七年级数学（上）知识点
人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的
内容。
第一章
有理数
引：温度有零上温度，有零下温度。方向有东方有西方。利润有增加有减少。例如此类问题需要规定数的
方向来表达实际问题中的意义，那么把原点定为0，0 的两侧数字分为正负数。
一.正数：大于0 的数，例1，2，3。
负数：正数前面加上负号“—”例：—1，—2，—3。
0 既不是正数也不是负数。
二．有理数
1.有理数：凡能写成
)
0
p
q
,
p
(
p
q
为整数且
形式的数（即可写成两个整数的比的数），都是有理数。正整
数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
注意：与小学知识区别，初中开始将有限小数与无限循环小数包括在分数中，因为有限小数与无限循环小
数可以转化成分数（注：无限循环小数有转化成分数的公式，比较复杂）。所以说有限小数和无限循环小数
也是分数。因此，有理数最后可以归纳为：整数和分数【分数形式的分数，有限小数，无限循环小数】统
称为有理数。而无限不循环小数是无理数。
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。用数轴上的点来表示数。原点表示数0，0
的右侧（或上）为正数，左侧（或下）为负数。规定从原点向右（或上）为正方向。整个数轴从左往右方
向数字依次增大。
数轴的三要素：原点，正方向，单位长度（每1 个单位的线段长度）。
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，例如2 与—2，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 a+b=0 a、b 互为相反数。
4.绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫数a 的绝对值。表示|a|，用因为距离一定是非负数，所
以|a|≧0。
(1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上
表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：
)
0
a(
a
)
0
a(
0
)
0
a(
a
a
或
)
0
a(
a
)
0
a(
a
a
；绝对值的问题经常分类讨论；
5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0 大，负数永远比0 小；（3）正
数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的
数大；（6）大数–小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0。
6.互为倒数：乘积为1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a≠0，那么a 的倒数是a
1
；若ab=1 a、
b 互为倒数；若ab=-1 a、b 互为负倒数。
7. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0 相加，仍得这个数。
符号规律：正负号，两个符号遇到一起时，前面的是加减法运算符号，后面的是正负数符号。最后只取一
个符号。如果有“+”号，可省略“+”号。如果都是“—”号，最后取一个“+”号。即：“++”取“+”“+
—”取“—”“——”变“+”
“—”的含义：①减法运算②负数③取后边数字的相反数
8．有理数加法的运算律（适用于所有数）：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
9．有理数减法法则（适用于所有数）：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。
计算当中，减法按此规律算，加减号两个遇到一起时先取一个，然后确定结果是正数还是负数，大数—小
数=正数 ， 小数—大数=(取负号，再用大数减去小数)。
10 有理数乘法法则（适用于所有数）：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数
的个数为偶数个结果为正数，负因数的个数为奇数个结果为负。
11 有理数乘法的运算律（适用于所有数）：
（1）乘法的交换律：ab=ba；
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac ；
12.倒数：乘积为1 的两个数互为倒数。即ab=1 a、b 互为倒数。
13．有理数除法法则（适用于所有数的除法）：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，
无意义
即0
a
,0 除以任何一个不等于0 的数还等于0。
注：无论加减乘除运算，都要先确定结果的符号是正还是负。.
