全等三角形 课件ID 号 (210829)
一、目标认知
学习目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：
1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；
2 .三角形全等的性质和条件。
难点：
1.掌握用综合法证明的格式；
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等。
二、知识要点梳理
知识点一：全等形
要点诠释：
能够完全重合的两个图形叫全等形。
知识点二：全等三角形
要点诠释：
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
知识点三：对应顶点，对应边，对应角
要点诠释：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对
应角。
知识点四：全等三角形的性质
要点诠释：
全等三角形对应边相等，对应角相等。
知识点五：三角形全等的判定定理（一）
要点诠释：
三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”
知识点六：三角形全等的判定定理（二）
要点诠释：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
知识点七：三角形全等的判定定理（三）
要点诠释：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
知识点八：三角形全等的判定定理（四）
要点诠释：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”
知识点九：直角三角形全等的判定定理
要点诠释：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”
三、规律方法指导
1.探索三角形全等的条件：
（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角
边(AAS);④边边边(SSS).
(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS 判别方法外，还有一种重要
的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.
2．判别两个三角形全等指导
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
3．经验与提示：
⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：
① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
③ 有公共边的，公共边一定是对应边．
④ 有公共角的，公共角一定是对应角．
⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)
是对应边(角)
⑵找全等三角形的方法
①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
⑶证明线段相等的方法：
①中点定义；
②等式的性质；
③全等三角形的对应边相等；
④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b 即可）。随着知识深化，今后还有其它方
法。
⑷证明角相等的方法：
①对顶角相等；
②同角（或等角）的余角（或补角）相等；
③两直线平行，同位角、内错角相等；
④等式的性质；
⑤垂直的定义；
⑥全等三角形的对应角相等；
三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。
⑸证垂直的常用方法
①证明两直线的夹角等于90°；
②证明邻补角相等；
③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；
④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。
⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
⑥邻补角的平分线互相垂直。
⑹全等三角形中几个重要结论
①全等三角形对应角的平分线相等；
②全等三角形对应边上的中线相等；
③全等三角形对应边上的高相等。
4.知识的应用
（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长
度或角的度数.
（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质
说明线段相等或角相等.
（3）用全等三角形测量距离的步骤：（1）先明确要解决什么实际问题；（2）选用全等
三角形的判别方法构造全等三角形；（3）说明理由.
5．注意点
（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.
（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件
中至少有一条边.
（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、
对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.
（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要
测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.
（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能
使用“HL”.
6.数学思想方法
（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.
（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.
（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等.
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：全等三角形（一）1 课件ID 号（141001） 主讲教师：梁威
栏目 视听课堂 名称：全等三角形（一）2 课件ID 号（141009 ） 主讲教师：梁威
经典例题透析
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨: AB=AC，AB 和AC 是对应边，∠A 是公共角，∠A 和∠A 是对应角，按对应边所
对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：AB 和AC 是对应边，AD 和AE、BD 和CE 是对应边，∠A 和∠A 是对应角，∠B 和∠C，
∠AEC 和∠ADB 是对应角.
总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角
是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC 的长。
思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，
EC+CF=BF+FC，所以
只需求∠ACB 的度数与BF 的长即可。
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌
△BCE．
思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角
的另一边，可通过AC＝BD 而得
总结升华：利用
全等三角形
证明线段(角)相等的一般方
法和步骤如
下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
4、如图，AD 为ΔABC 的中线。求证：AB+AC>2AD.
思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，
所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD 想到构造一条线段
等于2AD，即倍长中线。
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：(1)AE＝CF，(2)AE
∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF
思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF 而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可
证明△AEF≌△CFE 而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证
明它们全等．
6、如图 AB＝AC，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，BD、CE 相交于F．求证：AF 平分∠BAC．
思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证
得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD 与Rt
△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC 是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt
△ACE．
7、⊿ABC 中，AB=AC，D 是底边BC 上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB 垂足分别是E、
F、G.
试判断：猜测线段 DE、DF、CG 的数量有何关系？并证明你的猜想。
思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
注：学生必做 成果测评
轴对称（一） 课件ID 号（212733）
一、目标认知
学习目标：
通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分
的性质；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴
对称关系，并能指出对称轴；欣赏生活中的轴对称图形，结合现实生活中的典型实例了解并欣
赏物体的镜面对称。
重点：
1.轴对称概念及有关性质；
2.基本图形（如线段、角）的轴对称性
3.画和轴对称有关的图形
难点：
轴对称的性质的探索和掌握。
二、知识要点梳理
知识点一：轴对称图形及对称轴
要点诠释：
如果一个图形沿着一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图
形。这条直线叫这个图形的对称轴.
知识点二：轴对称及对称点
要点诠释：
把一个图形沿某条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形成
轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对
称点.
知识点三：线段的垂直平分线
要点诠释：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
知识点四：轴对称的性质
要点诠释：
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线。
2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
知识点五：线段垂直平分线的性质
要点诠释：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
知识点六：点在线段垂直平分线上的判定
要点诠释：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、规律方法指导
1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何
一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．
2．轴对称变换的性质：
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
4．点P（x，y）关于x 轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点P（x，y）关于y 轴对称的点的坐标是（-x，y）；
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．
5．点P（x，y）关于直线x=m 对称的点的坐标是（2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n 对称的点的坐标是（x，2n-y）；
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：轴对称 课件ID 号（213958） 主讲教师：梁威
经典例题透析
类型一：最短路程问题
1、在锐角∠AOB 内有一定点P，试在OA、OB 上确定两点C、D，使△PCD 的周长最短．
思路点拨: △PCD 的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD 的周长最短，•根据两点之间线段最短，
只需使得PC+CD+PD 的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P 关于直线OA•和OB 的对称
点E、F，则△PCD 的周长等于线段EF 的长．
举一反三：
【变式1】草原上两个居民点A、B 在河流a 的同旁，一
汽车从A 出发到B，途中需要到河边加水。汽车在哪一点
加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点。
思路点拨：若P 为直线a 上的点，则要使PA+PB 最小与
线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB 转化
成为一条线段时，点P 就是符合条件的点
类型二：坐标系中的对称问题
2、如图，请写出△ABC 中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作
出△ABC 关于直线m 对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC 中AC 边上一点，•请表示其在
△A′B′C′中对应点的坐标．
思路点拨: 直线m：x=-1 表示直线m 上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）
•作y 轴的平行线即直线m．画出直线m 后，再作点A、C 关于直线m 的对称点A′、C′，•而
点B 在直线m 上，则其关于直线m 对称的点B′就是点B 本身．
总结升华：2×（-1）中的-1 即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明
的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．
举一反三：
【变式1】如图6，一束光线从y 轴点A（0，2）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B（6，
6），则光线从点A 到点B 所经过的路程是（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
注： 学生必做 成果测评
轴对称（二） 课件ID 号（213956）
一、目标认知
学习目标：
通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进
行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别
方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法。
重点：
等腰三角形的性质与判定。
难点：
比较复杂图形、题目的推理证明。
二、知识要点梳理
知识点一：等腰三角形、腰、底边
要点诠释：
有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫等腰三
角形的底边。
知识点二：等腰三角形的性质
要点诠释：
（1）等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。（简称“三线合
一”）
知识点三：等腰三角形的判定
要点诠释：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）
知识点四：等边三角形
要点诠释：
三条边均相等的三角形是等边三角形。
知识点五：等边三角形的性质
要点诠释：
等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°
知识点六：等边三角形的判定
要点诠释：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点七：直角三角形性质定理
要点诠释：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、规律方法指导
1. 等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存
在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三
角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2. 常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中
线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
经典例题透析
类型一：探究型题目
1．如图1，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把
△ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标
明度数）
思路点拨: 对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查同学们对基础知识的掌
握情况以及动手实践能力，下面提供四种分割方法供大家参考。
举一反三：
【变式1】如图3，D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 是AD 上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB 和△AEC 中，
所以△ABE≌△AEC（第一步），
所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错
在哪一步，写出你认为正确的证明过程。
【变式2】已知△ABC 为等边三角形，在图4 中，点M 是线段BC 上任意一点，点N 是线段CA
上任意一点，且BM=CN，直线BN 与AM 相交于Q 点。
（1）请猜一猜：图4 中∠BQM 等于多少度？
（2）若M、N 两点分别在线段BC、CA 的延长线上，其它条件下不变，如图5 所示，（1）中的
结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由
类型二：与度数有关的计算
2．如图，在△ABC 中，D 在BC 上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2 的度数。
思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2 和∠1 之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找
出∠C 与∠2 的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2 与∠B 之间有
什么关系，变成△ABD 的角之间的关系，问题就容易的多了。
类型三：等腰三角形中的分类讨论
3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm，求
周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm，求周长。
思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这
里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，
因此必须进行分类讨论。
类型四：证明题
4．已知：如图，∠ABC，∠ACB 的平分线交于F，过F 作DE∥BC，交AB 于D，交AC 于E。
求证：BD＋EC＝DE。
思路点拨: 因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE 即可，
于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
举一反三：
【变式1】如图，C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边三角形，AE 交CD 于M，BD 交
CE 于N，交AE 于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。
【变式2】已知，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD，CE 三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。
注： 学生必做 成果测评
实 数 课件ID 号（215593）
一、目标认知
学习目标：
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根.
