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专题十三
推理与证明
第三十八讲
推理与证明
答案部分
1
B
．【解析】解法一因为
ln
1
x
x−
≤
(
0
x
)，所以
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
1
2
3
1
a
a
a
+
+
−
≤
，所以
4
1
a
−
≤
，又
1
1
a ，所以等比数列的公比
0
q
．
若
1
q
−
≤
，则
2
1
2
3
4
1
(1
)(1
0
a
a
a
a
a
q
q
+
+
+
=
+
+
）≤
，
而
1
2
3
1
1
a
a
a
a
+
+
≥
，所以
1
2
3
ln(
)
0
a
a
a
+
+
，
与
1
2
3
1
2
3
4
ln(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
+
≤
矛盾，
所以
1
0
q
−
，所以
2
1
3
1
(1
)
0
a
a
a
q
−
=
−
，
2
2
4
1
(1
)
0
a
a
a q
q
−
=
−
，
所以
1
3
a
a
，
2
4
a
a
，故选
．
B
解法二 因为
1
xe
x +
≥
，
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
，
所以
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
a
a
a
a
e
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
≥
，则
4
1
a
−
≤
，
又
1
1
a
，所以等比数列的公比
0
q
．
若
1
q
−
≤
，则
2
1
2
3
4
1
(1
)(1
0
a
a
a
a
a
q
q
+
+
+
=
+
+
）≤
，
而
1
2
3
1
1
a
a
a
a
+
+
≥
，所以
1
2
3
ln(
)
0
a
a
a
+
+
与
1
2
3
1
2
3
4
ln(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
+
≤
矛盾，
所以
1
0
q
−
，所以
2
1
3
1
(1
)
0
a
a
a
q
−
=
−
，
2
2
4
1
(1
)
0
a
a
a q
q
−
=
−
，
所以
1
3
a
a
，
2
4
a
a
，故选
．
B
2．D【解析】解法一点
(2,1) 在直线
1
x
y
−
= 上，
4
ax
y
+
=
表示过定点(0,4) ，斜率为a
−
的直线，当
0
a
时，
2
x
ay
−
=
表示过定点(2,0) ，斜率为1
a
的直线，不等式
2
x
ay
−
≤
表示的区域包含原点，不等式
4
ax
y
+
表示的区域不包含原点．直线
4
ax
y
+
=
与直
线
2
x
ay
−
=
互相垂直，显然当直线
4
ax
y
+
=
的斜率
0
a
−
时，不等式
4
ax
y
+
表
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示的区域不包含点(2,1)
，故排除A；点(2,1) 与点(0,4) 连线的斜率为
3
2
−
，当
3
2
a
−−
，即
3
2
a
时，
4
ax
y
+
表示的区域包含点(2,1) ，此时
2
x
ay
−
表示的
区域也包含点(2,1)
，故排除
；当直线
B
4
ax
y
+
=
的斜率
3
2
a
−= −
，即
3
2
a =
时，
4
ax
y
+
表示的区域不包含点(2,1)
，故排除C，故选
．
D
解法二 若
(2,1)
A
，则
2
1
4
2
2
a
a
+
−
≤
，解得
3
2
a
，所以当且仅当
3
2
a≤
时，
(2,1)
A
．故选
．
D
3
D
．【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙
看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选
．
D
4
B
．【解析】设O 为三角形ABC
中心，底面如图2，过O 作
OE
RP
⊥
，
OF
PQ
⊥
，
OG
RQ
⊥
，由题意可知tan
DO
OE
=
，tan
OD
OF
=
，tan
OD
OG
=
，
G
F
E
O
D
C
B
A
P
Q
R
x
y
A
P
B
Q
C
G
R
O
F
E
图
图
1
2
由图
所示，以
2
P 为原点建立直角坐标系，不妨设
2
AB =
，则
( 1,0)
A −
，
(1,0)
B
，
(0, 3)
C
，
3
(0,
)
3
O
，∵
AP
PB
=
，
2
BQ
CR
QC
RA
=
=
，∴
1 2 3
( ,
)
3
3
Q
，
2
3
(
,
)
3
3
R −
，
则直线RP 的方程为
3
2
y
x
= −
，直线PQ 的方程为
2 3
y
x
=
，直线RQ 的方程为
3
5 3
3
9
y
x
=
+
，根据点到直线的距离公式，知
2 21
21
OE =
，
39
39
OF =
，
1
3
OG =
，
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∴
OF
OG
OE
，
tan
tan
tan
，
因为，，为锐角，所以
．选B