14．有理数的乘方
乘方的定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。a·a···a（n 个a 相乘）=
n
a
,其中a 叫作底数，n
叫作指数，
n
a
叫作幂，读作a 的n 次幂。
有理数乘方的法则：（适用于所有数）
（1）正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是0。任何非0 数的0 次幂都得1。
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:
n
n
a
a
或
n
n
a
b
b
a
, 当n 为正偶数时:
n
n
a
a
或
15.乘方的运算法则：
n
m
n
m
a
a
a
•
mn
n
m
a
a
m
m
m
b
a
ab
n
m
n
m
a
a
a
m
a
=
m
a
1
数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右进行，有括号的先去括号，顺序为小
扩号，中扩号，大括号。
16．科学记数法：把一个大于10 的数记成
n
a 10
的形式，其中
10
1
a
（便于非常大或非常小的数
字书写）。
1
10
10
，
2
10
100
,
3
10
1000
(1 后边有几个0，就是10 的几次方)。
1
1
10
10
1
1.0
2
2
10
10
1
01
.0
（小数点后有几位就是10 的负几次方）
例如：
8
10
67
.5
100000000
67
.5
567000000
(表示方法：将567000000 缩小到1 到10 之间
的数字是5.67，那么从最后一个0 的前边开始点小数点，点到5.67 需要点8 个小数点，也就是567000000
缩小了
8
10 倍，那么要将5.67 扩大
8
10 倍才是567000000)
8
10
67
.5
00000001
.0
67
.5
0000000567
.0
（表示方法：将0.0000000567 扩大到1 到10
之间的数字是5.67，那么小数点需要向后移动8 位，扩大了
8
10 ，那么5.67 就需要缩回
8
10 倍，即乘以
8
10）。
17.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到那一位。
例如：
3
精确到个位
1.3
精确到0.1 或叫精确到十分位
14
.3
精确到0.01 或叫精确到百分位
3140（0 位于个位，4 位于十位，1 位于百位，3 位于千位）
18.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到末位数字止，所有数字，都叫这个数的有效数字。例如：
0.25 有两个有效数字。
8.1
804
.1
（保留2 个有效数字）
80
.1
804
.1
（保留3 个有效数字）。
本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、
绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题。
体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与
概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，
充分体现学生学习的主体性地位。
第二章 整式的加减
一．知识概念
生活中有时会用字母来表示一个未知数，我们就需要研究含有字母的式子以及关于它的运算。
1.代数式：由数和表示数的经有限次加、减、乘、除、和开方等所得的式子，或含有字母的数学表达式称
为代数式。例如：ax+2b，－2/3，b^2/26，√a+√2 等。
注意： 1、不包括等于号“=”、（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、≈。
2、可以有绝对值。例如：|x|，|-2.25| 等。
2．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类
代数式叫单项式。单个的数字，单个的字母或者数字与字母的乘积都是单项式。（分母中含有字母的不是单
项式，m
1
不是单项式，是分式）。
3．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；通常数
字与字母的乘积，数字写在字母前面。系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
4．多项式：几个单项式的和叫多项式。
5．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项
式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
6.整式：单项式和多项式统称为整式。
7.单项式与多项式的区分：只要整式中有加减运算就是多项式。
二．整式的加减
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（长得一模一样，只是个数可以不同，萝卜就
是萝卜，土豆就是土豆，几个萝卜几个土豆的问题）。
2.合并同类项：多项式中的同类项可以进行合并。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数
的和，且字母部分不变（其实际就是把几个萝卜，几个土豆分别加起来的问题）。
注：运算中，只有同类项才能进行合并，非同类项不能合并。人和人的数目可以合并，人和石头非同类，
数目合并不到一起。
3.合并同类项去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果
括号外的因数是负数，去括号后原括号内的符号与原来的符号相反。（其实际不用这么麻烦，计算中按照乘
法分配律去括号，分别乘以各项，符号由之前学习的有理数运算中符号的确定规律即可）。
4.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。（数的运
算律全部适用与整式运算，加法交换律，结合律。乘法的交换律，结合律，分配律）。
通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：
1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。
2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并
和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。
3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是
分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
4．能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。
在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，初步培养学
生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
第三章 一元一次方程
一． 知识框架
二．知识概念
等式：含有等号的式子。方程：含有未知数的等式。方程：包括整式方程和分式方程。
1．一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整
式方程是一元一次方程。
2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且a≠0）。
三．等式的性质：既然方程是等式，那么等式的性质适用于方程。
性质1 如果a=b,那么a±c=b±c【等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍然相等】
性质2 如果a=b,那么ac=bc 如果a=b(c≠0),那么
c
b
c
a
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。
四．解一元一次方程（利用等式的性质推导）
1.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值。
2.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（移项要变号，一边加，移到另一边变减，一边减，移到另
一边加，一边乘，移到另一边除，一边除，移到另一边乘）
3．方程合并同类项分成有括号和无括号的情况，有括号时一定要先去括号再合并同类项。
4.一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类
项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.（把未知数移到一边，数字移动到另一边。步骤的顺序一定
不能反，必须先合并同类项后，系数再化为1）
五．列一元一次方程解应用题： （思想就是找出等式关系列出表达式，然后解方程即可）
（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，
配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入
代数式，得到方程.