2. 了解开方与乘方互逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某
些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3. 了解实数的意义.知道实数与数轴上的点是一一对应的，了解无理数的概念.
4. 了解二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则. 会进行实数的简单运算
重点：
无理数和实数的概念.引入无理数使数域扩充到实数域，初中的所有数的运算均在实数范
围内进行的.无理数概念的理解决定实数概念的理解,有利于实数分类和运算的掌握.要让学生
掌握关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍成立,这是中学数学的基础.
难点：
无理数和实数的理解.无理数和实数比较抽象,尤其是无理数不能像有理数那样具体描述
出某个数的特点,在学生思维中想象不出它的存在,借助实数和数轴上的点一一对应,注意通过
具体数加以解释.实数抽象程度较高,能够对实数意义有所了解就可以.
二、知识要点梳理
知识点一：算术平方根与被开方数
要点诠释：
如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0 的
算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作
，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数。
知识点二：平方根
要点诠释：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
知识点三：开平方
要点诠释：
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
知识点四：立方根
要点诠释：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根
知识点五：开立方
要点诠释：
求一个数立方根的运算，叫做开立方。
知识点六：根指数
要点诠释：
一个数a 的立方根，用符号“
”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3
是根指数。
知识点七：无理数
要点诠释：
我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。
知识点八：实数
要点诠释：有理数和无理数统称实数
三、规律方法指导
1.无理数：
无限不循环小数叫做无理数.初中遇到的无理数有三类：①开方开不尽的，如：
；
②特定结构的数，如：1.010010001…；③特定意义的数，如：π、sin45°(以后才学到)，它
们的本质特征是无限不循环小数.（判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，往往
要经过整理化简后才能下结论）.
2.实数：
有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类.
①按属性分类： ②按符号分类
3.关于实数的运算法则：
有理数的运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.在实数范围内，不仅可以进
行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开方运算，负数只能开奇次方.应当
注意，负数不能开偶次方.
4.实数和数轴上点的对应关系：
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来，数轴
上的每一个点都可以表示一个实数.我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如
等。
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：实数1 课件ID 号（217903） 主讲教师：梁威
栏目 视听课堂 名称：实数2 课件ID 号（217905） 主讲教师：梁威
经典例题透析
类型一：定义的掌握
1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?
－0.313131…，π2，－81 ，23， －
， 3.14， -0.4829， 1.020020002…，
－3 －0.5.
思路点拨: 判断一个数是有理数还是无理数，应从它们的定义去辨别，不能从形式上去
分辨，如带根号的数不一定是无理数，像上面的
就是有理数.
举一反三：
【变式1】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
类型二：数的开方运算
2、
的平方根是___________;
算术平方根是___________
思路点拨: 先化简再计算
类型三：二次根式的运算
３、计算:（1）
； （2）
；
（3）
；
思路点拨:
1. 二次根式化简两种类型，
其一：根号内有平方因式，如
;
其二：根号内有分母，如
类型四：根式运算的应用
4、全球气候变暖导致一些冰川融化并消失。在冰川消失12 年后，一种低等植物苔
藓，就开始在岩石上生长。每一个苔藓都会长成近似的圆形。苔藓的直径和其生长年限近似地
满足如下地关系式：d＝7
（t≥12）其中d 表示苔藓的直径，单位是厘米，t 代表冰川
消失的时间（单位：年）.
（1）计算冰川消失16 年时苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35 厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
思路点拨:
.这是解方程的重要方法．
类型五：实数在数轴上表示
5、实数a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．
①b+c＞0②a+b＞a+c③bc＞ac④ab＞ac
A 一个 B 两个 C 三个 D 四个
思路点拨: 考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小
举一反三：
【变式1】.实数上的点A 和点B 之间的整数点有___________
类型六：实数比较大小
6、比较
与
的大小
思路点拨:
1. 求差法的基本思路是设a,b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b﹥0 时，
得到a﹥b.
当a-b﹤0 时，得到a﹤b。.当a-b＝0,得到a=b；
2. 求商法的基本思路是设a。b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。
＜1 时，a＜b，
当
＞1 时，
a＞b.当
=1 时，a=b 来比较a 与b 的大小。
举一反三：
【变式1】（1）比较
-
与
-
的大小
（2）比较
与
的大小
注：学生必做 成果测评
变量与函数 课件ID 号（208823）
一、目标认知
重点：
函数定义、解析式、自变量取值范围、函数的表示方法
难点：
运用函数定义辨析是否存在函数关系，分析具体材料背景写出函数解析式及自变量取值范
围
内容综述：
1、函数的有关概念：
一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。如果对于x 在某一范围内的每一个确定的
值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量,y 叫因变量。 如
果当x＝a 时，y＝b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常
量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。
（2）对于变量x 允许取的每一个值，合在一起组成了x 的取值范围。（3）变量x 与y
有确定的对应关系，即对于x 允许取的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应。
2.函数值
与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。
课程学习目标及学习建议：
1. 函数是刻画现实世界中变化规律的非常重要数学模型，对函数概念体会的深入程度是
学好函数知识的关键，在学习过程中一定要紧紧地结合实例体会引入函数概念的意义，紧紧地
结合实例体会了解常量、变量，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三
种表示方法(列表法、解析式法和图象法)。认真不浮躁地落实基本知识和基本技能。
2. 数学建模思想的体会理解，从分析探索实际问题中的数量关系和变化规律出发，经历
体会“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的每个过程细
节，提高运用所学知识分析解决问题的意识。
二、重点内容分析：
1. 变量、常量、函数概念的体会
(一)实例分析：
(1)汽车以60 千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S 千米，行驶时间为t 小时，如下表：
t（小时）
1
2
3
4
5
S（千米）
60
120
180
240
300
思考：在上述变化过程中，有两个变量S、t，一个常量速度60 千米/时，两个变量之间是否
有这样的关系“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
(2)每张电影票售价为10 元，早场售出150 张，日场售出205 场，晚场售出310 场，三场电
影的票房如下表
时段
早场
日场
晚场
售出票数(张)
150
205
310
收入金额(元)
1500
2050
3100
思考：在上述变化过程中，有两个变量售出票数和收入金额，一个常量单价10，两个变量之
间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相
对应?”
(3)在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧原长10cm，若每1kg 重物使得弹簧伸长0.5cm，不同的重
量m 对应的弹簧长度L 如下表：
重量(kg)
1
2
5
8
10
弹簧长度(cm)
10.5
11
12.5
14
15
思考：在上述变化过程中，有两个变量重量和弹簧长度，一个常量弹簧原长、单位重量伸长的
数值，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯
一确定的值与之相对应?”
(4)要画一个面积为S 的圆，圆的半径r 应取多少?请完成下表：
圆的面积(S)
10
20
50
100
300
圆的半径(r)
1.784
思考：在上述变化过程中，有两个变量S、r，一个常量圆周率，两个变量之间是否有这样的
关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
(5)用10m 长的绳子围成长方形，根据长方形长的长度，观察长方形的宽的长度和面积如何变
化。请思考完成下表：
长方形的长/m
2.5
3
3.5
4
4.5
2
1.5
1
0.5
长方形的宽/m
2.5
长方形的面积/m2
6.25
思考：在上述变化过程中，有三个变量长方形的长、宽、面积，一个常量长方形的周长10，
其中每两个变量之间是否都有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有
唯一确定的值与之相对应?”
(二)规律概括
在我们身边的各种变化中，有各种变化的量和不变化的量，在两个变量之间有一种不是一
定存在但是是非常普遍存在的关系就是：“当其中一个变量随便取定一个值时，另一个变量都
有唯一确定的值与之相对应!”也就是说普遍的两个变量之间都存在相依对应的关系!
函数定义：
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量. x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应?那么我们就说. x 是自变量，y 是x 的函数，如果当x=a 时y=b，
那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
注：(1)函数是两个变量之间一种相依对应的关系
(2)自变量在其可以取值的范围内任意取，函数值每次在自变量取定一个值后都存在唯一
确定的值与之相对应。
2. 定义运用
1. 判断下列材料中所给的两个变量之间是否存在函数关系?
(1)心电图中的变量：心脏脉冲电流值和时间
(2)下表中所示变量：人口数和年份之间
2. 用长为10cm 的绳子围成一个长方形，其中长方形的一条边长是xcm，这个长方形
的面积s cm2，判断填空：这里_____是常量，_____是变量，变量间是否存在函数关系?若存
在，其中_____是_____的函数，你是否能说明理由?是否能选择适当的方法表达该函数关系?
注：(1)当用解析式表达函数关系时，一定要关注自变量的取值范围!
(2)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数解析式有意义，而且还要注意问题的实际
意义!