5．B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的
人为
号，所以进入
秒跳绳决赛的
8
1~8
30
6
1~8
人从
号里产生．数据排序后可知
号必定进入
秒跳绳决赛，则
3 号，6 号，7
30
得分为
，
63
a ，
，
，
60
63
a −
l
5
3
的
人中有
人进入30 秒跳绳决赛．若
号学
1 号，5
生未进入
秒跳绳决赛，则
号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以号，
30
4
l
5 号学
生必进入
秒跳绳决赛，故选
．
30
B
6．A 【解析】当
4
s =
时，p ，q，r 都是取0 ，1，2 ，3中的一个，有
4 4 4
64
=
种，
当
3
s =
时，p ，q ，r 都是取0 ，1，2 中的一个，有
3 3 3
27
=
种，当
2
s =
时，p ，
q ，r 都是取0 ，1 中的一个，有
2 2 2
8
=
种，当
1
s = 时，p ，q ，r 都取0 ，有1
种，所以
( )
card
64
27 8 1 100
=
+
+ + =
，当
0
t =
时，u 取1，2 ，3，4中的一个，
有4 种，当
1
t =
时，u 取2，3 ，4中的一个，有3种，当
2
t =
时，u 取3 ，4 中的一
个，有2 种，当
3
t =
时，u 取4 ，有1种，所以t 、u 的取值有
1 2 3 4
10
+ + +
=
种，
同理，v、w 的取值也有10种，所以
( )
card F
10 10
100
=
=
，
所以
( )
( )
card
card F
100 100
200
+
=
+
=
，故选
．
D
7
B
．【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低
于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存
在的情况是，最多有
人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；
3
第三个人成绩均为中等．故选B．
8
A
．【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选
．
A
9
D
．【解析】∵
5 5
3125
=
,
6
5
15 625
=
,
7 5
78125
=
,
8
5
390 625
=
，
9 5
1953125
=
，
10
5
9 765 625
=
, ,∴5n ( n
Z
,且
5
n≥
)的末四位数字呈周期性变化，且最小正
周期为
记
4,
5
n (n
Z
,且
5
n≥
)的末四位数字为
( )
f n ,则
(2011)
(501 4
7)
f
f
=
+
(7)
f
=
，∴
2011
5
与
75
的末位数字相同，均为8 125，选D．
10．【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数
D
( )
f x 是偶函数，则它的导函数是
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奇函数，因为定义在R 上的函数( )
f x
满足
(
)
( )
f
x
f x
−
=
，即函数
( )
f x 是偶函数，所
以它的导函数是奇函数，即有(
)
g
x
−
=
( )
g x
−
，故选
．
D
11．27【解析】所有的正奇数和2n (
*
nN )按照从小到大的顺序排列构成{
}
na
，在数列{
}
na
中，
5
2
前面有
个正奇数，即
16
5
21
2
a =
，
6
38
2
a =
．当
1
n =
时，
1
2
1 12
24
S
a
=
=
，
不符合题意；当
2
n =
时，
2
3
3
12
36
S
a
=
=
，不符合题意；当
3
n =
时，
3
4
6
12
48
S
a
=
=
，不符合题意；当
4
n =
时，4
5
10
12
60
S
a
=
=
，不符合题意；……；
当
26
n =
时，
5
26
21 (1
41)
2 (1
2 )
2
1 2
S
+
−
=
+
−
= 441 +62= 503<
27
12
516
a
=
，不符合题
意；当
27
n =
时，
5
27
22 (1
43)
2 (1 2 )
2
1 2
S
+
−
=
+
−
=484 +62=546>
28
12a
=540，符合题
意．故使得
1
12
n
n
S
a +
成立的n
的最小值为
．
27
12．
1
Q
2p 【解析】设线段
i
i
A B 的中点为
( ,
)
i
i
i
C x y
，则
2
i
i
Q
y
=
，其中
1,2,3
i =
①由题意只需比较线段
i
i
A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得
1
1
A B 中点纵坐标比
2
2
3
3
,
A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选
1
Q ．
②由题意
i
i
i
y
p
x
=
，只需比较三条线段
1
OC ，
2
OC
3
OC 斜率的大小，
作
分别
1
2
3
,
,
B B B
关于原点的对称点
1
2
3
,
,
B
B
B
，比较直线
1
1
2
2
3
3
,
,
A B A B
A B
斜率，可得
2
2
A B最大，所
以选
2.
