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相似三角形判定定理的证明(提高)
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.
【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′D′,过点D 作BC 的平行线，交
AC 于点E,则
∠ADE=∠B，∠AED=∠C,
过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE 是平行四边形.
∴DE=CF.
∴
.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化
时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
已知，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′,
,求证：△ABC∽△A′B′C′.
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证明：在△ABC 的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交
AC 于点E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似).
∴
.
∵
,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两
组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.
要点三、三边成比例的两个三角形相似
已知：在在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′,
.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AD=A′B′,连接DE.
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∵
，AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又
，AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、已知：在Rt△ABC 中∠C=90°，CD 为AB 边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
【思路点拨】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出
∠A=∠BCD，根据相似三角形的判定推出即可．
【答案与解析】
证明：∵CD 为AB 边上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
【总结升华】本题考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定的应用，关键是推出
∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，题目比较好．
类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
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2、如图，在△ABC 中，M、N 分别为AB、AC 边上的中点．D、E 为BC 边上的两点，且
DE=BD+EC，ME 与ND 交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．
【思路点拨】因为M、N 分别为AB、AC 边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，
又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．
【答案与解析】
解：△MON≌△EOD．
证明：∵M、N 分别为AB、AC 边上的中点，
∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．
∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．
∴∠AMN=∠ABC，MN= BC．
∴MN∥BC．
∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．
∵DE=BD+EC，
∴DE= BC．
∴MN=DE．
∴△MON≌△DOE．
【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个
三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，
看缺什么条件，再去证什么条件．
举一反三
【变式】如图，点O 是△ABC 的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO 交CB 的
延长线于点D，连接CO 交AB 的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA．
【答案】
证明：∵O 是垂心，
∴AO⊥CD，
∴∠CDO=90°，
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同理∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDO，
在△AEO 和△CDO 中
，
∴△AEO∽△CDO，
∴
，
∴
，
在△ODE 和△OCA 中
，
∴△ODE∽△OCA．
3、已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E 是AB 的中点，点P 是BC
边上一点．
（1）当BP=2 时．求证：△BEP∽△CPD；
（2）若BP=5，过点P 作射线PF，交CD 所在的直线于点F，使得△BEP 与△CPF 相似．求此时CF
的长度．
【思路点拨】（1）根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
（2）若要△BEP 与△CPF 相似，则只需∠BPE=∠CPF 或∠BPE=∠CFP 即可，那么分两种情况进
行考虑．
【答案与解析】
（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴
，
∴△BEP∽△CPD．
（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP 与△CPF 相似，
则只需∠BPE=∠CPF 或∠BPE=∠CFP 即可．
①当∠BPE=∠CPF 时（点F 落在图中F1处），△BPE∽△CPF
此时，
，可得CF= .
②当∠BPE=∠CFP 时（点F 落在图中F2处），△BPE∽△CFP
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此时，
，可得CF=
∴当△BEP 与△CPF 相似时，CF 的长度为或．
【总结升华】主要考查对相似三角形的判定的理解及运用，更要注意相似的分类讨论情况，难
易程度适中．
举一反三
【变式】如图，已知点P 是边长为4 的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．请在射
线BF 上找一点M，使以点B、M、C 为顶点的三角形与△ABP 相似．（请注意：全等图形是相似图
形的特例）
【答案】解：在射线BF 上截取线段
，连接M1C，
⇒
，
⇒∠ABP=∠CBM1，
∴△M1BC∽△ABP．
在射线BF 上截取线段BM2=BP=3，连接M2C，
⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）
∴在射线BF 上取
或BM2=3 时，M1，M2都为符合条件的M．
类型三、三边成比例的两个三角形相似
4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【思路点拨】首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A，B，C，D 各三角形的三边的长，然后根
据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．
【答案与解析】
解：如图：AB=
=
，AC=
=
，BC=2，
A、∵DE=
=
，DF=
=
，EF=1，
∴
，
∴△DEF∽△BAC，
故A 选项正确；
B、∵MN=
=
，MK=
=
，NK=3，
∴
，
=1，
，
∴△MNK 与△ABC 不相似，
故B 选项错误；
C、∵PQ=
=2
，PR=
=
，QR=1，
∴
=
=
，
=
，
=
，
∴△PQR 与△ABC 不相似，
故C 选项错误；
D、∵GH=
=
，GL=
=
，HL=2，
∴
=
，
=
，
=
，
∴△GHL 与△ABC 不相似，
故D 选项错误．
故选：A．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角
形相似定理的应用是解此题的关键．
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5、如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC 与△DEF 相似，
则点F 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
【思路点拨】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形
的对应边成比例即可找到点F 对应的位置．
【答案与解析】
解：根据题意，△ABC 的三边之比为 1：
：
，
要使△ABC∽△DEF，则△DEF 的三边之比也应为1：
：
，
经计算只有甲点合适，
故选A．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
举一反三
【变式】如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使
△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G，H，M，N 四点中的（ ）
【答案】A．H 或N B．G 或H C．M 或N D．G 或M
解：设小正方形的边长为1，则△ABC 的各边分别为3、
、
，只能F 是M 或N 时，
其各边是6、2
，2
．与△ABC 各边对应成比例，故选C．
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