(3)约定，在我们今后所给定的函数解析式中，若没有特别说明，都默认自变量取值范
围为使解析式有意义的所有实数!
3. 判断下列关系式和图象中，其中y 是否是x 的函数?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4. 写出下列函数关系式：
(1)等腰三角形的底角y 的度数与顶角度数x 之间的关系为______；
(2)某礼堂共有25 排座位，第一排有20 个座位，后面每排比前一排多1 个座位，则每排
座位数y
与这排的排数x 的关系为_____·
整式的乘法 课件ID 号（220583）
目标认知
学习目标：
1．掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），能用字母式子和
文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
2．掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进
行运算。
重点：
整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。
难点：
字母的广泛含义的理解。
二、知识要点梳理
知识点一：
同底数幂的乘法
要点诠释：
同底数幂相乘，.底数不变，指数相加
用字母表示为：am×an=am+n（m、n 都是正整数）.
三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p 都是正整
数）.
此性质可以逆用，即am+n=am×an（m、n 都是正整数）.
知识点二：
幂的乘方
要点诠释：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示为：（am）n=amn. (m、n 都是正整数)
知识点三：
积的乘方
要点诠释：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为：（ab）n=anbn(n 是正整数).
知识点四：
单项式乘以单项式
要点诠释：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘.对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
知识点五：
单项式乘以多项式
要点诠释：
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表
示为
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
知识点六：
多项式乘以多项式
要点诠释：
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得
的积相加.用字母表示为（a+b）（m+n）=ma+na+mb+nb.
三、规律方法指导
1．在学习本节内容时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意
义.
2．幂的三个运算性质是学习整式乘法的前提条件，单项式乘法是幂的运算性质的一个直接
应用，单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上，利用分配律的更
复杂的运算.
3．在单项式的乘法法则中：
①系数相乘，是有理数的乘法运算；相同字母相乘，是同底数幂的乘法运算；
②单项式与单项式相乘的结果是单项式，一般确定结果的系数，往往先确定绝对值，再
确定符号.
4．在单项式与多项式相乘时：
①单项式乘以多项式的依据是乘法对加法的分配律.
②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数和因式中多项式的项数相同，计算
时要注意各项的符号.
5．在多项式与多项式相乘时：
①多项式乘以多项式可以化为单项式乘以多项式或单项式乘以单项式.
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式
的项数的积.
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：整式的乘法 课件ID 号（12322） 主讲教师：凌文伟
经典例题透析
类型一 ：同底数幂的运算
1、计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5
思路点拨：（1）分析：①(-
)就是(-
)1，指数为1； ②底数为-
，不变；
③指数相加1+2+3=6；
④乘方时先定符号“+”，再计算
的6 次幂（2）分析：①-a4与(-a)3不是同底
数幂；
②可利用-(-a)4=-a4 ③变为同底数幂
总结升华：
同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：
（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或
多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数
（4） 这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+...
(m, n, p 都是 自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数
相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同:底数相同且指数也必须相同，
实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
举一反三：
【变式1】计算 (x-y)3(y-x)(y-x)6
【变式2】计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4
类型二：幂的乘方运算
2、计算：（1）(a2m)n （2）(am+n)m （3）(-x2yz3)3 （4）-(ab)8
思路点拨：
（1）：①先确定是幂的乘方运算②用法则 底数a 不变,指数2m 和n 相乘
（2）：①底数a 不变，指数(m+n)与m 相乘②运用乘法分配律进行指数运算。
（3）：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3，分别3 次方，②注意(-1)3=-1。
（4）：①8 次幂的底数是ab。②“-”在括号的外边先计算(ab)8再在结果前面加
上“-”号。
总结升华：
幂的乘方(am)n=amn，与积的乘方(ab)n=anbn
(1)幂的乘方，(am)n=amn，(m, n 都为正整数)运用法则时注意以下以几点：
①幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3 的底数为(x+y)，是一个
多项式，[(x+y)2]3=(x+y)6
②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：
(a3)4=a7; [(-a)3]4=(-a)7; a3·a4=a12
(2)积的乘方(ab)n=anbn，（n 为正整数）运用法则时注意以下几点：
①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干
个幂的乘方），再把所得的幂相乘。
②积的乘方可推广到3 个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3
如(a
1·a
2·……a
n)m=a
1
m·a
2
m·……a
n
m
举一反三：
【变式1】当ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n 的值。
【变式2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。
类型三 ：单项式的乘法
3
、
计
算
：(1)(-3a2b)(-
a2c2) · 4c3 (2)
-3(a-b)2[2(a-b)3][
(a-b)]
思路点拨：(1) 不要将b 的这个因式丢掉.(2) 分析：将(a-b)看作底数，仍用单项式乘
法法则来作。
总结升华：利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。
对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点：
①积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值②相同字母因数相乘，
是同底数幂的乘法。
③要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。
④单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。
⑤
字
母
因
式
的
底
也
可
以
是
一
个
多
项
式
，
如
：
-2a(x+y)2·4ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5
⑥单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。例如：
ab2(-2a2b)(-4abc)= a4b4c
举一反三：
【变式1】计算(-3×106)·(-2×104)·(-5×105)
【变式2】计算(1)(32)10+(92)5 (2) [(23)6]3+[(83)2]3
类型四：多项式的乘法
4、计算：
(1)4ab·(3a2+2ab－1)
(2)2x(x2－xy－y2)－3xy(4x－2y)+2y(7x2－4xy+y2)
(3)(3x4－3x2+1)(x4 +x2－2)
(4)(3x+1)(x+1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x)
总结升华：
(1)单项式乘以多项式，必须按照其法则进行。对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再
乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简。
(2)多项式乘以多项式的运算法则，要按照运算法则一步一步来运算，并要做到不“重”和
不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简，便可为解决此类问题扫清障碍。
举一反三：
【变式1】已知：x2+x－1=0，求x3－2x+4 的值。
注： 学生必做 成果测评
整式除法 课件ID 号（223566）
一、目标认知
学习目标：
1. 同底数幂的除法的运算法则及其应用。
2. 单项式除以单项式的运算法则及其应用。
3. 多项式除以单项式的运算法则及其应用。
重点：
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
难点：
熟练运用所学法则进行整式的除法。
二、知识要点梳理
知识点一：同底数幂的除法
要点诠释：同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”
公式
（规定：a0=1（a≠0）任何不等于0 的数的0 次幂都等于1．）
知识点二：单项式除以单项式
要点诠释：单项式相除，把系数、•同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
知识点三：多项式除以单项式
要点诠释：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，•再把所得的商相加．
三、规律方法指导
1、同底数幂的除法
（1）、同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”而不是“指数相除”
（2）、公式
中的底数
，可以是数、字母、单项式等任意代数式。
（3）、应用同底数幂相除时要与同底数幂乘法和整式加减区别开。
（4）、注意指数为1 时可以省略不写。
2、应用单项式除以单项式时应注意的问题。
（1）、系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数包括它
前面的符号；
（2）、被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏。
（3）、要注意运算顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里的，同级运算按从左到右
的顺序进行。
3、多项式除以单项式
（1）思路：多项式除以单项式→单项式除以单项式→同底数幂相除和系数相除（“→”
表示转化）
（2）注意：多项式除以单项式时，•所得结果在合并同类项之前的项数与多项式的项数相
同．
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：整式的除法 课件ID 号（12334） 主讲教师：凌文伟
经典例题透析
类型一：计算
1、下列运算是否正确？对错题指出原因，并加以改正。
总结升华：
同底数幂的除法运算常见的错误是：
（1）指数运算混乱；（2）底数确定的不对，出现符号错误；（3）系数计算不准；（4）运算
顺序不对．
举一反三：【变式1】例2 若2m=6，4n=2，求22m-2n+2 的值.
【答案】分析：逆用同底数幂乘、除法性质进行计算.注意amn=(am)n=(an)m，am-n=am
÷an.
类型二：单项式除以单项式
2、计算
(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2) (2)(x-y)5÷(y-x)3
(3)( x3y2)3÷( xy)2 (4)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
思路点拨：（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;(2)将底数多项式看作整
体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简
单的形式），并将结果化到最后；对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计
算.(1)先进行乘方，再进行除法运算.
(2)先乘方，再自左至右进行乘除法.
总结升华：
从单项式除法的法则看出，单项式除法的实质是将它转化为同底数幂的除法运算，运算的
结果仍是单项式．
运用单项式除法的法则进行计算的一般步骤：
（1）把系数相除，所得结果作为商的系数；
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；
（3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式运算常出现常见错误是：
（1）忽略符号； （2）遗漏只在一个单项式里出现的字母．
举一反三：
【变式1】已知(- xyz)2·m= x2n+1yn+3z4÷5x2n-1yn+1z，求m.