p
13．1
3
和【解析】为方便说明，不妨将分别写有
和，
1
2
1
3
2
3
和，和
的卡片记为
，
A
B，
C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是，则丙只可能是卡片
或
，无论是哪
5
A
B
一张，均含有数字，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是
可知，乙所拿的卡片必然
1
1
是
，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是，知甲所拿的卡片为
，此时丙所拿的
C
2
B
卡片为
．
A
14．【解析】根据已知，归纳可得结果为4
3
n(n+1)．
15．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
−
+
−
++
−
=
+
++
−
+
+
．
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【解析】观察等式知：第
个等式的左边有
n
2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，
且分子为，分母是
到
1
1
2n 的连续正整数，等式的右边是
1
1
1
1
2
2
n
n
n
+
++
+
+
．
16．
1
4n-
【解析】具体证明过程可以是：
0
1
2
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
(2
2
2
2
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
0
2
1
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
[(
)
(
)
(
)
(
)]
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
0
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
(
)
2
4
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
．
17．1
4
【解析】解法一直接递推归纳；等腰直角三角形
ABC 中，斜边
2 2
BC =
，所以
1
1
2
2,
2
AB
AC
a
AA
a
=
=
=
=
=
，
1
2
3
1
A A
a
=
= ，，
6
5
6
7
1
2
1
(
)
2
4
A A
a
a
=
=
=
．
解法二求通项：等腰直角三角形
ABC 中，斜边
2 2
BC =
，
所以
1
1
2
2,
2
AB
AC
a
AA
a
=
=
=
=
=
，，
1
1
2
2
sin
2 (
)
4
2
2
n
n
n
n
n
n
A
A
a
a
a
−
+
=
=
=
=
，故
6
7
2
2 (
)
2
a =
= 1
4
18．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③
④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4) ，(3,2,1,4) ；若只有③正确，①②④
都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4) ；若只有④正确，①②③都不正确，则
符合条件的有序数组为(2,1,4,3) ，(3,1,4,2) ，(4,1,3,2) ．综上符合条件的有序数组
的个数是．
6
19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6 天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始
粗加工原料A
，再9 天后（
天后），徒弟粗加工原料
15
A 完成，此时师傅还在精加工原
料B
，
天后，师傅精加工原料
27
B 完成，然后接着精加工原料A
，再
天后，师傅
15
精加工原料A
完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42 个工作日．
20． 1
2014
x
x
+
【解析】由
1( )
1
x
f x
x
= +
，得
2
( )
(
)
1
1 2
x
x
f
x
f
x
x
=
=
+
+
，
可得
3
2
( )
(
( ))
1 3
x
f x
f f
x
x
=
= +
，故可归纳得2014 ( )
1 2014
x
f
x
x
=
+
．
21．
2
F
V
E
+
−
=
【解析】三棱柱中
；五棱锥中
5 +6-9 =2
6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，
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由此归纳可得
2
F
V
E
+
−
=
．
22．12－22+32－42+
+
1
… （－）n+1n 2=
1
（－）n+1·
(
1)
2
n n+
（∈
n
N ）
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加，故第
1
n 个等式左边有n
项，每项所含的底数的绝对值也增加
，一次为
，，，…
1
1
2
3
n
，指数都是
，符号成
2
正负交替出现可以用
1
( 1)n+
−
表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等
式的右边可以表示为 ( 1)n
−
·
(
1)
2
n n+
，所以第n
个式子可为1 2－22+32 －42+…
+
1
2
( 1)n n
+
−
=
1
（－）n+1·
(
1)
2
n n+
（n ∈
N
）．
23．1000【解析】观察
2
n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等
差数列，故
(
)
2
,24
11
10
N n
n
n
=
−
，
(
)
10,24
1000
N
=
24．
6
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左
边=
2
2
2
1
1
1
1
2
3
(
1)
n
+
+
++
+
，右边=
(
)
1
1
1
2
+
−
+
n
n
，所以第五个不等式为
6
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
．
25．（ 1）6
2
；（ ）
4
3 2
11
n−
+
【解析】（1）当N =16 时，
0
1
2 3
4
5 6
16
P
x x x x x x
x
=
，可设为
(1,2,3,4,5,6,
,16) ，
1
1
3
5
7
15
2
4
6
16
P
x x x x
x x x x
x
=
，即为
(1,3,5,7,9,
2,4,6,8,
,16) ，
2
1
5
9
13
3
7 11 15
2
6
16
P
x x x x x x x x x x
x
=
，即
(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,
,16)，
7x 位于
2P 中
的第
个位置；
6
（）在
2
1P 中173
x
位于两段中第一段的第
个位置，位于奇数位置上，此时在
87
2P 中
173
x
位
于四段中第一段的第
个位置上，再作变换得
44
3P 时，
173
x
位于八段中第二段的第22
个位置上，再作变换时，173
x
位于十六段中的第四段的第
个位置上．也就是位于
11
4P 中
的第
4
3 2
11
n−
+
个位置上．
26．
2
(
1)
(3
2)
(2
1)
n
n
n
n
+
+
+
+
−
=
−
【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个