（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部
分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量
之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
六．列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题： 距离=速度·时间
时间
距离
速度
速度
距离
时间
；
（2）工程问题： 工作量=工效·工时
工时
工作量
工效
工效
工作量
工时
；
（3）比率问题： 部分=全体·比率
全体
部分
比率
比率
部分
全体
；
（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题： 售价=定价·折· 10
1
，利润=售价-成本，
%
100
成本
成本
售价
利润率
；
（6）周长、面积、体积问题：
r
C
2
圆
，
2
r
S
圆
，
)
2
C
b
a
（
长方形
，
ab
S
长方形
，
a
C
4
正方形
。
2
S
a
正方形
，
）
（
环形
2
2 -
R
S
r
，
abc
长方体
V
，
3
V
a
正方体
，
h
2
R
V
圆柱
，
h
V
2
R
3
1
圆锥
。
本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易
激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让
学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。
第四章 图形的认识初步
一．知识框架
1.立体图形：各部分都不在同一平面内的几何图形。
2.平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形。
3.展开图：将由平面图形围成的立体图形的表面适当剪开成的平面图形。
4.点﹑,线﹑面﹑体的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
二．直线﹑,射线﹑线段
1.
两点确定一条直线（经过两点有一条直线，并且只有一条直线）。
2.
表示方法：用一个小写字母表示，或者用直线上的两个大写字母表示。
直线ｌ或直线AB.
3.
一个点在一条直线上可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点。
点O 在直线ｌ上（直线ｌ经过点O）
点P 在直线ｌ外（直线ｌ不经过点P）
4.相交：当两条直线有一个公共点时。这个公共点叫做它们的交点。
5.射线：
6.线段：
7.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图。
8.线段的中点：把线段分成两条相等的线段的点。
9.两点的所有连线中，线段最短。（两点之间，线段最短）
10.两点的距离：连接两点间的线段的长度。
11.角：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。表示方法：
12.度﹑分﹑秒：把一个周角360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，每一份叫做
1 分的角，记作1′；把1 分的角60 等分，每一份叫做1 秒的角，记作1″。
13.角的比较与运算：①量角器量出角的度数比较
②把一条边叠合在一起，观察另一条边的位置比较。
14.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。类似，还有角的三等分线。
15.余角：两个角的和等于90°，这两个角互余，其中每一个角是另一个角的余角。
补角：两个角的和等于180°，这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
16.补角的性质：同角（等角）的补角相等；
余角的性质：同角（等角）的余角相等；
17.画方位图：(上北下南，左西右东)
本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上
升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.
在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角. 本章书涉及的数学思想：
1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形
的各种可能性。
2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。
3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应
用，如立体图形与平面图形的互相转化。
4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式
2
)1
(
n
n
的具体运用上来。
七年级数学（下）知识点
人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式
与不等式组和数据的收集、整理与描述六章内容。
第五章 相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
4.垂直：两直线a,b 相交，当夹角为90°时两直线垂直。记作：a⊥b。
5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。它们的交点叫做垂足。
6.垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
7.同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截出现这几个角，这两条直线位置关系随意，不
用必须平行都有同位角、内错角、同旁内角）：
同位角：∠1 与∠5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
（在两条直线的同一
方同一侧）
内错角：∠2 与∠6 像这样的一对角叫做内错角。（在两条直线之间，位于第三条直线的
两侧）
同旁内角：∠2 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。（在两条直线之间，位于第三条直
线的同一侧）
8.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。记作：a//b。
9.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
10.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
11.平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
12.命题：判断一件事情的语句叫命题，由题设和结论两部分构成。（分为真命题与假命题）
定理：经过推理证实的真命题。
证明：推理命题正确性的过程。
13.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
14.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对
应点。图形平移之后，对应点的连线互相平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成
的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形
平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移
和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质
探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
第六章 实数
1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即
a
x
2
，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记
作
a 。0 的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0 时,a 才有算术平方根。
2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a，即
a
x
2
，那么数x 就叫做a 的平方根或二次方根（记
作±
a ）。例如：3 和-3 是9 的平方根，其中3 是算术平方根。
3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.开平方：求一个数a 的平方根的运算。如果
a
x
2
，x=±
a 。
5 立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根。或三次方根。
a
x
3
，那么x 叫做a 的立方根，x=
3 a 。正数的立方根是正数；0 的立方根是0；负数的立方根是负数。
注：初中数学中将小数划分在了分数范畴内。自然数：非负整数（0，1，2….）。
6.数a 的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0.