类型三：多项式除以单项式
3、计算：①[（xy2）2+3xy3·xy-2y2·（xy）2]÷xy3·y
②[（x+y）3-2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y）
思路点拨：分析：第①题应注意运算顺序，同级运算要按从左到右的顺序依次进行．第②题
应视x+y 为一个整体而看着是多项式除以单项式
总结升华：多项式除以单项式的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．
多项式除以单项式一般按下面两步进行：
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
多项式除以单项式时，应注意逐项运算，要留心各项的符号．
多项式除以单项式常见的错误是：
（1）忽视符号问题；
（2）系数和指数运算不准．
举一反三：
【变式1】已知多项式2a3-4a2-a 除以一个多项式A，得到商式为2a，余式为a2-a，求这
个多项式.
注：学生必做 成果测评
乘法公式 课件ID 号（221904）
一、目标认知
学习目标：
1、通过运算多项式乘法，探索得到平方差公式、完全平方公式，培养认识由一般法则到特殊
法则的能力。
2、通过动手、观察并发现平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中
字母的含义。
3、初步学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算。
重点：
重点是理解平方差公式、完全平方公式，运用公式进行计算。
难点：
难点是对公式中a，b 的广泛含义的理解及正确运用。
二、知识要点梳理
知识点一：平方差公式
要点诠释：(a+b)(a－b)=a2-b2. 这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两
个数的平方差
知识点二：完全平方公式
要点诠释：(a+b)2=a2+2ab+b2 这就是说，两数和的平方，等于这两个数平方的和再加上
这两个数乘积的二倍。(a－b)2= a2-2ab+b2 这就是说，两数差的平方，等于这两个数
平方的和再减去这两个数乘积的二倍。
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：乘法公式 课件ID 号（13959） 主讲教师：凌文伟
规律方法指导
1.分清a、b，对号入座．
1．计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析：本题两个因式中“-5”相同，
“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2
中的a，而“2x2”则是公式中的b．
2．计算(-a2+4b)2
分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2 时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公
式中的b；
若将题目变形为(4b-a2)2 时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解
略）
2.注意创造条件使用公式
3．计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、
“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
4．判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 的个位数字是几？
分析：此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=
（2-1）和上式可构成循环平方差。
3.公式的推广
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍．
5．计算(2x+y-3)2
4.公式的变换，灵活运用变形公式
6．已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
分析：此题可用完全平方公式的变形得解。
7．已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2 的值。
分析：此题若想根据现有条件求出x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到x2-z2 是由x+z 和
x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。
5.乘法公式的逆运用
8． 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简
便得多．
9．计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运
算更为简便．
10．计算19992-2000×1998
分析：此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
经典例题透析
类型一：乘法公式的逆运用
1、计算：
思路点拨：应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，
同时能提高观察能力。
举一反三：【变式1】计算：
（1）
（2）
【变式2】计算：
类型二：公式的变换，灵活运用变形公式
2、已知
，求
的值。
思路点拨：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重
新组合，可得如下几个比较有用的派生公式
举一反三：
【变式1】计算：
【变式2】已知实数x、y、z 满足
，那么
（ ）
因式分解（一） 课件ID 号（20160）
因式分解――提公因式法
（一）、内容提要
多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因
式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方
程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项式化成n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，
而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运
用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公
共因式中的最高公因式。
[知识要点]
1．了解因式分解的意义和要求
2．理解公因式的概念
3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式
四．注意问题提示：
分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式
分解。
对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的，分组
要注意合理性，四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，
而剩下的一项必须能写成代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得到
的形式，再用平方差公式分解。
五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、
二分组。
原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：提公因式法和运用公式法 课件ID 号（16876 ） 主讲教师：李冰
（二）、例题分析
例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
1.(x+1)(x-2)=x2-x-2 2.ax-ay-a=a(x-y)-a
3.6x2y3=2x2·3y3 4.x2-4=(x+2)(x-2)
5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)
A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个
分析：从左到右，式1 是整式乘法；式2 右端不是积的形式；式3 中左右两边的均是单项
式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n 个整式的乘积形式；式
5 的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4 是正确的。
例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b 分解因式
分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数
是正的。
此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.
评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1 或-1，而不是零。1 作
为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可
利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3a2b(b2-2abc-1)是否等于
-3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。
例3．分解因式3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)
分析：因为y-2x=-(2x-y), 就是说y-2x 与2x-y 实质上是相同因式，因此本题的公因式是
3ab(2x-y).
评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因
式分解的结果，单项式写在多项式的前面。
例4．分解因式：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2
分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，因此(a-b)2 就是公因式，分
解结果有相同的因式要写成幂的形式。
评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，
但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。
当n 为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n; 当n 为偶数时，(x-y)n=(y-x)n.
例5．不解方程组
求7y(x-3y)2-2(3y-x)3 的值。
分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3 进行因式分解，再将2x+y=6 和x-3y=1 整体代入。
例6．求证：32000-4×31999+10×31998 能被7 整除。
分析：先把32000-4×31999+10×31998 因式分解
因式分解(二) 课件ID 号（8593）
一、学习指导
1．代数中常用的乘法公式有：
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
2．因式分解的公式：
将上述乘法公式反过来得到的关于因式分解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公
式：
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
3．①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项
数系数，符号等方面掌握它们的特征。②明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。④运用公式法进行
因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、因式分解公式的结构特征。
1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的结构特征
1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。
2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a 是完全相同的，即为左边式
子中被减数a2 的底数，另一项b 和-b 是互为相反数，即b 是左边式子中减数b2 的底数。
3)要熟记1——20 的数的平方。
2、完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 的结构特征.
1)公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正
号(负号)时右边的两项式中间符号为正(为负),2ab 中的“2”是一个固定的常数。
2)公式的右边是两数和或差的平方形式。
3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a 和b 在这
里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab 或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差
的平方形式。初学时中间的过渡性步骤不要省掉。
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栏目 视听课堂 名称：提公因式法和运用公式法 课件ID 号（16876） 主讲教师：李冰
三、例题分析：
例1．分解因式：(1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16
分析：①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a 和3b 看作平方差公式中的a 和b 即可。
②将两项交换后，这两项式是平方差的形式。
例2．分解因式：(1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x-2y)2 (3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2
分析：(1)题二项式有公因式9 应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差
公式。
(2)题的两项式符合平方差公式，x+2y 和x-2y 分别为公式中的a 和b。(3)题也是两项式，
9x4 和y4 是公式中的a 和b。(4)题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b。
例3．分解因式： ①(2m-n)2-121(m+n)2 ②-4(m+n)2+25(m-2n)2
分析：(1)题的第二项应写成[11(m+n)]2 就可以用平方差公式分解，2m-n 和11(m+n)为公式
中的a 和b，
(2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别
为5(m-2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。
例4.分解因式: (1)
b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n) (3)-
分析：这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解
为止。
例5．计算1.22222×9-1.33332×4
分析:这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中
的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使
计算简化。
例6．分解因式：(1)x(x2-1)-x2+1 (2)(x2+x+2)(x2+x+7)-6
分析：
(1)可看成二项式：将-x2+1 变形为-(x2-1)则可提取公因式(x2-1)再将公因式用平方差公式分解。
（2）分析：(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2 与x2+x+7 的平均数为x2+x+
，故
可用换元法解：
例7．若(248-1)可以被60 和70 之间的两个数整除，求这两个数。
分析：首先应分析248-1 的特殊形式为平方差，由题意248-1 能被两个数整除说明248-1 能分解
成哪两个数与其它因式的积，并将248-1 进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于
60 且小于70。
说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1 是因式分解的平方差公式的基本形式。
将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1 的因式，26+1=65，及出现26-1=63。
因为23+1=9，23-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。
例8．求证：任意两个连续整数之积是2 的倍数。
注：本题的证明，主要是明确以下几点：
(1)连续整数的表示法，注意数之间差为1，
(2)2 的倍数是什么意思；即被2 整除，也就是说除以2 所得的商是一个整数。
(3)要进行分类讨论，将n 分为偶数和奇数来进行讨论。
例9、分解因式：(1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1
（1） 分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的
完全平方公式。
（2） 题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，
4xy 正好是2(x)(2y)是公式中的2ab 项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时
4xy 要变号为-4xy。
（3） 分析：(3)题9(a-b)2+1 可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a 和b 项为3(a-b)
和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1 为公式中的2ab 项，符合完全平方公式。
例10、分解因式：
(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2 (2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16
(4)
(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4
分析：(1)题有公因式x2 应先提取出来，剩余因式(a4-4a2y+4y2)正好是(a2-2y)2
分析：(2)中可将(x+y)看作一个整体，那么这个多项式就相当于(x+y)的二次三项式，并且降幂
排列，公式中的a 和b 分别为(x+y)和(6z)，中间项-2ab 为-2(x+y)(6z)，正好适合完全平方公式。
分析：(3)的题型与(2)题相同，只不过公式中的a 和b 为x2+4x 和4，分解为(x2+4x+4)2 后再将
x2+4x+4 再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。
分析：(4)题把x2-2y2 和y2 看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2 和y2 的二次三项
式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项
系数
提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。注意分解到不能分解为止。
例11、分解因式：
(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b) 2 (2)3a4-6a2+3 (３)an+1+an-1-2an (4)(m2+n2+1)2-4m2n2
分析：(1)题中的9(a-b)2=[3(a-b)]2， 4(a+b)2=[2(a+b)]2 而中间项
分析：(2)此题的三项式可看作a2 的二次三项式,且应先提取公因式3，再用公式进行分解。
分析：(3)题有公因式an-1，先提取公因式再用公式。注意先按降幂排列好顺序。
分析：(4)题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可
再用平方差公式。
例12：分解因式：(m2-1)(n2-1)+4mn.
