文档文本内容
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解直角三角形（2）
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1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；
2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；
3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．
1．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的
度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，
再转化得到实际问题的答案．
2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡
峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α 叫做坡角，坡度i 与坡角α 之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是
一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有
直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，
要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
4．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并
不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需
要的角．
参考答案：
2.（1）坡比
2
3.（1）向上看 向下看
1. 解直角三角形的应用-方向角问题．
【例1】（2014•四川自贡中学期末）如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经
测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东60 度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的
距离AB 是（ ）
A．250m B．250
m C．
m D．250
m
【分析】由已知可得，∠AOB=30°，OA=500m，根据三角函数定义即可求得AB 的长．
【解答】解：由已知得，∠AOB=30°，OA=500m．则AB= OA=250m．故选A．
练1. 如图，为了测量河两岸A，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C，测得AC=a，
∠ACB=a，那么AB 等于（ ）
A．a•sinα
B．a•cosα
C．a•tanα
D．a•cotα
【解答】解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC 中tanα=
，
∴AB=a•tanα．
故选C．
练2.如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东
80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1 小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北
偏东20°，则C 到A 的距离是（ ）
A．15
km
B．15
km C．15（
+
）km D．5（
+3
）km
【分析】过点B 作BD⊥AD 于点D，根据三角函数分别求BD，AD 的值，从而不难求AC 的长．
【解答】解：过点B 作BD⊥AC 于点D．
过C 作方位线，由平行得到∠1=∠2=25°，又∠3=20°，
3
∴∠BCD=45°，
∴△BCD 为等腰直角三角形，
∴BD=CD=30×
=15
．
∵AD=BD•tan30°=5
，
∴CA=15
+5
=5（
+3
）．
故选D．
2. 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【例2】（2015•承德第一中学月考）如图小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落
在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD 与地面成30°角，且此时测得1
m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 m．（结果保留两位有效数字，
≈1.41，
≈1.73）
【分析】先根据CD 的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB 的总影长，
然后根据1 m 杆的影子长为2 m，求解电线杆的高度．
【解答】解：作DE⊥BC 于E．则电线杆的高度分3 部分进行求解．
BC 对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；
在Rt△CDE 中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=2
；
因为DE⊥BC，则DE 对应的电线杆高度和DE 相等，CE 对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高
与影长成比例，
是2
÷2=
．
故电线杆的高度是5+2+
≈8.7．
练3. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米，此时他与水平地面的垂直距离为2
米，则这个
坡面的坡度比为 ．
【分析】利用勾股定理求得水平距离．根据坡度定义求解．
4
【解答】解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米．此时他与水平地面的垂直距离为2
米，
根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4
米．
所以这个坡面的坡度比为2
：4
=1：2．
3. 解直角三角形的应用-求长度问题．
【例3】（2014•辽宁旅顺八中期中）一棵树因雪灾于A 处折断，测得树梢触地点B 到树根C 处的距
离为4 米，∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米．
（答案保留根号）
【分析】树高CB=AC+AB．解直角三角形ABC 求解．
【解答】解：∵AC⊥BC，∠ABC=45°，BC=4，
∴AC=BC=4，AB=4
，
∴
，
即树未折断之前为（
）米．
练4.．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3 米，cos∠BAC= ，则梯子AB 的长度
为 米．
【分析】运用三角函数定义求解．
【解答】解：∵cos∠BAC= ，
∴
，
∴AB=
= =4（米）．
4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【例4】（2014•山东费县中学期末）如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36 米的楼房，在楼
AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30 度．求楼CD 的高
（结果保留根号）．
5
【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
【解答】解：延长过点A 的水平线交CD 于点E
则有AE⊥CD，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36
∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36
在Rt△AED 中，tan∠EAD=
∴ED=36×tan30°=
∴CD=CE+ED=36+12
答：楼CD 的高是（36+12
）米．
练5.如图，已知某小区的两幢10 层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1 层、第2 层、
…、第10 层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平
线的夹角为α．
（1）用含α 的式子表示h（不必指出α 的取值范围）；
（2）当α=30°时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层？若α 每小时增加15°，从此时起几
小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？
6
【分析】（1）过点E 作EF⊥AB 于F 可得矩形ACEF，可得BF=3×10﹣h=30﹣h；进而解Rt△BEF，
可得h=30﹣30tanα．
（2）根据题意，分析可得当B 点的影子落在C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光；分
析△ABC 可得：
=1（小时）；可得答案．
【解答】解：（1）过点E 作EF⊥AB 于F，由题意，四边形ACEF 为矩形．
∴EF=AC=30，AF=CE=h，∠BEF=α，∴BF=3×10﹣h=30﹣h．
又在Rt△BEF 中，tan∠BEF=
，
∴tanα=
，即30﹣h=30tanα．∴h=30﹣30tanα．
（2）当α=30°时，h=30﹣30tan30°=30﹣30×
≈12.7，
∵12.7÷3≈4.2，
∴B 点的影子落在乙楼的第五层．
当B 点的影子落在C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．
此时，由AB=AC=30，知△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴
=1（小时）．
故经过1 小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．