实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的
大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算
法则及运算律。
第七章 平面直角坐标系
一．知识框架
二．知识概念
1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）。可以准确地表示出一个位置。
2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x 轴或横轴（向右为正方向）；竖直的数轴称为y 轴或纵轴（向上为
正方向）；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在x 轴，y 轴上，对应的数a,b 分
别叫点P 的横坐标和纵坐标，记作P（a,b）。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象
限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6.用坐标表示平移：平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）
(或（x-a,y）);将点（x,y）向上（或下）平移b 个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）(或（x,y-b）)。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，
平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有
着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新
能力和应用意识。
第八章 二元一次方程组
一．知识结构图
二、知识概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式
是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求
得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能
消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。当未知数前面系数没
有相同和相反时，要考虑哪个未知数前面的系数相对容易变成它们的最小公倍数化成系数相同或相反，先
化成系数相同或相反，再用加减消元消去这个系数。
8.解二元一次方程组：当二元一次方程组中未知数的系数是分数和小数的形式时，要考虑先将分数乘以最
小公倍数化成整数系数，将小数扩大成整数系数，然后按照加减消元或代入消元法去解决。
9.实际问题与二元一次方程组：根据题意找出未知量，列出等式关系，然后按照解二元一次方程组的思想
求解答案即可。
10.三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共含有三
个方程。
11.
本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解
和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法. 重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方
程组解决实际问题. 难点:二元一次方程组解决实际问题
第九章 不等式与不等式组
一．知识框架
二、知识概念
1.用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥””≠”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.解不等式：求不等式解集的过程。
5.不等式性质
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a>b,那么a±c>b±c。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc（或
c
b
c
a
）。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c<0,那么ac<bc（或
c
b
c
a
）。
6.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样
的不等式，叫做一元一次不等式。
7.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次
不等式组。
8.一元一次不等式组的解：大大取大，小小取小，比小的大比大的小取中间，比大的解还大，比小的解还
小是无解。（从图像上看不等式组的解是各不等式解的公共部分）。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不
等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创
新精神和应用数学的意识。
第十章 数据的收集、整理与描述
一．知识框架
二．知识概念
1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3.总体：要考察的全体对象称为总体。
4.简单随机抽样调查：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到的方法。
5.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
6.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
7.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
8.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
9.频率：频数与数据总数的比为频率。
10.数据的描述方式：直方图，折线图，扇形图（饼形图），条形图。
⑴直方图和条形图都是用来描述频数的。区别在于直方图各个长方形是紧密挨着的，而条形图不是紧挨着。
它们都用来描述频数。
⑵组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两
个端点的差叫做组距。
组数=
组距
最小值
最大值-
（3）折线图：能够显示数据的变化趋势。
（4）扇形图（饼形图）：能够显示出频率。
本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和
生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
八年级数学（上）知识点
人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解和分式五个章节的
内容。在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的
集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十一章 三角形
一．知识框架
二．知识概念
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。用 表示，例如
ABC。
三角形的分类：
2.构成三角形的判断（三边的关系）：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
例如：三边3，3，7 3+3=6<7，所以构不成三角形。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。（每个三角
形可以画出三条高，锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高的交点在两条直角边的交点处，
钝角三角形的高交于三角形外部一点）
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。(三角形的三条中线交于一
点叫作重心)。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角