关注微信公众号：加油高三
等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是2
1
n−；等式右边都是完全平方
数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25
3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
……
……
……
所以
2
(
1)
[
(2
1) 1]
(2
1)
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
−
−
=
−
，
即
2
(
1)
(3
2)
(2
1)
n
n
n
n
+
+
+
+
−
=
−
27．
0,
1
1
2
3
n
n
n
n
−
当为偶数时
，当为奇数时
【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，
可得
nT =
0,
1
1
2
3
n
n
n
n
−
当为偶数时
，当为奇数时
．
28．962【解析】观察等式可知，cos
的最高次的系数2,8,32,128 构成了公比为
的等比数
4
列，故
128 4
512
m =
=
．取
0
=
，则
cos
1
=
，
cos10
1
=
，代入等式⑤得
1
512 1280 1120
1
n
p
=
−
+
+
+
−，即
350
n
p
+
= −
①
取
3
=
，则
1
cos
2
=
，
1
cos10
2
= −
，代入等式⑤得
10
8
6
4
2
1
1
1
1
1
1
512 ( )
1280 ( )
1120 ( )
( )
( )
1
2
2
2
2
2
2
n
p
−
=
−
+
+
+
−
即
4
200
n
p
+
= −
②
联立①②得，
400,
50
n
p
= −
=
，所以
m n
p
−+
=
512
( 400)
50
962
−−
+
=
．
29．【解析】(1)因为
(1,1,0)
=
，
(0,1,1)
=
，所以
1
( , )
[(1 1 |1 1|)
(1 1 |1 1|)
(0
0) | 0
0|)]
2
2
M
=
+ −
−
+
+ −
−
+
+
−
−
=
，
1
( ,
)
[(1 0 |1 0|)
(1 1 |1 1|)
(0 1 | 0 1|)]
1
2
M
=
+ −
−
+
+ −
−
+
+ −
−
=
．
(2)设
1
2
3
4
( ,
,
,
)
x x
x x
B
=
，则
1
2
3
4
( ,
)
M
x
x
x
x
=
+
+
+
．
关注微信公众号：加油高三
由题意知
1x ，
2x ，
3x ，
4x ∈
，
{0
1}，且
( , )
M 为奇数，
所以
1x ，
2x ，
3x ，
4x
中
的个数为
或．
1
1
3
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，
(1，0
1
(1
，，1)，
，1
0
，，1)，(1，，，
1
1
0)}
．
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1
0
，，0，0)，(1，1
1
，，0)；
，，
(0
1
0
1
0
，0)，(1，，，1)；(0
0
1
，，，0)，
，，
(1
0
1
(0
，1)；
，0
0
(0
，，1)，
，1
1
，，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有
( ,
)
1
M = ．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以集合B
中元素的个数不超过．
4
又集合
，
{(1
0
0
0)
，，
，(0
1
，，0
0)
(0
0
1
，
，，，，
，
，
0)
(0
0
0
，，1)}满足条件，
所以集合B
中元素个数的最大值为．
4
(3)设
1
2
1
2
1
2
1
{( ,
,
,
) | ( ,
,
,
)
,
1,
0}
k
n
n
k
k
S
x x
x
x x
x
A x
x
x
x −
=
=
=
= =
=
(
1,2,
, )
k
n
=
，
1
1
2
1
2
{( ,
,
,
) |
0}
n
n
n
S
x x
x
x
x
x
+
=
=
= =
=
，
则
1
2
1
n
A
S
S
S +
=
．
对于
k
S （
1,2,
,
1
k
n
=
−）中的不同元素，，经验证，
( , )
1
M ≥．
所以
k
S （
1,2,
,
1
k
n
=
−）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以B 中元素的个数不超过
1
n+ ．
取
1
2
( ,
,
,
)
k
n
k
e
x x
x
S
=
且
1
0
k
n
x
x
+
= =
=
（
1,2,
,
1
k
n
=
−）．
令
1
2
1
1
( ,
,
,
)
n
n
n
B
e e
e
S
S
−
+
=
，则集合B 的元素个数为
1
n+ ，且满足条件．
故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
30．【解析】(1)记(
)
abc
为排列abc
的逆序数，对，，的所有排列，有
1
2
3
(123)=0
(132)=1
(213)=1
(231)=2
(312)=2
(321)=3
，
，
，
，
，
，
所以
3
3
3
(0)
1
(1)
(2)
2
f
f
f
=
=
=
，
．
关注微信公众号：加油高三
对，
1
2，，的排列，利用已有的，，
3
4
1
2
3 的排列，将数字
添加进去，
4
4 在新排列
中的位置只能是最后三个位置．
因此，
4
3
3
3
(2)
(2)
(1)
(0)
5
f
f
f
f
=
+
+
=
．
(2)对一般的n (
4)
n≥
的情形，逆序数为
的排列只有一个：
0
12
n
，所以
(0)
1
n f
=
．
逆序数为
的排列只能是将排列
1
12
n
中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，
所以
(1)
1
nf
n
=
−
．
为计算
1(2)
nf +
，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将
1
n+ 添加进原排列，
1
n+
在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，
1
(2)
(2)
(1)
(0)
(2)
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
n
+
=
+
+
=
+
．
当
5
n≥时，
1
1
2
5
4
4
(2)
[
(2)
(2)]
[
(2)
(2)]
[
(2)
(2)]
(2)
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
f
f
f
−
−
−
=
−
+
−
+
+
−
+
…
2
4
2
(
1)
(
2)
4
(2)
2
n
n
n
n
f
−
−
=
−
+
−
++
+
=
，
因此，
5
n≥时，
(2)
n f
=
2
2
2
n
n
−
−
．
31．【解析】证明:（1）因为
n
a
是等差数列，设其公差为d ，则
1
(
1)
n
a
a
n
d
=
+
−
，
从而，当 n
4
≥
时，
n k
n k
a
a
a
−
+
+
=
+
1
1
(
1)
(
1)
n
k
d
a
n
k
d
−
−
+
+
+
−
1
2
2(
1)
2 n
a
n
d
a
=
+
−
=
，
1,2,3,
k =
所以
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
+
+
+
+
+
=
3
2
1
1
2
3
+
+
+
6
，
因此等差数列
n
a
是“
(3)
P
数列”.