分析：将(m2-1)(n2-1)展开得m2n2-m2-n2+1=(m2n2+1)-(n2+m2)可将m2n2+1 与n2+m2 均配成完全平
方则可用平方差公式分解
因式分解（三） 课件ID 号（8993）
因式分解——分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行
分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种
分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就
可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式
转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达
到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项
式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要
统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不
断总结规律，便能掌握分组的技巧。
必听课程：
栏目 视听课堂 名称：分组分解法 课件ID 号（16877） 主讲教师：李冰
三、例题分析
例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2
(4)x3-x2-x+1
（1）分析：首先注意到前两项的公因式2x 和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的
是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y 的项分在一组。如
下面法（二）解法。
(2)分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a 的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有
b 的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将
a2-b2 一组应用平方差公式，再提出因式。
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2 一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2 一组应用
平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此
题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
(4)分析：此题按照系数比为1 或者为-1，可以有不同的分组方法。
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对
下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项
分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，
如例1（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。
如例1 的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完
全平方公式再应用平方差公式。如例1 中的（3）题。
例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m
分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2 是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因
式可提取，因而可采用三项、二项分组。
例3．分解因式:(1)x2-y2-z2-2yz+1-2x (2)x2-6xy+9y2-10x+30y+25 (3)a2-a2b+ab2-a+b-b2
分析（1）：此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x2-2x+1 一组，-y2-2yz-z2
一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。
分析 (2)：此题也是六项式，前三项是(x-3y)2，而最后一项是52，中间两项恰巧能分解成
-2·5(x-3y)，所以可以用完全平方公式来分解。
分析（3）：此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项
分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
例4．分解因式：（1）3x3+6x2y-3x2z-6xyz (2)ab(c2+d2)+cd(a2+b2) (3)(ax+by)2+(bx-ay)2
(4)a2-4ab+3b2+2bc-c2
分析（1）：此题是四项式，这四项中有公因式3x 应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分
组。
分析 (2)：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。
(3) 先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。
（4）分析：将3b2 变形为4b2-b2 再分组进行。
四．注意问题提示：
分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。
对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的，分组要注
意合理性，四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而
剩下的一项必须能写成代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得到
的形式，再用平方差公式分解。
五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二
分组。
原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。
注：学生自学 课外拓展
十字相乘法分式及其性质 课件ID 号(228884)
知识要点梳理
要点一：分式的概念
定义
一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫做分式.
分式有意义
分式的分母不为0.
分式的值为0
分式的分母不为0 且分子等于0.
要点二：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变.
即
.
要点三：分式的变形
变符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变.
通分
利用分式的基本性质，不改变分式的值，把两个分式化成相同分母的分式，这样的分式变
形称为通分.
约分
利用分式的基本性质：不改变分式的值约去分式的分子和分母的公因式，使分式最简洁，
这样的分式变形称为约分.
显然约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行这种变形之前，要先将分式的分子和分母
进行因式分解.
最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，称为最简公分母.
必听课程
栏目：视听课堂 名称：分式的概念与基本性质 课件ID 号（155940） 主讲教师：梁威
经典例题精析
类型一：分式的概念
分式定义
1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，
，
，
，
思路点拨：区别整式和分式的关键是看分母中是否会含有字母.特别地，
是常数.
分式有意义
2
为何值时，下列分式有意义
（1）
（2）
（3）
（4）
思路点拨：分式有意义就是在分式分母不等于0 的条件下，求字母的取值.
分式的值为0
3
为何值时，下列分式的值是零.
（1）
（2）
（3）
（4）
思路点拨：分式的值为0，需满足两个条件：
①分式的分母不等于0 ，②分式的分子等于0，且二者缺一不可.
类型二：分式的基本性质
4 不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项的系数化为整数.
(1)
(2)
(3)
(4)
思路点拨：（1）利用分式的基本性质.
（2）分子、分母同乘以各系数分母的最小公倍数
类型三：分式的变形
变符号法则
5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号.
(1)
(2)
(3)
(4)
思路点拨：在
，
，
中，三者变其一的符号，结果为原分式的相反数，三者变其二的符
号，结果与原分式相等.
6 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数.
(1)
(2)
(3)
思路点拨： 用变符号法则时，若分子、分母为多项式时，则它们的符号指的是多项式的符号
总结升华：(1)根据分式的意义，分数线代表除号，又起着括号的作用.
(2)一般地，分子、分母为多项式时，要按降幂排列.
通分
7 把下列各组分式通分：
(1)
，
，
(2)
，
,
思路点拨：先确定最简公分母，再利用分式的基本性质化为同分母.
约分
8 化简下列分式：
(1)
(2)
(3)
(4)
思路点拨：先对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，对分式进行约分.
类型四：综合应用
9 已知分式
，当
时值为0，
时无意义，求
、
.
10．不改变分式的值，把分式
中分子和分母的多项式各项系数化为整
数且使最高次项系数为正.
11．(1)已知
，求
的值.
(2)已知
，求
的值.
(3)已知
，求
的值.
思路点拨：此类题的解法：一种是由已知条件变形，通过代入来求分式的值；另一种根据分
式的基本性质对所求的分式作变形，再把已知条件整体代入，从而求出分式的值.
12．某文具专柜以每支
(
为整数)元的价格购进一批笔，决定每支加价2 元销售。结
帐时，
售货员发现这批笔的销售总额为
元.根据以上信息求出：
(1)文具专柜共购进了多少支笔？
(2)每支笔的进价
是多少元？
思路点拨：由于购进的笔
支，且
是整数，这是解题的关键.
分式的运算 课件ID 号（233327）
目标认知
学习目标
1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义．
2．熟练掌握分式混合运算．
重点
分式通分的理解和掌握．
难点
分式通分中最简公分母的确定．
知识要点梳理
要点一：乘法法则
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
符号表示：
．
要点二：除法法则
把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
符号表示：
．
要点三：分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
符号表示：
，
．
要点四：整数指数幂运算性质
（1）aman=am+n （m，n 是正整数)；
（2）(am)n=amn （m，n 是正整数）；
（3）(ab)n=anbn （n 是正整数）；
（4）am÷an=am-n （a≠0，m，n 是正整数，ｍ＞ｎ）；
（5）(
)n=
（n 是正整数）；
（6）a-n=
（a≠0，n 是正整数）；
特别地，当a≠0 时，a0=1．
规律方法指导
1．明确运算顺序是正确进行分式恒等变形的前提．如果在运算过程中能灵活运用“结合
律”、“分配律”以及去（添）括号法则等手段往往能够使问题变得简单．
2．根据所给条件化简分式是分式运算的深化和延续.其方法经常是根据等式性质对所给
条件实行变化，转化成所需要的形式，根据整式和分式运算法则对式子实行恒等变形，
并在变形过程中把条件代 入进去，以达到化简或求值的目的．
3．因式分解是整式也是分式恒等变形中非常重要、经常要用到的数学方法.在今后的学习
中也要用到因式分解，所以必须引起同学们的重视．
必听课程
栏目：视听课堂 名称：分式的运算 课件ID 号（155941） 主讲教师：梁威
经典例题透析
类型一：分式的乘除运算
1．计算：
（1）
；
（2）
．
思路点拨：应用乘除法的法则进行运算．如果有乘方运算，先进行乘方运算，然后将除法变
为乘法；
分子、分母能因式分解的先因式分解；能够约分的要进行约分，注意符号的变化．
总结升华：
（1）对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；
（2）运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的分子相乘；当它是除式时，
则只取它本身的倒数，再与其它分式相乘；
（3）注意，第（2）题千万别错写成
的形式；
（4）计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号，如（1）题．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
； （2）
．
【变式2】计算：
类型二：分式的加减运算
2．计算：
（1）
；（2）
；（3）
思路点拨:
（1）应用加减法的法则进行运算．异分母分式做加减运算前先通分，通分前如果分母可
以因式分解要先进行因式分解．
（2）第一小题分母相同，根据法则直接计算；第二小题的最简公分母为（x＋y）（x－y）；
第三小题的后两项－a－2＝－
．
总结升华：
（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式，确定最简公分母，通分，
同分母分式加减，化成最简形式．
（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子，然后与分式进行通分，再
计算．
（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式
统一成一个分式时，原来隐藏的括号全写出来．
举一反三：
【变式1】计算
【变式2】计算
类型三：比较复杂的分式加减法
3．计算
思路点拨: 应用加减法的法则进行运算，计算时一定要仔细认真，尽量避免跳步．
总结升华：将整式化成分母是1 的分式形式，然后进行通分运算；分母如果能够因式分
解的一定要因式分解，这样做有利于找到最简公分母．
【变式1】计算
【变式2】计算
类型四：对称分式或接近对称分式的加减运算
4．计算
思路点拨：应用加减法的法则进行运算，观察每一个分式的特点以及整个分式的特点，
寻找最简单的解题途径．
总结升华：当分子的次数达到或超过分母时，将分式化为整式与最简分式的和，可以降
低难度．
举一反三：
【变式】计算
类型五：分式的拆分
5．计算：
+
+ …… +
思路点拨：应用加减法的法则进行运算，有些分式可以拆分如
=
-
达到简
化运算的目的．
总结升华：如果分式分母中的两个因式相差为1，逆用分式减法法则拆项．即表示为：
=
-
．
举一反三：
【变式1】计算：
-
-
+
【变式2】计算：
+
+
类型六：化简求值类型题
6．先化简，再求值：
．其中x＝2
思路点拨：分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最
后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便
些．
总结升华：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除
法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行
