a
，
9
73
a =
（Ⅰ）求数列
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）对任意的
*
N
m
，将数列
n
a
中落入区间 (
)
2
9 ,9
m
m 内的项的个数为
m
b ，求数
列
m
b
的前m 项和
m
S ．
32．（2012 江苏）已知各项均为正数的两个数列{
}
n
a
和{ }
nb
满足：
1
2
2
n
n
n
n
n
a
b
a
n
a
b
+
+
=
+
N
，
．
关注微信公众号：加油高三
（Ⅰ）设
1
1
n
n
n
b
b
n
a
+
= +
N
，
，求证：数列
2
n
n
b
a
是等差数列；
（Ⅱ）设
1
2
n
n
n
b
b
n
a
+
=
N
，
，且{
}
n
a
是等比数列，求
1a 和
1b 的值．
33．（ 2011 天津）已知数列
{
}
{
}
n
n
a
b
与
满足
1
1
( 2)
1
n
n
n
n
n
b a
b a
+
+
+
= −
+ ，
1
*
1
3
( 1)
,
,
2
2
n
n
b
n
N
a
−
+ −
=
=
且
．
（Ⅰ）求
2
3
,
a
a 的值；
（Ⅱ）设
*
2
1
2
1,
n
n
n
c
a
a
n
N
+
−
=
−
，证明{ }
nc
是等比数列；
（Ⅲ）设
n
S 为{
}
n
a
的前n 项和，证明
*
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1 (
).
3
n
n
n
n
S
S
S
S
n
n
N
a
a
a
a
−
−
+
+
+
+
−
34．（ 2011 天津）已知数列{
}
n
a
与{ }
n
b
满足：
1
1
2
3
( 1)
0,
2
n
n
n
n
n
n
n
b a
a
b
a
b
+
+
+
+ −
+
+
=
=
，
*
nN ，且
1
2
2,
4
a
a
=
=
．
（）求
Ⅰ
3
4
5
,
,
a a a 的值；
（Ⅱ）设
*
2
1
2
1,
n
n
n
c
a
a
n
N
−
+
=
+
，证明：
nc
是等比数列；
（Ⅲ）设
*
2
4
2 ,
,
k
k
S
a
a
a
k
N
=
+
++
证明：
4
*
1
7(
)
6
n
k
k
k
S
n
N
a
=
．
35．（ 2010 新课标）设数列
na
满足
2
1
1
1
2,
3 2 n
n
n
a
a
a
−
+
=
−
=
（Ⅰ）求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）令
n
n
b
na
=
，求数列的前n 项和
n
S ．
36．（ 2010 湖南）给出下面的数表序列：
12
4 4 8
表
表
1
2
3
表
∙∙∙
1 1 3 1 3 5
关注微信公众号：加油高三
其中表n （n
=1,2,3
）有n
行，第
行的
1
n
个数是
，
1,3,5
2 n
-1
2
，从第
行
起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表，验证表
各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结
4
4
论推广到表n （≥
n
3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12
，记此数列为
nb
求和：
3
2
4
1 2
2 3
1
n
n n
b
b
b
bb
b b
b b
+
+
+
+
*
(
)
n
N
．