（2）数列
n
a
既是“
(2)
P
数列”，又是“
(3)
P
数列”，因此，
当
3
n
时，
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
−
−
+
+
+
+
+
=
2
1
1
2
4
，①
当
4
n
时，
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
3
2
1
1
2
3
6
.②
由①知，
n
n
n
a
a
a
−
−
−
+
=
−
3
2
1
4
1
(
)
n
n
a
a +
+
，③
n
n
n
a
a
a
+
+
+
+
=
−
2
3
1
4
1
(
)
n
n
a
a
−+
，④
关注微信公众号：加油高三
将③④代入②，得
n
n
n
a
a
a
−
+
+
=
1
1
2
，其中
4
n
，
所以
3
4
5
,
,
,
a a a
是等差数列，设其公差为d' .
在①中，取
4
n =
，则
2
3
5
6
4
4
a
a
a
a
a
+
+
+
=
，所以
2
3
a
a
d '
=
−
，
在①中，取
3
n =
，则
1
2
4
5
3
4
a
a
a
a
a
+
+
+
=
，所以
1
2
2
a
a
d'
=
−
，
所以数列{
}
n
a
是等差数列.
32．【解析】（Ⅰ）易知
1
1
a = ，
2
2
a =
，
3
3
a =
且1
1
b = ，
2
3
b =
，
3
5
b =
所以
1
1
1
1 1
0,
c
b
a
=
−
= −=
2
1
1
2
2
max{
2
,
2
}
max{1
2 1,3
2 2}
1
c
b
a b
a
=
−
−
=
−
−
= −，
3
1
1
2
2
3
3
max{
3 ,
3
,
3 }
max{1 3 1,3
3 2,5
3 3}
2
c
b
a b
a b
a
=
−
−
−
=
−
−
−
= −．
下面证明：对任意n
*
N 且
2
n≥
，都有
1
1
n
c
b
a n
=
−
．
当 k
*
N 且
2
k
n
≤≤
时，
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a
n
b
a n
−
−
−
[(2
1)
] 1
k
nk
n
=
−
−
−+
(2
2)
(
1)
k
n k
=
−
−
−
(
1)(2
)
k
n
=
−
−
∵ 1
0
k −
且
2
0
n
−≤
∴
1
1
(
)
(
)
0
k
k
b
a
n
b
a n
−
−
−
≤
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a n
b
a
n
−
−
≥
．
因此对任意n
*
N 且
2
n≥
，
1
1
1
n
c
b
a n
n
=
−
= −
，则
1
1
n
n
c
c
+
−
= −
．
又∵
2
1
1
c
c
−
= −，
故
1
1
n
n
c
c
+
−
= −对n
*
N 均成立，从而{ }
nc
是等差数列
（Ⅱ）设数列{
}
n
a
和{
}
nb
的公差分别为
,
a
b
d
d ，下面我们考虑
nc 的取值．
对
1
1
b
a n
−
，2
2
b
a
n
−
，
n
n
b
a
n
−
，
关注微信公众号：加油高三
考虑其中任意项i
i
b
a n
−
(i
*
N 且
1
)
i
n
≤≤
，
i
i
b
a n
−
1
1
[
(
1)
] [
(
1)
]
b
a
b
i
d
a
i
d
n
=
+
−
−
+
−
1
1
(
)
(
1)(
)
b
a
b
a n
i
d
d
n
=
−
+
−
−
下面分
0
a d =
，
0
a d
，
0
a d
三种情况进行讨论．
（）若
1
0
a d =
，则i
i
b
a n
−
1
1
(
)
(
1)
b
b
a n
i
d
=
−
+
−
①若
0
b d ≤
，则
1
1
(
)
(
)
(
1)
0
i
i
b
b
a n
b
a n
i
d
−
−
−
=
−
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
1
n
c
b
a n
=
−
此时
1
1
n
n
c
c
a
+
−
= −
，故{ }
nc
是等差数列
②
0
b d
，则
(
)
(
)
(
)
0
i
i
n
n
b
b
a n
b
a
n
i
n d
−
−
−
=
−
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a n
=
−
=
−
此时
1
1
n
n
b
c
c
d
a
+
−
=
−
，故{ }
nc
是等差数列
此时取
1
m = ，则
1
2
3
,
,
,
c c c 是等差数列，命题成立．
（）若
2
0
a d
，则此时
a
b
d
n
d
−
+
为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．