5．解直角三角形的应用-方案问题．
【例5】（2015•云南腾冲中学期末）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践
小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：
把镜子放在离树（AB）8.7 米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这是恰好在镜子里
看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7 米，观察者目高CD=1.6 米，请你计算树（AB）的
高度．（精确到0.1 米）
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5 米的标杆一根；
④高度为1.5 米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，
回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写） ；
（2）在图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测得=
示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α 等表示测得的数据： ；
（4）写出求树高的算式：AB= ．
7
【分析】实践一：因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两
个相似三角形，利用相似比可求出．
实践二：根据仰角的知识，确定测量方案．再由解三角形的知识，求出树高．
【解答】解：实践一：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
∴
CD
AB = DE
BE
∵CD=1.6 米，DE=2.7 米，BE=8.7 米，
∴
1.6
AB =2.7
8.7
∴AB=
≈5.2（m）；
实践二：（1）在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD．
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE+BE．
（2）如图：
（3）a•tanα+1.5
（4）AB=a•tanα+1.5
练6．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m 的标杆；④高
为1.5m 的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问
题：
（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是 ；
（2）在下图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α 等字母表示测得的数据；
（4）写出求树高的算式：AB=
m．
8
【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；
可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA 与CD 的大小，
根据相似三角形的性质；可得：
=
；即AB=
．
【解答】解：（1）镜子，皮尺；
（2）测量方案示意图；
（3）EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c；
（4）根据相似三角形的性质；可得：
=
；即AB=
．
1．王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王
英同学离A 地（ ）
A．
m
B．100m C．150m
D．
m
2．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点
B，取∠ABD=145°，BD=500 米，∠D=55 度．要使A，C，E 成一直线．那么开挖点E 离点D 的距
离是（ ）
A．500sin55°米 B．500cos55°米
C．500tan55°米 D．500cot55°米
3．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B 间的距离，在距A 点15 米的C 处（AC⊥AB）测得
∠ACB=50°，则A，B 间的距离应为（ ）
A．15sin50°米
B．15tan50°米 C．15tan40°米 D．15cos40°米
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4．如图，已知一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28 海里/时的速
度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与
渔船的距离是（ ）
A．7
海里 B．14
海里 C．7 海里
D．14 海里
5．如图，一束光线从y 轴上点A（0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B（3，3），则光线
从A 点到B 点经过的路线长是 ．
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1．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4 米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色
地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 米．
2．长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端
沿墙面升高了 m．
3．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB 长13 米，且tan∠BAE=
，则河
堤的高BE 为 米．
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4．如图，一游人由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走600m，到达一个景点B，再由B 沿山破BC
行走200m 到达山顶C，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45°，则山高CD 等于 m．（结
果
用根号表示）
5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量
出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷
的深h 为 m．
6．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好
与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC 为2
米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，
取
=1.414，
=1.732）．
7．小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图，她先在A 处测得塔顶C 的仰角为32°，再向塔
的方向直行35 米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度．
（小刘的身高忽略不计，结果精确到1 米）
8．如图，某建筑物BC 的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12 米的D 处安置一高度为1.5 米的
测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°．又知建筑物共有六层，每层层高为3 米．求避雷针
AB 的长度．（结果精确到0.1 米）（参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
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9．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A 处用测角仪（离地高度
为1.5 米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23 米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰
角为30°，求旗杆EG 的高度．
10．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某
天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20 海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的
某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便
发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60 海里的速度前去救援．问我
护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：
≈1.4，
≈1.7）
11．如图所示，A、B 两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），
经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保
护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会
穿越保护区，为什么？（参考数据：
≈1.732，
≈1．414）
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参考答案：
当堂检测
1.