形的角平分线。（三角形的三条角平分线交于三角形内一点叫作内心）。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。（如果一个多边形全部
被划分成的图形是三角形，那么这个多边形是具有稳定性的）。
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的正多边形把平面的一部分无缝隙完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或
平面镶嵌）。
13.公式与性质
三角形的内角和：三角形的内角和为180°；直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角
三角形。
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°
多边形的外角和：多边形的外角和为360°（恒定值，海枯石烂永不变）。
多边形对角线的条数：
（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有
2
3)
-
n(n
条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探
索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
第十二章 全等三角形
一．知识框架
二．知识概念
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的形状、大小、都一样，其中一
个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。（同一个三角形中等角对等边，等边对等
角；不同三角形中，只有两三角形全等后，才可等角对等边，等边对等角）。
4.三角形全等的判定公理及推论有：
（1）“边边边”简称“SSS”
（2）“边角边”简称“SAS”
（3）“角边角”简称“ASA”
（4）“角角边”简称“AAS”
（5）直角三角形中，斜边和直角边相等两直角三角形全等（HL）。
5.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。（可以利用此性质做辅助线）
推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等
所隐含的边角关系）；
②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；
③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
第十三章 轴对称
一．知识框架
二．知识概念
1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形；这条直线叫做对称轴。轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
2.两个图形关于直线对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫对称点。
3.垂直平分线：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线。
4.轴对称性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
5.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（可以利用此性质做
辅助线）
推论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.画轴对称图形：利用轴对称的性质画图。找出决定图形形状的关键点，关于对称轴做出关键点的对称点，
将对称点之间参照原图连线即可确定对称图形状。
7.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
8.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）。
9.等边三角形的特点：三边相等，三个内角相等，都等于60°，
10.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
有两个角是60°的三角形是等边三角形。
11.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
12．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学
美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。
第十四章 整式的乘法与因式分解
1.同底数幂的乘法法则:
n
m
n
m
a
a
a
2.. 幂的乘方法则：
mn
n
m
a
a
)
(
).
(
),
(
)
(,
为奇数时
当
为偶数时
当
一般地
n
a
n
a
a
n
n
n
3.积的乘方法则：（ab）n =a n b n
4. 整式的乘法
（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律[a（b+c）=ab+ac],把它转化为单
项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
5．平方差公式:
2
2
)
)(
(
b
a
b
a
b
a
6．完全平方公式:
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
7. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
n
m
n
m
a
a
a
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0 不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0 的数的0 次幂等于1,即
)
0
(1
0
a
a
,如
1
100
。
③任何不等于0 的数的–p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即
p
p
a
a
1
( a≠0,p 是正整
数), 而0
1
是无意义的;当a>0 时，a
p
的值一定是正的; 当a<0 时, a
p
的值可能是正也可能是负的,如
4
1
(-2) 2
-
,
8
1
)
2
(
3
④运算要注意运算顺序. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面
是负号，括到括号里的各项都改变符号。
8．整式的除法
单项式除以单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式；
多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
9. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
因式分解的一般方法：⑴ 提公因式法⑵运用公式法⑶十字相乘法
因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;（平方差公式或完全平方公式）
(3)最后看一下是否能用十字相乘法。
(4)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(5)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(6)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
因式分解的思路：观察式子，式子含有两项时考虑提公因式法和平方差法；式子含有三项时，考虑完全平
方公式法和十字相乘法；式子含有多项时，用分组分解法。
十字相乘法讲析：
例如：x 2 +5x+6=(x+3)(x+2)
首先看常数6 为正数，同号相乘为正，可以将6 分成两个同号的因数同正（2 和3 或1 和6）或同负（－2
和－3 或－1 和－6），再看一次项前的系数为正5，说明两个因数为同正，2+3=5 恰为一次项的系数，因此
分成2 和3。
x 2 －5x+6=(x-3)(x-2)
首先看常数6 为正数，同号相乘为正，可以将6 分成两个同号的因数同正（2 和3 或1 和6）或同负（－2