故必存在m
*
N ，使得当n
m
≥
时，
0
a
b
d
n
d
−
+
则当n
m
≥
时，
1
1
(
)
(
)
(
1)(
0
i
i
a
b
b
a n
b
a n
i
d
n
d
−
−
−
=
−
−
+
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
因此，当n
m
≥
时，
1
1
n
c
b
a n
=
−
．
此时
1
1
n
n
c
c
a
+
−
= −
，故{ }
nc
从第m 项开始为等差数列，命题成立．
（）
3
0
a d
，则此时
a
b
d
n
d
−
+
为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．
故必存在s
*
N ，使得当n
s
≥
时，
0
a
b
d
n
d
−
+
则当n
s
≥时，
(
)
(
)
(
)(
0
i
i
n
n
a
b
b
a n
b
a
n
i
n
d
n
d
−
−
−
=
−
−
+
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
因此当n
s
≥
时，
n
n
n
c
b
a
n
=
−
．
关注微信公众号：加油高三
此时
n
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a
n
n
n
−
=
= −
+
1
1
(
)
b
a
a
b
b
d
d
n
d
a
d
n
−
= −
+
−
+
+
令
0
a
d
A
−
=
，
1
a
b
d
a
d
B
−
+
=
，
1
b
b
d
C
−
=
下面证明
nc
C
An
B
n
n
=
+
+
对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n
m
≥
时，
nc
M
n
．
①若
0
C≥
，则取
|
|
[
] 1
M
B
m
A
−
=
+
（[ ]x 表示不等于x 的最大整数）
当n
m
≥
时，
|
|
([
] 1)
nc
M
B
M
B
An
B
Am
B
A
B
A
B
M
n
A
A
−
−
+
+
=
+
+
+
=
≥
≥
此时命题成立．
若
0
C
，则取
|
|
[
] 1
M
C
B
m
A
−
−
=
+
当n
m
≥
时
|
|
([
] 1)
nc
M
C
B
An
B
C
Am
B
C
A
B
C
n
A
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
≥
≥
M
C
B
B C
M
−
−
+
+
=
≥
此时命题成立．
因此，对任意正数M ，使得当n
m
≥
时，
nc
M
n
．
综合以上三种情况，命题得证．
33．【解析】(1)由已知得
1
*
1 3
,
n
n
a
a
n
N
−
=
.
于是当
{2,4}
T =
时，
2
4
1
1
1
3
27
30
r
S
a
a
a
a
a
=
+
=
+
=
.
又
30
r S =
，故
1
30
30
a =
，即
1
1
a = .
所以数列{
}
na
的通项公式为
1
*
3
,
n
n
a
n
N
−
=
.
(2)因为
{1,2,
, }
T
k
，
1
*
3
0,
n
n
a
n
N
−
=
，
所以
1
1
2
1
1 3
3
(3
1)
3
2
k
k
k
r
k
S
a
a
a
−
+
+
+
= + +
+
=
−
.
因此，
1
r
k
S
a +
.
(3)下面分三种情况证明.
①若D 是C 的子集，则
2
C
C
D
C
D
D
D
D
S
S
S
S
S
S
S
+
=
+
+
=
.
关注微信公众号：加油高三
②若C 是D 的子集，则
2
2
C
C
D
C
C
C
D
S
S
S
S
S
S
+
=
+
=
.
③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.
令
U
E
C
C D
=
，
U
F
D
C C
=
则E
，F
，E
F
=
.
于是
C
E
C
D
S
S
S
=
+
，
D
F
C
D
S
S
S
=
+
，进而由
C
D
S
S
，得
E
F
S
S
.
设k 是E 中的最大数，l为F 中的最大数，则
1,
1,
k
l
k
l
.
由（2）知，
1
E
k
S
a +
，于是
1
1
3
3
l
k
l
F
E
k
a
S
S
a
−
+
=
=
，所以
1
l
k
−
，即l
k
.
又k
l
，故
1
l
k
−，
从而
1
1
1
2
1
1
3
1
3
1
1 3
3
2
2
2
2
l
k
l
k
E
F
l
a
S
S
a
a
a
−
−
−
−
−
−
+
+
+
= + +
+
=
=
，
故
2
1
E
F
S
S
+ ，所以
2(
) 1
C
C
D
D
C
D
S
S
S
S
−
−
+
，即
2
1
C
C
D
D
S
S
S
+
+ .
综合①②③得，
2
C
C
D
D
S
S
S
+
.