运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号
必须两处，结果要求最简．
举一反三：
【变式1】按下列程序计算：
（1）填表．
输入n
3
…
输出答案
1
1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简．
【变式2】小玲遇到一道题：
“先化简，再求
的值，其中
．”
小玲做题时把“
”错抄成了“
”，但她的计算结果也是正确的．请你解释这
是怎么回事．
类型七：比较复杂的化简求值题
7．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦）代入下式求值：
思路点拨： 这里的a 不能取1，否则分母的值为0，原式就没有意义了．
同学们可选择不等于1 的任意实数，只要求出
的值均可．
总结升华：运用分式的混合运算法则进行化简求值，注意所给字母的取值范围．
举一反三：【变式】先化简，再求值：
，其中a 满足
．
注： 学生必做 成果测评 经典例题 举一反三 【变式题】
分式的应用 课件ID 号（34149）
一、分式方程组的解法。
1、解分式方程组的指导思想
解分式方程时用转化思想采用去分母的方法将分式方程的分母去掉化为整式方程，再解整
式方程，最后验根，完成了解分式方程的过程。解分式方程组也是用解分式方程的思想将分式
方程组转化为整式方程组来解。
2、解分式方程组
例1，解方程组：
分析：此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解。
例2，解方程组
分析：按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1 方法去解此
方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解。因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，
再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个方程组。
注：1、换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中
的运用，更为重要。它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学
习数学知识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法。这种换元的方法将来在初三还会专门学
习。
2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的。目的是求原来未知数（如x,y）
的值。所以当求得辅助未知数（如m,n）的值以后，一定要把原来未知数（x,y）的值求出来。
3、由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法，
也可以用换元法。究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析。
二、列分式方程（组）解应用题
1、列分式方程解应用题能进一步培养理论联系实际和分析问题，解决问题的能力。它也
是本章的一个难点。但是只要我们仔细审题，认真分析题目中所给数量关系，再联系到一元一
次方程解应用题的一些方法和步骤，这个难点也是可以突破的。
2、列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同，其主要区别是量
与量之间数量关系的代数式可以是整式，也可以是分式，分式方程需要验根。
3、列分式方程解应用题的基本步骤可归纳为五个字：设、找、列、解、答。即：
（1）审题，设——“设”
（2）根据题意找等量关系：——“找”
（3）列代数式，列方程——“列”
（4）解方程并检验——“解”
（5）写答案——“答”
4、分类介绍一些应用题
（1）追及问题
在解“追及问题”时，常需依时间列方程来解决问题。
例3，某校师生到距学校20 千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45 分钟后，乙
班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5
倍，求两种车的速度各是多少？
分析：这个题目是个行程问题的“追及”问题，那么基本量距离，速度，时间存在着距离=
速度×时间的基本关系。在找相等关系时，要按基本数量关系去检查，看是否表示
同一种量。
（2）相向而行问题：
解“相向而行问题”时，也需要依时间列方程解之。
例4，甲、乙两人分别从相距20 千米的A、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，
二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1 千米，结果到达B 地后乙还需30 分钟
才能到达A 地，求乙每小时走多少千米。
说明：整理方程后虽然是个一元二次方程：x2+x-20=0，我们可用因式分解法将左边：
x2+x-20=(x-4)(x+5)，进行因式分解，再应用ab=0 则a=0 或b=0 的结论来解。
（3）合作工程问题：
解合作工程问题，也常常需要依时间列方程来解应用题。
例5．甲、乙两个小组合修一台机器，2 小时完成。已知甲小组单独修需要3 小时，求乙
组单独修需几小时？
分析：工程问题常常把全部工作看成1（有时也可以看成a），那么工作效率=
工程问题常用关系式为：工作量=工作效率×工作时间
例6．要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3 天才能完成，现
甲乙合作2 天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天
数。
注：本题的关键量在于寻找工作量。甲的工作量为：甲的工作效率×甲的工作时间，即
2·
；乙的工作量为：乙的工作效率×乙的工作时间即：2×
+
或者可分析为乙从头
至尾都在工作，则它的工作时间即为甲单做工作时间x，乙的工作量也为
，则可直接列
方程为
+
=1
例7．打印一份稿件，甲打30 分钟后由乙继续再打25 分钟就完成。第二次再打这份稿件，
乙打30 分钟后由甲继续再打24 分钟就完成。问甲、乙二人单独打这份稿件各需多
少分钟。
合作工作问题基本数量是时间，总工作量、效率。它们之间的关系为效率×时间=总工作
量。工作问题中常常把总工作量看做1。特别要注意工作的时间与工作量的表示，如果一件工
程要x 天完成，则一天就能完成
，这就是工作效率。完成一件工程，甲单独做要a 天，乙
单独做用b 天完成，两人合作决不是(a+b)天，而应该是
（天）。
（4）流速问题：
流速问题是特殊的行程问题，较一般行程问题特殊在速度的合成上。
例8．船航行于相距32 千米的两个码头之间，逆水比顺水多用12 小时，若水流速度比船
在静水中的速度少2 千米/时，求水流速度及船在静水中速度。
（5）整数问题：
例9．一个两位数的十位数字是6，若将十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与
原来两位数的比是4：7，求原来的两位数。
例10．一个分数的分子和分母各加上1，得
，各减去1 得
，求这个分数。
一次函数的图象和性质 课件ID 号（17933）
一、知识要点：
1、一次函数：若两个变量x,y 存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b 为常数)的形式，则称y 是x
的函数。
注意：（1）k≠0,自变量x 的最高次项的系数为1；
（2）当b=0 时，y=kx，y 叫x 的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，
（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b）；与x 轴交于（-
，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)
的图象是经过（-
，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b 与直线y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线y=2x-5
都与直线y=2x 平行。
3、一次函数图象的性质：
（1）图象在平面直角坐标系中的位置:
（2）增减性：
k>0 时，y 随x 增大而增大；
k<0 时，y 随x 增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种：
一是由已知函数推导，如例题1；
二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4 的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2 的第二小题、例7。
其步骤是：
①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；
②将x、y 的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未
知数
的方程或方程组；
③解方程，得到待定系数的具体数值；
④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
必听课程
栏目：视听课堂 名称： 一次函数的图像和性质 课件ID 号（19496） 主讲教师：赵鸿
雁
二、例题举例：
例1、已知变量y 与y1 的关系为y=2y1,变量y1 与x 的关系为y1=3x+2，求变量y 与x 的函
数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1 可以找到y 与x 的关系。
例2、解答下列题目
（1）（甘肃省中考题）已知直线
与y 轴交于点A，那么点A 的坐标是（ ）。
（A）（0，–3） （B）
（C）
（D）（0，3）
（2）(杭州市中考题)已知正比例函数
，当x=–3 时，y=6．那么该正比例函数应为
（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）（福州市中考题）一次函数y=x+1 的图象，不经过的象限是（ ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析与答案：
(1) 直线与y 轴交点坐标，特点是横坐标是0，纵坐标可代入函数关系求得。
(2) 求解析式的关键是确定系数k
3) 由一次函数y=kx+b 的图象性质，有以下结论：
4)
例3、（辽宁省中考题）某单位急需用车；但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一
国营出租车公司其中的一家签订月租车合同。设汽车每月行驶x 千米，应付给个体车主的月费
用是y1 元，应付给出租车公司的月费用是y2 元，y1、y2
分别与x 之间的函数关系图象（两条射线）如图，观察
图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公
司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费
用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 千
米，那么这个单位租哪家的车合算？
分析：因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数，一个是一次函数的特殊形式正比例
函数，两条直线交点的横坐标为1500，表明当x=1500 时，两条直线的函数值y 相等，并且根
据图像可以知道x>1500 时，y2 在y1 上方；0<x<1500 时，y2 在y1 下方。利用图象，三个问题很容
易解答。
例4、（河北省中考题）某工厂有甲、乙两条生产线先后投产。在乙生产线投产以前，甲
生产线已生产了200 吨成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20 吨和
30 吨成品。
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，各自总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用
时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）在如图所示的直角坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象；观察图象，
分别指出第15 天和第25 天结束时，哪条生产线的总产量高？
分析：（1）根据给出的条件先列出y 与x 的函数式，
=20x+200，
＝30x，当
=
时，求出x。
（2）在给出的直角坐标系中画出两个函数的图象，根据点的坐标可以看出第15 天
和25 天结束时，甲、乙两条生产线的总产量的高低。
例5．直线y=kx+b 与直线y=5-4x 平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y 轴上，求此直
线解析式。
说明：一次函数y=kx+b 图象的位置由系数k、b 来决定：由k 来定方向，由b 来定点，
即函数图象平行于直线y=kx，经过(0，b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y 轴
交点定b。
例6．直线与x 轴交于点A（-4，0），与y 轴交于点B，若点B 到x 轴的距离为2，求直
线的解析式。
说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解
析式必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y 轴交于B 点，则点B（0，yB）；
（3）点B 到x 轴距离为2，则|yB|=2；
（4）点B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=yB；
（5）已知直线与y 轴交点的纵坐标yB，可设y=kx+yB；
下面只需待定k 即可。
三、提高与思考
例1．已知一次函数y1=(n-2)x+n 的图象与y 轴交点的纵坐标为-1，判断y2=(3-
)xn+2 是
什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n 的方程，
此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。
例2．已知一次函数的图象，交x 轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B
在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解
析式。
说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定
系数的结构式， 注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点B 的坐标。这个转化实质含有两步：
一是利用面积公式
AO·BD=6 （过点B 作BD⊥AO 于D）计算出线段长BD=2，再利
用|yB|=BD 及点B 在第三象限计算出yB=-2。
若去掉第三象限的条件，想一想点B 的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有
两种可能，点B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=
(x+3)。
反比例函数的图象及性质 课件ID 号（241038）
本周教学目标：
1.理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
(k 为常数，
)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.