和－3 或－1 和－6），再看一次项前的系数为负5，说明两个因数为同负，－2+（－3）=－5 恰为一次项的
系数－5，因此分成－2 和－3。
x 2 +x－6=(x+3)(x-2)
首先看常数－6 为负数，异号相乘为负，可以将－6 分成两个异号的因数一正一负（6 可分出2 和3 或1 和
6），分成2 和3，较大数前面的符号与一次项系数符号相同，3 为正，则2 为负数，3－2=1（正好是一次项
前面系数）。
x 2 －x－6=(x+3)(x-2)
首先看常数－6 为负数，异号相乘为负，可以将－6 分成两个异号的因数一正一负（6 可分出2 和3 或1 和
6），分成2 和3，较大数前面的符号与一次项系数符号相同，3 为负，则2 为正数，－3+2=－1（正好是一
次项前面系数）。
注：当多项式中二次项系数非正1 时，先提取二次项系数到括号外，将括号内二次项系数变成正1，再按
以上规律因式分解。或者将二次项前面的系数也进行分解，交叉相乘来确定。
整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表面看来零碎的概念和性质也较多，但实际上是密不可
分的整体。在学习本章内容时，应多准备些小组合作与交流活动，培养学生推理能力、计算能力。在做题
中体验数学法则、公式的简洁美、和谐美，提高做题效率。
第十五章 分式
一．知识框架
二．知识概念
1.分式：形如B
A
，A、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0 的整式叫做分式(fraction)。其中A 叫做分
式的分子，B 叫做分式的分母。例如：
v
30
60
。
2.分式有意义的条件：分母不等于0。
分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0 的整式，分式的值不变。用式子表示
为：
C
B
C
A
B
A
•
•
C
B
C
A
B
A
（A,B,C 为整式，且C≠0）。
3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1 的数）约去，这种变形称为约分。
4.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简
分式。
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
6.最简公分母：通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母。
7.分式的四则运算：
⑴.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：
c
b
a
c
b
c
a
⑵.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法
则进行计算.用字母表示为：
bd
bc
ad
d
c
b
a
⑶.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表
示为：
bd
ac
d
c
b
a
•
⑷.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：
bc
ad
d
c
b
a
（除以
一个分式等于乘以这个分式的倒数）
8.整数指数幂运算性质：
⑴
n
m
n
m
a
a
a
•
⑵（a m ）
mn
n
a
⑶（ab）
a
n
n
nb
⑷a
n
m
n
m
a
a
⑸(
n
n
n
b
a
b
a
)
(
9.的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
②按解整式方程的步骤求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根,因为把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未
知数的取值范围,可能产生增根). 增根：使得分式方程通分时最简公分母为0 的未知数的值。
分式和分数有着许多相似点。教师在讲授本章内容时，可以对比分数的特点及性质，让学生自主学习。
重点在于分式方程解实际应用问题。
八年级数学（下）知识点
人教版八年级下册主要包括二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析五章内容。
第十六章 二次根式
一．知识框架
二．知识概念
1.二次根式：一般地，形如
a （a≥0）的代数式叫做二次根式。“
”称为二次根号。当a＞0 时，a
表示a 的算数平方根,其中
0 =0
2.代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子。
3. 理解并掌握下列结论：
（1）
是非负数； （2）
； （3）
；
4.二次根式的乘除：
⑴二次根式的乘法法则：
a •
b =
ab （
)
0
,0
b
a
⑵二次根式的除法法则：
)
0
,0
(
b
a
b
a
b
a
5.最简二次根式：
⑴被开方数不含分母；（含有分母时要进行分母有理化，分子与分母同时乘以分母，分母可开方出来）
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
⑶分母中不含有二次根式。
注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化成为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。分母中含
有二次根式时要进行分母有理化，分子分母同时乘以分母。
6.二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的
二次根式进行合并。类似于同类项的加减法，可以将被开方数相同的二次根式看成同类项，然后系数进行
加减。
第十七章 勾股定理
一.知识框架
二.知识概念
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
2.定理：经过证明的真命题叫做定理。
3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它
的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解
决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
A
C
B
D
第十八章 平行四边形
一．知识框架
二．知识概念
1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用
表示。平行四边形ABCD 记
作 ABCD。
2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
3.平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
4.平行四边形的判定 ①.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
②.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
8.矩形的性质： ① 矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线平分且相等。AC=BD
9.矩形判定定理： ○1 .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
○2 .对角线相等的平行四边形是矩形。
○3 .有三个角是直角的四边形是矩形。
9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
10.菱形的性质：①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
11.菱形的判定定理：○1 .一组邻边相等的平行四边形是菱形。
○
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
○
3.四条边相等的四边形是菱形。
12.S 菱形=
b
a
2
1
（a、b 为两条对角线）
13.正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角。一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
3
2
1
0
0
0
.
