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三角形全等的判定（2）
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1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；
2、判断能证明三角形全等的条件；
3、判断三角形全等能推出的结论；
4、探索全等三角形判定的综合问题．
1．斜边、直角边定理（HL）
文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等．
符号语言：
在Rt△ABC 与Rt△DEF 中，
∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
图示：
2．探究三角形全等的思路
（1）已知两边
（2）已知一边一角
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（3）已知两角
3.什么是开放题
所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合
性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运
用树形结合、分类讨论等数学思想.
4. 开放题问题类型及解题策略
（1）条件开放与探索型问题.
从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列
出，逐个分析.
（2）结论开放与探索型问题.
从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获
得所求的结论.
（3）条件、结论开放与探索型问题.
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行
分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物
内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.
1．利用HL 证全等
【例1】（2014 秋•合浦县期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点
O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
练1．（2014 秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等的条件是（
）
A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′
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C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′
练2．（2014 秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定
△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是_______________．
2．利用HL 证全等，再证边角相等
【例2】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：CB=CD．
练3．（2014 春•常州期末）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C 分别在直线MN 与PQ 上，
点E 在AB 上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=_____________．
练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC．
3．利用HL 解决实际问题
【例3】（2014 春•招远市期末）如图，A、B、C、D 是四个村庄，B、D、C 三村在一条东西走向
公路的沿线上，且D 村到B 村、C 村的距离相等；村庄A 与C，A 与D 间也有公路相连，且公路
AD 是南北走向；只有村庄A、B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖
面上造一座斜拉桥，测得AC=3 千米，AE=1.2 千米，BF=0.7 千米．试求建造的斜拉桥至少有多少
千米.
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练5．如图，两根长度为12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两
个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定
4．全等三角形——补充条件型问题
【例1】（2014•漳州中学期中）如图，点C，F 在线段BE 上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条
件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
练6．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是
（ ）
A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
练7．（2014 秋•宜兴市校级月考）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，
E，AD 与CE 交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．
5．全等三角形——结论探索型问题
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【例5】（2014•邵阳期中）如图，已知点A、F、E、C 在同一直线上，AB∥CD，
∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
练8．（2014•陆川县校级模拟）如图，△ABC 中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角
形的对数有（ ）
A．5 对 B．6 对 C．7 对 D．8 对
6．全等三角形——条件和结论全开放型问题
【例6】（2015•金溪县模拟）有下列四个判断：①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；
④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．
已知：
求证：
证明：
练9．如图，AC 交BD 于点O，有如下三个关系式：①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写
出命题书写形式，如：如果
、
，那么
)
(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．
练10．（2014 秋•德州期末）在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，
还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
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A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．BC=EF D．AC=DF
练11．（2014•宁德）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，
BD=CF，DE⊥BC 于E，FG⊥BC 于G，DF 交BC 于点P，则下列结论：①BE=CG；
②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1 中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
练12．（2014•雁塔区校级模拟）如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D 为AB 中点，有以
下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（
）
A．（1），（3） B．（2），（3） C．（3），（4） D．（1），
（2），（4）
1．（2014 秋•隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
2．（2014 春•揭西县校级月考）如图，O 是∠BAC 内一点，且点O 到AB，AC 的距离OE=OF，则
△AEO≌△AFO 的依据是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
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3．（2015 秋•镇江校级期中）已知：如图所示，△ABC 与△ABD 中，∠C=∠D=90°，要使
△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（ ）
A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD 或AC=AD
C．∠ABC=∠ABD D．AB 为公共边
4．（2014 秋•江津区期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
5．（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC 的六个元素，则图2 甲、乙、丙三个三角形中和图
1△ABC 全等的图形是（ ）
A．甲乙 B．丙 C．乙丙 D．乙
6．（2014 秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC 于点D，且点E、F
在BC 上，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
7.（2014•徐州模拟）已知：如图，△ABC 中，AB=AC，点D 为BC 的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；
（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）
（3）请在图中过点D 作于DM⊥AB 于M，DN⊥AC 于N．求证：△DBM≌△DCN．
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1．（2014 秋•亭湖区校级期中）如图，△ABC 中，AD⊥BC 于D，要使△ABD≌△ACD，若根据
“HL”判定，还需加条件_____________．
2．（2014 秋•莆田期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．
3．（2014 秋•平定县期中）如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高
度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，滑梯BC 与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF 与地面夹
角∠DFE 的度数是_______________．
4．（2014•呼和浩特）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AE 是BC 边上的中线，过C 作
CF⊥AE，垂足为F，过B 作BD⊥BC 交CF 的延长线于D．
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（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD 的长．
5．（2015 秋•溧水县校级月考）如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD 与
CD 相等吗？为什么？
6．（2015•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF，_______
求证：△ABE≌△CDF．
证明：
课程顾问签字： 教学主管签字：