2.能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函
数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数
(k 为常数，
)的函数关系和
性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.
4.对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际
问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数
形结合的思想方法.
本周教学重点、难点：
1.重点：
反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.
2.难点：
反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.
一、经典内容解析
1.反比例函数的概念
(1)
(k≠0)可以写成
(k≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关
自变量指数问题时应特别注意系数k≠0 这一限制条件；
(2)
(k≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，
从而得到反比例函数的解析式；
(3) 反比例函数
的自变量x≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.
2.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数
的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，故x 应从1
和-1 开始对称取点.
3.反比例函数的性质(与正比例函数对比)
函数解析式
正比例函数 y=kx (k≠0)
反比例函数
(k≠0)
自变量的 取值范围 全体实数
x≠0
图 象
直线，经过原点
双曲线，与坐标轴没有交点
图象位置 (性 质)
当k＞0 时，图象经过一、三象限； 当
k＜0 时，图象经过二、四象限.
当k＞0 时，图象的两支分别位于一、三
象限； 当k＜0 时，图象的两支分别位
于二、四象限.
性 质
(1) 当k＞0 时，y 随x 的增大而增大；
当k＜0 时，y 随x 的增大而减小. (2)
(1) 当k＞0 时，在每个象限内y 随x
的增大而减小； 当k＜0 时，在每个象
越大，图象越靠近y 轴.
限内y 随x 的增大而增大. (2)
越大，
图象的弯曲度越小，曲线越平直.
注：
(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能
一概而论.
(2) 正比例函数
与反比例函数
，
当
时，两图象没有交点；
当
时，两图象必有两个交点，
且这两个交点关于原点成中心对称.
(3) 反比例函数与一次函数的联系.
4.反比例函数
中比例系数k 的几何意义
(1)过双曲线
(k≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为
.
(2)过双曲线
(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面
积为
必听课程
栏目 视听课堂 名称： 反比例函数及其图象 课件ID（23652） 主讲教
师：赵鸿雁
二、典型例题分析
1.反比例函数的增减性问题
1．在反比例函数
图象上有两点A(
，
)，B(
)，当
时，
有
，则m 的取值范围是( ).
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜0.5 D．
分析：注意到
，可知A，B 两点并不在同一象限内，因此不能轻易根据性质下
结论，可以借助反比例函数图象去确定1-2m 的取值范围，经过画图可以发现，符合题意的图
象只能在第一、三象限，所以
，
2.反比例函数与图象的面积问题.
(1)求函数解析式
1．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF
的面积为3.求这个反函数的解析式.
分析：利用反比例函数
的特点及矩形PEOF 的面积为3，求k
的值.
(2)求图形面积的问题
2.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B 两点，分
别以A、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为(1，2)，求图中两个阴影
面积的和.
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解.
3)求特殊点组成图形的面积
3．如图，反比例函数y=
与一次函数y=-x+2 的图象相交于A、B
两点.
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)求△AOB 的面积.
分析：将△AOB 的面积转化为△AOD 与△BOD 面积和求解.
3.反比例函数和一次函数的综合
1．函数y=
与 y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
分析：这类问题，可以从题中的反比例函数图象着手，逆用反比例函数的性质，确定m
的值，再将m 的值代入一次函数y=mx-m(m≠0)中，去验证一次函数的图象是否正确.经历假
设→验证→发现矛盾→推翻假设的过程，达到“牵一发而动全身”的目的.
2．如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b 的图象与
反比例函数
的图象的两个交点.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值
范围.
3．直线y=k1x+b 与双曲线y=
只有—个交点A(1，2)，且与x
轴、y 轴分别交于B，C 两点，AD 垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.
4．如图，已知直线
与双曲线
交于A、B 两点，且点A 的横坐标
为4。
(1)求k 的值；
(2)若双曲线
上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；
注： 学生必做 成果测评 经典例题 举一反三 【变式题】
勾股定理 课件ID 号（242818）
一、目标认知
学习目标：
掌握勾股定理及其逆定理.能够比较熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边
长，求出第三条边长，会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.勾股定理是
平面几何中的一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三边之间的数量关系.在理论和实
际中应用很广泛.
重点：
理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．
难点：
理解勾股定理的推导．
二、知识要点梳理
知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形中两直
角边的平方和等于斜边的平方．
知识点二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b，c，满足a2+b2=c2．那么这个三角形是直角三角形．
知识点三：原命题与逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.
如果其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
三、规律方法指导
1.掌握直角三角形的性质.
如图，直角ΔABC 的性质
(1)勾股定理:∠C=90°，则有 c2=a2+b2
(2)∠C=90°，则有∠A+∠B=90°，
(3)∠C=90°，则有c＞a， c＞b.
2.注意事项:
(1)注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系.
(2)理解勾股定理的一些变式
c2=a2+b2， a2=c2-b2，b2=c2-a2 c2=(a+b)2-2ab， 2ab=(a+b+c)(a+b-c)
(3)在理解的基础上熟悉下列勾股数.
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显
然，以x，y，z 为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a，b，c)是勾股数，当t＞0 时，以at，bt，ct 为三角形的三边长，此三角形必为
直角三角形.
必听课程
栏目 视听课堂 名称：勾股定理及其逆定理 课件ID 号（17038） 主讲教师：傅佑珊
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法或构造应用
1．在Rt△ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，
(2)已知a=40，b=9，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.
总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决.如：不规则图
形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积
转化为三角形面积之和或差.
类型二：勾股定理的实际应用
2．如图，已知：
，
，
于P.
求证：
.
思路点拨： 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP 为边的直角三角形. 因此，我们考
虑构造一个以BP 为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4 个直角三角形.
那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.
类型三：逆命题与勾股定理逆定理
3．写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系.
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆定理做准备.
