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模块五 解三角形与平面向量（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
，
，若
，则向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
，
，
解得
，
，
向量
在
上的投影向量为
．
故选：B．
2．在
中，点D，E 分别是
，
的中点，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
，
．
两式相减，得
，所以
．
故选：D．
3．在
中，角
所对的边分别为
，已知
成等差数列，
，则
的面积为
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（ ）
A．3
B．
C．12
D．16
【答案】B
【解析】因为
成等差数列，可得
，
又因为
，
由余弦定理得：
，
整理得
，即
，
所以
的面积为
.
故选：B.
4．在△
中，角
的对边分别是
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
．
因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
，则
．
故选：B
5．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，
，则此三角形的解的
情况是（ ）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】A
【解析】由
，得
，
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又
，
，故
只能为锐角，即
，
故该三角形只有一解．
故选：A.
6．已知平面向量
，
均为单位向量，且
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意平面向量
，
均为单位向量，且
，
建立如图所示平面直角坐标系，设
，
设
，由
，
所以点
在以原点为圆心，半径为的圆上，
表示以原点为圆心，
半径为的圆上的点
与点
的距离，
所以，根据圆的几何性质可知：
的最大值是
，
其中
是点
与原点的距离.
故选：C
7．在
中，内角
、
、
对应边分别为
、
、，已知
，且角
的平分线
交
于点
，
，则
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以，
，
由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，所以，
，可得
，
因为角
的平分线
交
于点
，
，
由
，即
，
所以，
，所以，
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：A.
8．已知在
所在平面内，
，
、
分别为线段
、
的中点，直线
与
相交于点
，若
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
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D．
的最大值为
【答案】D
【解析】
，且
为线段
的中点，
所以
,
则
,
,
设
,
则
，
且
和
共线，
，
所以
，
.
故
为线段
的中点,且
,
所以
,
且
,若
，
则
,
即
,
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故
,当且仅当
时，等号成立；
,当
的最大时, 即
最小时，
此时
，
.
故选：D
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知空间向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】易知
，显然
，故A 错误；
易知：
，
故B 正确；
易知
，故C 正确；
在
上的投影向量
，故D 正确.
故选：BCD
10．在
中，内角
所对的边分别为
，下列与
有关的结论，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是等腰直角三角形
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C．若
是锐角三角形，则
D．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
【答案】ACD
【解析】对于A 中，因为
，设
外接圆的半径为
,可得
，
又由
，所以A 正确；
对于B 中，因为
，由正弦定理得
，即
，
因为
，可得
或
，即
或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形，所以B 不正确；
对于C 中，由
是锐角三角形，可得
，即
，
因为
是锐角三角形，可得
，
又因为
在
为单调递减函数，所以
，所以C 正确；
对于D 中，如图所示，设
的中点为
，
的中点为
，
因为
，即
，
可得
，即
，所以点
是
上靠近
的三等分点，
所以点
到
的距离等于
到
的
，
又由
到
的距离为点
到
的距离的
倍，
所以
到
的距离等于点
到
距离的
，
由三角形的面积公式，可得
，即
，所以D 正确.
故选：ACD.
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11．如图，已知
的内接四边形
中，
，下列说法正确的是（ ）
A．四边形
的面积为
B．该外接圆的半径为
C．
D．过
作
交
于
点，则
【答案】ABC
【解析】对于A，连接AC，
在
中，
，
，
由于
，所以
，故
，解得
，
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所以
，
，所以
，
故
，
，
故四边形ABCD 的面积为
，A 正确；
对于B，设外接圆半径为R，则
，
故该外接圆的直径为
，半径为
，B 正确；
对于C，连接BD，过点O 作
于点G，过点B 作
于点E，
则由垂径定理得：
，由于
，所以
，
即
，解得
，所以
，所以
，
且
，所以
，即
在向量
上的投影长为1，
且
与
反向，故
，C 正确；
对于D，由C 选项可知：
，故
，且
，
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因为
，由对称性可知：DO 为
的平分线，故
，
由A 选项可知：
，显然
为锐角，
故
，
，
所以
，
所以
，D 错误.