0
k
b
b
b
3
2
1
0
0
0
.
0
k
b
b
b
14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
15.正方形判定定理： ①.邻边相等的矩形是正方形。
②.有一个角是直角的菱形是正方形。
16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形。
18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
21.S
梯形= 2
1
（上底+下底）h。
本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的
发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知
识的把握。
第十九章 一次函数
一.知识框架
二．知识概念
1.一次函数：若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变
量,y 为因变量)。特别地,当b=0 时,称y 是x 的正比例函数。
2.正比例函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0 时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x
的增大而增大，当k<0 时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，在一次函数y=kx+b 中:当
k>0 时，y 随x 的增大而增大; 当k<0 时,y 随x 的增大而减小。
4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法。
(1)
(2)
(3)
(1)
(3)
(2)
5.一次函数与一元一次方程的关系：当一次函数值y=0 时，就变成了一元一次方程。
一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。在学习本章内容时，教师
应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体会数
形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的
实用价值和乐趣。
第二十章 数据的分析
一．知识框架
二．知识概念
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。 权(一般为数据出现的次数或数据所占百分比)的理解:反映了某
个数据在整个数据中的重要程度。
加权平均数=
n
n
n
w
w
w
w
w
x
w
x
w
x
...
...
3
2
1
2
2
1
1
（w1,w2,w3…wn 分别为x1,x2,x3….xn 的权）
2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
4. 极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
5.方差（S2）:方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。（方差越小越好，数据
稳定）
其中，x 表示的平均数，n 表示样本的数量，xi 表示个体，而
2s
就表示方差。
本章内容要求学生在经历数据的收集、整理、分析过程中发展学生的统计意识和数据处理的方法与能
力。在教学过程中，以生活实例为主，让学生体会到数据在生活中的重要性。
九年级数学（上）知识点
人教版九年级数学上册主要包括了一元二次方程、二次函数、旋转、圆和概率五个章节的内容。
第二十一章 一元二次方程
一.知识框架
二.知识概念
1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的
方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都能化成如下形式ax2+bx+c=0
（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次
项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3.一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。
三．一元二次方程的解法（中心思想为降次解一元二次方程）
1.直接开方法：
形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
2.配方法：将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；配方二次项和一次项，将二次项降一次变成x 拿
到括号里，根据一次项前面的符号确定加或者减去一次项前面系数的一半，扩号再平方。减去一次项系数
一半的平方，一元二次方程中原有的常数项直接按计算步骤往下写不变化，将各常数项进行合并后移到等
号另一边，按直接开平方法就可以解决了。
a
ac
b
b
x
a
ac
b
a
b
x
a
ac
b
a
b
x
a
c
a
b
a
b
x
a
c
a
b
a
b
x
a
c
x
a
b
x
c
bx
ax
2
4
2
4
2
4
4
)
2
(
)
2
(
)
2
(
0
)
2
(
)
2
(
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3.公式法（推导过程与配方法一样）
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c 而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0 时，将a、b、c 代入式子
a
ac
b
b
x
2
4
2
就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解
一元二次方程的方法叫公式法。
一元二次方程的解有三种情况：无解，二个相同解，两个不同解。用根的判别式来判断
根的判别式△=
ac
b
4
2
，当△﹤0 时，无解；当△=0 时，有两个相同解；当△﹥0 时，有两个不同解；
4.因式分解法：首先将一元二次方程二次项前面的系数化成1。然后根据方程的特点确定用因式分解法中的
哪一种方法。因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法。
四．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
a
b
x
x
2
1
a
c
x
x
2
1
推论：
a
c
a
b
x
x
x
x
x
x
2
)
(
2
)
(
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
第二十二章 二次函数
一．知识框架
二．.知识概念
1.二次函数：一般地，自变量x 和y 之间存在如下关系：一般式：y=
c
bx
ax
2
(a≠0，a、b、c 为常数)，
则称y 为x 的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式
一般式 y=
c
bx
ax
2
(a≠0)
顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
a
b
ac
a
b
x
a
y
4
4
)
2
(
2
2
交点式
1
2
(
)(
)
y
a x
x
x
x
3.二次函数图像与性质
对称轴：
2
b
x
a
顶点坐标：