34．【解析】(1)因为
(
)
(
)
4
4
2
3
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
−−
−
−
+
−
=
=
− −
+
，
由于
0,1
x
，有
4
1
1
1
1
x
x
x
−
+
+
≤
，即
2
3
1
1
1
x
x
x
x
−
+
−
+
≤
，
所以
2
( )
1
.
f x
x
x
−
+
≥
(2)由
0
1
x
≤≤得
3
x
x
≤
，
故
(
)(
)
(
)
3
1 2
1
1
1
3
3
3
3
( )
1
1
2
2
2
1
2
2
x
x
f x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
+
−
+
=
+
+
+
+
≤
≤
，
所以
3
( )
2
f x ≤
.
由
得
(1)
2
2
1
3
3
( )
1
(
)
2
4
4
f x
x
x
x
−
+
=
−
+
≥
≥
，
又因为
1
19
3
( )
2
24
4
f
=
，所以
( )
3
4
f
x
，
综上，3
3
( )
4
2
f x
≤
．
35．【解析】(1) ( )
f x 的定义域为
(
,
)
−+，
( )
1
ex
f
x
= −
．
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，( )
f x 单调递增；
关注微信公众号：加油高三
当
( )
0
f
x
，即
0
x
时，( )
f x 单调递减．
故( )
f x 的单调递增区间为 (
,0)
−
，单调递减区间为
(0,
)
+．
当
0
x
时，
( )
(0)
0
f x
f
=
，即1
ex
x
+
．
令
1
x
n
=
，得
1
1
1
e n
n
+
，即
1
(1
)
e
n
n
+
．(*)
(2)
1
1
1
1
1 (1
)
1 1
2
1
b
a
=
+
= + =
；
2
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2(1
)
(2
1)
3
2
bb
b
b
a a
a
a
=
=
+
=
+
=
；
2
3
3
3
1 2
3
3
1 2
1
2
3
1
2
3
1
3
3(1
)
(3 1)
4
3
bb b
b
b b
a a a
a a
a
=
=
+
=
+
=
．
由此推测：
1 2
1
2
(
1) n
n
n
bb
b
n
a a
a
=
+
．(**)
下面用数学归纳法证明②．
①当
1
n = 时，左边= 右边
2
=
，
成立．
(**)
②假设当n
k
=
时，(**)成立，即
1 2
1
2
(
1)k
k
k
bb
b
k
a a
a
=
+
．
当
1
n
k
=
+ 时，
1
1
1
1
(
1)(1
)1
k
k
k
b
k
a
k
+
+
+
=
+
+
+
，由归纳假设可得
1
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
2
1
1
(
1) (
1)(1
)
(
2)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
bb
b b
b b
b
b
k
k
k
a a
a a
a a
a
a
k
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
．
所以当
1
n
k
=
+ 时，(**)也成立．
根据
，可知
①②
(**)对一切正整数
都成立．
n
(3)由
nc 的定义，(**)，算术几何平均不等式，
-
nb 的定义及(*)得
1
2
3
n
n
T
c
c
c
c
=
+
+
+
+
=
1
1
1
1
3
1
2
1
1
2
1
2
3
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)n
n
a
a a
a a a
a a
a
+
+
+
+
1
1
1
1
3
1
2
1 2
3
1 2
1
1 2
(
)
(
)
( )
(
)
2
3
4
1
n
n
bb b
bb
b
b
bb
n
=
+
+
+
+
+
1
2
3
1
2
1
1
2
1 2
2 3
3 4
(
1)
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n n
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
1
1
1
1
1
1
1
[
]
[
]
1 2
2 3
(
1)
2 3
3 4
(
1)
(
1)
n
b
b
b
n n
n n
n n
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
1
2
1
1
n
b
b
b
n
n
n
n
=
−
+
−
+
+
−
+
+
+
1
2
1
2
n
b
b
b
n
+
+
+
1
2
1
2
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
1
2
n
n
a
a
a
n
=
+
+
+
+
+
+
1
2
e
e
e n
a
a
a
+
+
+
= e
nS ，即
e
n
n
T
S
．
36．【解析】(1)
( )
6
13
f
=
．
关注微信公众号：加油高三
(2)当
6
n
时，
( )
2
,
6
2
3
1
1
2
,
6
1
2
3
2
2
,
6
2
2
3
1
2
,
6
3
2
3
1
2
,
6
4
2
3
1
2
2
,
6
5
2
3
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
f n
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
+
+
+
=
−
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