注： 学生必做 成果测评 经典例题 举一反三 【变式题】
平行四边形 课件ID 号（30595）
一、内容提要。
本节的主要内容包含平行四边形的特征和识别两部分。平行四边形是学生已经熟悉的平面
图形。教材中使用方格纸描画平行四边形，一方面可以使图形画得更为确切，为本节操作作些
准备；另一方面为以后的“图形与坐标”知识内容的学习作些铺垫。如在方格纸上已知了平行四
边形三个顶点的位置，大家应能根据平行四边形的概念，确定第四个顶点的位置。
二、学习要求。
1、通过操作与探索，发现平行四边形最主要的特征，即为中心对称图形，从而认识平行
四边形的边、角及对角线之间的位置关系及数量关系，找到识别平行四边形的主要方
法。这些
平行四边形的特征与性质以及识别方法都要求掌握。
2、要充分利用平面图形的旋转变换，认识平行四边形的中心对称，理解其边、角及对角
线之间的关系。平行线之间的距离处处相等可以利用平行四边形的特征与性质加以说
明。
3、应利用图形的平移与旋转和简单的推理理解平行四边形的一些识别方法。
根据条件画出图形，猜测它的形状，再通过简单的推理，运用平移、旋转、中心对称
等变换的特征与性质加以说明。在通常的识别方法中，有的是通过旋转和推理得到，
有的是通过例题的形式引入，有的由于涉及图形的全等而没有说明理由，可以直接使
用。
4、本章的一些例题，其说明过程的书写格式与前两册不同，有一定的规范，加强这方面
的训练，大家应逐渐适应，养成这样的习惯，说清道理。本章的知识内容仍然主要采
取直观感知、操作确认的方式，同时适当加强简单的推理。
必听课程
栏目 视听课堂 名称： 平行四边形的性质和判定 课件ID（12708） 主讲教师：傅佑珊
例题分析：
例1、如图，在□ABCD 的对角线AC 上，取点E、F 且AE=CF，判断出四边形BEDF 是
怎样的四边形呢?并说出原因。
[点拨]本题是考察平行四边形识别的问题，一定要熟练掌握各种特殊四边形的识别方法，
并要遵循从特殊到一般的原则，即应首先考虑到平行四边形。本题识别的方法很多，可以从边、
角、对角线等不同的方面入手。
例2、在上题中，相等的线段共有多少对？相等的角呢？
[点拨]由于图中有两个平行四边形，可以直接由平行四边形的特征得到如下的一些相等的
线段和相等的角：
例3、如图，在□ABCD 中，已知E、F 分别是BC、DA 的中点，那么AE 和CF 相等吗？
试说明理由。
[点拨]说明线段相等的方法很多，而平行四边形的一些特征是得到线段相等的很重要的方
法。所以本题应首先说明四边形AECF 是平行四边形。
例4、如图，在□ABCD 中，M、N 分别是AD、BC 的中点，连结AN、BM 交点P，连结
CM、DN 交点Q，则图中与△APM 面积相等的三角形有几个？请一一列出，并说明理由。
[点拨]连结MN，可证四边形ABNM 是平行四边形。可证AN 与BM 互相平分。可得△
ABP 与△APM 的面积相等，同理可证△BPN、△MQD、△CQD、△CNQ 都与△APM 面积相
等。
特殊的平行四边形 课件ID 号（246429）
一、目标认知
学习目标：
（1）掌握平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的概念、性质、判定定理。
（2）掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别，能应用这些知识去分析
和解决问题。
（3）会利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和有关公式去计算它们的面积。
重点：
矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的应用
难点：
（1）平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的内在联系。
（2）能应用这些知识去分析和解决问题。
二、知识要点梳理
知识点一：矩形的定义
要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
知识点二：矩形的性质
要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质：
1.矩形的四个角都是直角；
2.矩形的对角线相等；
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法
要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.有三个角是直角的四边形是矩形；
3.对角线相等的平行四边形是矩形；
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义
要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点五：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对
称轴。
知识点六：菱形的判定办法
要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义
要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质
要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法
要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
三、规律方法指导
归纳整理，形成认知体系
1． 复习概念，理清关系
2．集合表示，突出关系
3．性质判定，列表归纳
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相
等
对边平行，四边相等
角
对角相等
四个角都是直角 对角相等
四个角都是直角
对角
线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且
每条对角线平分一
组对角
互相垂直平分且相等,
每条对角线平分一组
对角
判定
·两组对边分别平行；
·两组对边分别相等；
·一组对边平行且相等;
·两组对角分别相等；
·两条对角线互相平分.
·有三个角是直
角;
·是平行四边形
且有一个角
是直角;
·是平行四边形
且两条对角
·四边相等的四
边形；
·是平行四边形
且有一组邻边
相等；
·是平行四边形
且两条对角线
·是矩形，且有一组邻
边相等；
·是菱形，且有一个角
是直角。
线相等.
互相垂直。
对称性 只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S= ah
S=ab
S=
S= a2
必听课程
栏目 视听课堂 名称： 特殊的平行四边形 课件ID（12471） 主讲教师：傅佑珊
经典例题透析
类型一：平行四边形及特殊的平行四边形的判定
1、如图1，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，点E、F 分别在CD、AB 的延
长线上，且AE=AD，CF=CB。
（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形。
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过
程；若不成立，请说明理由。
思路点拨：熟悉平行四边形的判定方法，根据具体题目选用最为简洁的定理进行证明
总结升华：平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
类型二：菱形
1、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线，DE//BC 交AB 于E，DF//AB 交BC 于
F.试判断四边形BFDE 的形状并说明理由.
思路点拨：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.
类型三：添加辅助线构造特殊图形
1、证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。
（2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。
思路点拨：分析：本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条
线段是另两条线段的和经常使用的是“截长补短”的方法。
注： 学生必做 成果测评
梯形的有关性质 课件ID 号（21211）
梯 形
一、四边形的分类：
我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，
因此我们要了解四边形的分类。
二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点
研究等腰梯形的性质和判定。
1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
4.等腰梯形的性质：
（1）由定义知两腰相等，两底平行；
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等；
（4）等腰梯形是轴对称图形。
5.等腰梯形的判定：
（1）用定义判定；
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线：
1.延长两腰交于一点
作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰
作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角
形问题。
3.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，
BE 等于上、下底的和
（2）S 梯形ABCD=S△DBE
5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的
延长线。
作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S 梯形ABCD=S△ABF。
6.添加梯形中位线
作用：能应用梯形中位线的有关性质。
必听课程
栏目 视听课堂 名称： 梯形 课件ID（12328） 主讲教师：王春华
数据的代表 课件ID 号（250635）
一、知识要点梳理：
知识点一：平均数
要点诠释：用一组数据的和除以这组数据的个数，所得的结果叫这组数据的平均数。
计算平均数的方法有三种：
（1）定义法：
就是n 个数据x1，x2，x3……xn的平均数。
（2）新数法：当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公
式
，其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数
（3）加权法：即当x1 出现f1 次，当x2 出现f2 次……当xn 出现fn 次，且f1+f2+…fn=n,则
可根据公式:
求出
知识点二：中位数
要点诠释：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的
平均数称为这组数据的中位数。
知识点三：众数
要点诠释：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
知识点四：反映数据集中趋势的特征数
要点诠释：如果要分析一组数据的平均水平，可以采用平均数来解决；如果一组数据中
个别数据与其它数据差异较大时，应考虑采用中位数来观察这组数据的集中趋势；如果一组数
据中有许多数据反复出现时，应考虑用众数来观察这组数据的集中趋势，其中平均数应用最广
泛。
知识点五：众数与中位数的关系
要点诠释：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每
一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太
低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，
个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
二、规律方法指导
“数据的分析”主要研究如何收集、整理、计算、分析数据，既定性又定量地获取总体信
息，并在这个基础上进行科学的推断．本单元主要内容分为两大部分：反映数据集中趋势的平
均数、中位数、众数．基本要求是体会统计对决策的作用及在社会生活及科学领域中的应用．
通过学习达到了解平均数是衡量样本和总体的平均水平的特征数．通常用样本平均数去估
计总体平均数；了解众数与中位数也是描述一组数据集中趋势的特征数．
必听课程
栏目：视听课堂 名称：数据的代表 课件ID 号（164478） 主讲教师：梁威
经典例题透析：
1、某公司10 名销售员，去年完成的销售额情况如下表：
销售额（单位：万元）
3 4 5 6 7 8 10
销售员人数（单位：人）
1 3 2 1 1 1 1
（1）求销售额的平均数、众数、中位数；
（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据
（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元?
思路点拨： （1）小题平均数、众数、中位数的计算只要根据各自的概念就可得出．（2）
小题平均数易受极大值或极小值的影响，众数有时偏离平均值，而中位数一定处于中间，故应
选择中位数．为标准，多数人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成，所以5 万元标准
较合理．
总结升华：对平均数、众数、中位数的概念不清，容易算错；平均数、众数、中位数是
从不同角度描述一组数据的集中趋势，各有侧重，应根据问题的具体情况，恰当地使用平均数、
众数、中位数．
举一反三：
【变式1】某次歌唱比赛，最后三名选手的成绩统计如下：
测试项目
测试成绩
王晓丽
李真
林飞扬
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
80
90
100
（1）若按算术平均分排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军各是谁?
（2）若按6∶3∶1 的加权平均分排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军各是谁?
（3）若最后排名冠军是王晓丽，亚军是李真，季军是林飞扬，则权重可能是多少?
注： 学生必做 成果测评
极差、方差与标准差 课件ID 号（26603）
一、本节知识导学
本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时
也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的
差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏
感的指标,构造方差前请同学们注意以下几个方面：
1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。
2．为什么要“平方”。
3．为什么“求平均数”比“求和”更好。
同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。
对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，
应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。
对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算
又可以将他们联系在一起。
必听课程
栏目：视听课堂 名称：统计初步 课件ID 号（35093） 主讲教师：史方圆
二、例题
1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差
分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。
本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。
2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。
分析：要求方差，必须先求平均数。
3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，
100，70，90，85，100
分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差
4．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下
分数
50
60
70
80
90
100
甲班（人）
2
5
10
13
14
6
乙班（人）
4
4
16
2
12
12
已经算出两班的平均数都是80 分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。
分析：这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握
的统计知识：平均数、众数、中位数、方差、标准差、极差等方面进行分析。