【分析】根据三角函数分别求AD，BD 的长，从而得到CD 的长．再利用勾股定理求AC 的长即可．
【解答】解：AD=AB•sin60°=50
；
BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．
∴AC=
=100
．
故选D．
2．
【分析】根据已知利用已知角的余弦函数表示即可．
【解答】解：在直角△BDE 中，cosD=
，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选B．
3．
【分析】根据已知，利用已知角的正切函数求解即可．
【解答】解：因为AC=15，∠ACB=50°，在直角△ABC 中tan50°=
，
所以AB=15•tan50°．
故选B．
4．
【分析】过点B 作BN⊥AM 于点N，由已知可求得BN 的长；再根据三角函数求BM 的长．
【解答】解：由已知得，AB= ×28=14 海里，∠A=30°，∠ABM=105°．
过点B 作BN⊥AM 于点N．
∵在直角△ABN 中，∠BAN=30°
∴BN= AB=7 海里．
在直角△BNM 中，∠MBN=45°，则直角△BNM 是等腰直角三角形．即BN=MN=7 海里，
∴BM=
=
=7
海里．
故选A．
5．
【分析】如图设A 关于x 轴的对称点A'坐标是（0，﹣1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB 于D，在
Rt△A'BD 中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了从A 点到B 点经过的路线长．
【解答】解：A 关于x 轴的对称点A'坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x 轴于点C，
13
作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB 于D，
故光线从点A 到点B 所经过的路程A'B=
=
=5．
家庭作业
1．
【分析】求地毯的长度实际是求AC 与BC 的长度和，利用勾股定理及相应的三角函数求得相应的线
段长即可．
【解答】解：根据题意，Rt△ABC 中，∠BAC=30°．
∴BC=AB÷2=4÷2=2，
AC=
=2
，
∴AC+BC=2+2
，
即地毯的长度应为（2+2
）米．
2．
【分析】利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．
【解答】解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•
=
．
平滑后高为4•sin60°=4•
=
．
∴升高了2（
）m．
故答案为：2（
）
3．
【分析】在Rt△ABE 中，根据tan∠BAE 的值，可得到BE、AE 的比例关系，进而由勾股定理求得
BE、AE 的长，由此得解．
【解答】解：因为tan∠BAE=
，
设BE=12x，则AE=5x；
在Rt△ABE 中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，
即：132=（12x）2+（5x）2，
169=169x2，
解得：x=1 或﹣1（负值舍去）；
所以BE=12x=12（米）．
故答案为：12．
4．
【分析】解此题时需两次用到三角函数，即求出ED 和CE 后相加即可．
【解答】解：过B 作BF⊥AD 于F，BE⊥CD 于E，如图，
14
∵在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45°，
∴△BEC 为等腰直角三角形，
而BC=200m，
∴CE=
BC=100
m；
∵∠A=30°，AB=600m，
∴BF= AB=300m，
∴CD=CE+ED=（100
+300）m．
故答案为：100
+300．
5．
【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解．
【解答】解：设A、A′到谷底的水平距离为AC=m，A′C=n．
∴m+n=15．
根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3．
∴=
=3，=
=6．
∴（+ ）×h=15．
解得h=30（m）．
6．
【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．BC 为已知，只需要借助于坡角的正弦值求出
斜边长即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=2，∠C=90°．
∵tanA=
，∴
=2
．
∴AC+BC=2
+2≈2×1.73+2=5.46≈5.5（m）．
即地毯的长度至少需5.5m．
7．
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形Rt△AOC 与Rt△BOC，分别求解可得
AO 与BO 的值，再利用AB=AO﹣BO=35，进而可求出答案．
15
【解答】解：已知在Rt△AOC 中，OA=
．
在Rt△BOC 中，OB=
．
∵AB=OA﹣OB，
∴OC×（
﹣
）=35．
∴OC=
≈34（米）．
答：三元塔的高度约是34 米．
8．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△AEF；解其可得AF 的长，再求出AC 的长度，
进而借助AC=AF+FC 可解即可求出答案．
【解答】解：过点E 作EF⊥AC 交AC 于点F，则∠AFE=90°，
四边形FCDE 是矩形，EF=CD=12，
在Rt△AFE 中，tan∠AEF=
，
∴AF=12tan60°=12
．
而FC=ED=1.5，
∴AC=AF+FC=12
+1.5，BC=3×6=18，
∴AB=AC﹣BC=12
﹣16.5≈4.3（米）．
答：避雷针AB 的长度约为4.3 米．
9．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构
造三角关系，进而可求出答案．
【解答】解：∵∠ECD=15°，∠EDF=30°，
∴∠CED=15°，
∴∠CED=∠ECD．
所以DC=DE=23 米．
在Rt△EDF 中，
由sin∠EDF=
，
得EF=DE•sin∠EDF=23•sin30°=23× =11.5（米），
16
又FG=CA=1.5 米，
因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13（米），
答：旗杆EG 的高度为13 米．
10．
【分析】由条件可知△ABC 为斜三角形，所以作AC 上的高，转化为两个直角三角形求解．
【解答】解：由图可知，∠ACB=30°，∠BAC=45°．
作BD⊥AC 于D（如图）．
在Rt△ADB 中，AB=20，
∴BD=AB•sin45°=20×
=10
．
在Rt△BDC 中，∠ACB=30°，
∴BC=2×10
=20
≈28．
∴
≈0.47．
∴0.47×60=28.2≈28（分钟）．
答：我护航舰约需28 分钟就可到达该商船所在的位置C．
11．
【分析】过点P 作PC⊥AB，C 是垂足．AC 与BC 就都可以根据三角函数用PC 表示出来．根据AB 的
长，得到一个关于PC 的方程，解出PC 的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
【解答】解：过点P 作PC⊥AB，C 是垂足．
则∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，
∴
PC=100，
∴PC=50（3﹣
）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．
答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿
越保护区．
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