=
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
−
−
+
+
+
=
+
（t
）．
下面用数学归纳法证明：
①当
6
n =
时，
( )
6
6
6
6
2
13
2
3
f
=
+
+
+
=
，结论成立；
②假设n
k
=
（
6
k
）时结论成立，那么
1
n
k
=
+ 时，
1
k
S + 在
k
S 的基础上新增加的元
素在 (
)
1,
1
k +
， (
)
2,
1
k +
， (
)
3,
1
k +
中产生，分以下情形讨论：
1）若
1
6
k
t
+ =
，则
(
)
6
1
5
k
t
=
−
+
，此时有
(
)
( )
1
2
1
3
2
3
2
3
k
k
f k
f k
k
−
−
+
=
+
=
+
+
+
+
(
)
1
1
1
2
2
3
k
k
k
+
+
=
+
+
+
+
，结论成立；
2）若
1
6
1
k
t
+ =
+ ，则
6
k
t
=
，此时有
(
)
( )
1
1
2
1
2
3
k
k
f k
f k
k
+
=
+ =
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
+
−
+
−
=
+
+
+
+
，结论成立；
3）若
1
6
2
k
t
+ =
+
，则
6
1
k
t
=
+ ，此时有
(
)
( )
1
1
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
−
−
+
=
+
=
+
+
+
+
(
)
(
)1
2
1
1
2
2
3
k
k
k
+
−
+
=
+
+
+
+
，结论成立；
4）若
1
6
3
k
t
+ =
+ ，则
6
2
k
t
=
+
，此时有
(
)
( )
2
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
−
+
=
+
=
+
+
+
+
关注微信公众号：加油高三
(
)
(
)1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
+
−
+
=
+
+
+
+
，结论成立；
5）若
1
6
4
k
t
+ =
+
，则
6
3
k
t
=
+
，此时有
(
)
( )
1
1
2
2
2
2
3
k
k
f k
f k
k
−
+
=
+
=
+
+
+
+
(
)
(
)1
1
1
1
2
2
3
k
k
k
+
−
+
=
+
+
+
+
，结论成立；
6）若
1
6
5
k
t
+ =
+ ，则
6
4
k
t
=
+
，此时有
(
)
( )
1
1
1
2
1
2
3
k
k
f k
f k
k
−
+
=
+ =
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
1
2
2
3
k
k
k
+
−
+
−
=
+
+
+
+
，结论成立．
综上所述，结论对满足
6
n
的自然数n 均成立．
37．【解析】(1)当
2
q =
，
3
n =
时，
{
}
0,1
M =
，
{
}
1
2
3
2
4 ,
,
1,2,3
i
A
x x
x
x
x
M
x
i
=
=
+
?
+
.可得，
{
}
0,1,2,3,4,5,6,7
A=
.
(2)由
,s t
A
Î
，
1
1
2
n
n
s
a
a q
a q -
=
+
+
+
，
1
1
2
n
n
t
b
b q
b q -
=
+
+
+
，
,
i
i
a b
M
Î
，
1,2
,
,
i
n
=
及
n
n
a
b
<
，可得
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
b
q
a
b q
s
t
a
b
a
b q
-
-
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
(
) (
)
(
)
2
1
1
1
1
n
n
q
q
q
q
q
q
-
-
?
+
-
+
+
-
-
(
) (
)
1
1
1 1
1
n
n
q
q
q
q
-
-
-
-
=
-
-
1
0
= -
<
.
所以，s
t
<
.
38．【证明】(1)若
0
=
c
，则
n
n
S
b
n
=
，
*
N
n
，又由题
(
1)
2
n
n n
d
S
na
−
=
+
，
1
2
n
n
S
n
b
a
d
n
−
=
=
+
，
1
1
2
n
n
b
b
d
+
−
=
，
{ }
nb
是等差数列，首项为a ，公差为2
d ，
)
0
(
d
，又
4
2
1
b
b
b
，
，
成等比数列，
2
2
1 4
b
b b
=
，
2
3
(
)
(
)
2
2
d
d
a
a a
+
=
+
，
2
3
(
)
4
2
d
d
ad
a
+
=
，
0
d
，
2
d
a
=
，
2
n
S
n a
=
，
关注微信公众号：加油高三
2
2
2
2
2
2
(
)
,
nk
k
S
nk
a
n k a n S
n k a
=
=
=
，
2
nk
k
S
n S
=
（
*
,
N
n
k
）．
(2)由题
c
n
nS
b
n
n
+
=
2
，
*
N
n
，
2
2
[2
(
1) ]
2(
)
n
n
a
n
d
b
n
c
+
−
=
+
，若
}
{ nb
是等差数列，则可设
n
b
x
yn
=
+
，,x y 是常数，
2
2
[2
(
1) ]
2(
)
n
a
n
d
x
yn
n
c
+
−
=
+
+
关于
*
N
n
恒成立．整理得：
3
2
(
2 )
(2
2 )
2
2
0
d
y n
a
d
x n
cyn
cx
−
+
−
−
−
−
=
关于
*
N
n
恒成立．
2
0,2
2
0,2
0,2
0
d
y
a
d
x
cy
cx
−
=
−
−
=
=
=
，
2
0,2
2
,
0,
0
d
y
a
x
d cy
cx
=
−
=
=
=
0
c
=
．