故选：ABC
12．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
的取值范围是
C．若
为边
上中点，且
，则
的最小值为
D．若
面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A 项，由
得
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，即
，
因为
，则
，
若
显然不符题意，或者
也不符合题意，
所以
，即
，所以
，故A 正确；
对于B 项，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
的取值范围是
，故B 错误；
对于C 项，由余弦定理知
，
又
为边
上中点，所以
，
所以
，所以
，所以
，
当且仅当
时，取得等号，所以
，所以
，故C 正确；
对于D 项，不妨设
三边上的高分别
，则
，
又
，所以
，所以
，
根据余弦定理知
，所以
，
当且仅当
时，取得等号，故D 正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．在圆的内接四边形
中，
，
，
，
，则
．
【答案】3
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【解析】连接
，如图：
在
中，因为
，
，
由余弦定理，得
，即
又因为
，所以
，
在
中，因为
，
，
，
由余弦定理，得
，
即
，解得：
．
故答案为：.
14．某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木
塔旁水平地面上的
处测得其顶点
的仰角分别是
和
，且测得
，
米，则该校
数学建模社团测得应县木塔的高度
米.
【答案】70
【解析】设
米，则
米，
米.
在
中，
，由余弦定理可得
，
即
，即
，即
，解得
或
（舍
去）.
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故答案为：
.
15．在
中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.设
，
，试用
，
表示
为
，若
，
的面积为
，则
的最小值为 .
【答案】
6
【解析】如图所示，
中，
，
是边
的中点，
是线段
的中点，则
，
，
即
；
由
的面积为
，得
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为6.
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故答案为：
；6
16．如图，在圆内接四边形
中，
，
，
．若
为
的中点，则
的值为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理知
，所以
，
由正弦定理得
，所以
为圆的直径，
所以
，所以
，从而
，
又
，所以
为等边三角形；
以
为原点，以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立如下图所示的
平面直角坐标系：则
，
，
，
，
，
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故
．
故答案为：
．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知平面向量
，
，
，且
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)若
与
垂直，求
的值
【解析】（1）
，且
与
的夹角为
，
，
（2）
与
垂直，
，
即
，
即
，解得：
.
18．（12 分）
已知向量
，
，函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围．
【解析】（1）∵
，∴
，则
；
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；
（2）
，
由
，得
，
∵
，∴
，∴
，即
,
因
为锐角三角形，可得
，解得
，
∴
，故
的取值范围为
．
19．（12 分）
在
中，内角
所对边的长分别为
，
．
(1)若
，求
．
(2)若
为
边上的一点，且
，求
．
【解析】（1）由余弦定理，得
，即
．
因为
，所以
，
即
，解得
，
（舍去），
将
代入
中得
．
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由正弦定理，得
，即
，
所以
．
（2）由（1）知，
．
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
又
，代入可得
.
20．（12 分）
在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若点
为
的中点，点
满足
，点
为
与
的交点，求
的余
弦值．
【解析】（1）由已知得
，
即
．
由正弦定理得
．
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因为在
中，
，所以
．
因为
，所以
．
（2）设
，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
又
，
由（1）知，
，
，
故
，
，
故
．
，
，
所以
，
所以
的余弦值为
．
21．（12 分）
在
中，
，且
边上的中线
长为1.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的长.
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【解析】（1）由题可知
，
由勾股定理得，
，所以
是直角三角形，
又
，所以
，
又
边上中线
，
所以
，
，
，
所以
.
（2）方法一：由题可知
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
，则
，①
在
和
中，由余弦定理得
所以
，②
在
中，由余弦定理得
，
即
，即
，③
将
代入得
，④
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由①④得
，即
，即
，
即
，即
，
因为
，所以
，则
，所以
.
故
的长为2.
方法二：作
的角平分线，交
与
，
设
，则
，
在
和
中，由正弦定理可得
，
又
，所以
，
所以
.
由题可知
，所以
，
在
和
中，
，
所以
，所以
，
则
，即
，即
，
所以
（舍）或
.
在
和
中，由余弦定理得
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所以
，
则
，解得
.
故
的长为2.
方法三：延长
到
，使
，连接
，
由题可知
，
设
，则
，
在
和
中，
，
所以
，所以
，则
，
所以
，
即
，即
，
所以
（舍）或
.
在
和
中，由余弦定理得
所以
，
则
，解得
.
故
的长为2.
22．（12 分）
在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
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(2)若
为
的中点，在
上存在点
，使得
，求
的值.
【解析】（1）由
，而
，
所以
，则
，且
，
若
，即
，则
，
所以
；
若
，即
，则
，显然不成立；
综上，
.
（2）如下图示， 若
且
，
则
，同理
，
所以
，
则
，
由（1）易知
，且
，
所以
，整理得
，
综上，
，
，
所以
，即
，
，即
，
故
.
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