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
与y 轴交点坐标（0，c）
4.增减性：当a>0 时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大
当a<0 时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小
y
x
O
5.二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○
1 开口方向 ○2 对称轴 ○3 顶点 ○4 与x 轴交点 ○5 与y 轴交点
6.图像平移步骤
（1）配方
2
(
)
y
a x
h
k
，确定顶点（h,k）
（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减
7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴
1
2
2
x
x
x
8.根据图像判断a,b,c 的符号
（1）a ——开口方向（a﹥0 开口向上，a﹤0 开口向下）；
（2）b ——对称轴的位置（b 与a 同号位于y 轴左侧，异号位于右侧）；
（3）图象与y 轴的交点纵坐标的值就是c 的值；
（4）当给定一个关于a,b,c 的等式或不等式，要结合图象所标注的点坐标，代入图中已知的横坐标或纵坐
标解决问题。
9.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0 时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
2
4
b
ac
>0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；
2
4
b
ac
=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；
2
4
b
ac
<0 时，一元二次方程无实根，二次函数图像与x 轴没有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的
综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的
思想和独立思考问题的能力。
第二十三章 旋转
一.知识框架
二．知识概念
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个
定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后的点互为对应点。（图形的旋转是图形上的每一点在
平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、
对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这个点对称或中心对称。这个点叫对称中心（简称中心）旋转前后重合的对应点叫做关于对称中心的对称
点。
3．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心
对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成
中心对称。
4.错误!未指定书签。中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
5.点的坐标与轴对称及旋转的关系
已知一点A(m,n)
⑴关于x 轴对称的点坐标横坐标不变，纵坐标变成相反数。A′(m,-n)；
⑵关于y 轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标变成相反数A′(-m,n)；
⑶关于原点对称的点坐标为横纵坐标都变成相反数。A′(-m,-n)；
⑷旋转90°后点的坐标为：先把横纵坐标都变成正数互换位置，然后根据题意确定是顺时针旋转90°还是
逆时针旋转90°，确定旋转方向后在直角坐标系中将旋转后点落于的象限位置找出，然后确定此象限横纵
坐标的正负性，将正负号添加上即可。如果题中没有明确规定顺逆时针旋转，那么两种情况都要讨论，旋
转后得到两个点坐标；
例如：B（-2，3）位于第二象限，先将横纵坐标都变成正数位置互换为（3，2），B 点顺时针旋转90°后落
于第一象限，横纵坐标都是正数，所以顺时针旋转后点坐标为B′（3，2）；B 点逆时针旋转90°后落于第
三象限，横纵坐标都是负数，因此旋转后坐标为B′（-3，-2）；
本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，
培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
第二十四章 圆
一．知识框架
二．知识概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为，定长称为。
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
②不在同一条直线上的三点确定一个圆。
2.和：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。连接圆上任意
两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做。
3.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫作半圆；
4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；
5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；
6.和：顶点在圆心的角叫做圆心角。顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角；
7.和：过三角形的三个顶点的圆叫做的，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三
角形的，其圆心称为内心。
8.：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
9.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为的。
10.点和圆的位置关系：以点P 与⊙o 为例（设P 是一点，则d 是点到圆心的距离），
⑴P 在⊙O 外，d＞r；
⑵P 在⊙O 上，d＝r；P
⑶p 在⊙O 内，d＜r。
11.直线与圆有3 种位置关系：
⑴无公共点为相离；
⑵有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；
⑶圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
圆心到直线的距离d
d﹥r 时相离；当d=r 时，相切；当d﹤r 时，相交；
12.两圆之间有5 种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫。
两圆圆心之间的距离叫做。两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离d＞R+r；外切d=R+r；
相交R-r＜d＜R+r；内切d=R-r；内含d＜R-r。
13.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
总结：五条件，知二推三（前提已知一个圆和圆上的一条弦）
①过圆心
②垂直弦
③平分弦（不是直径）
④平分弦对优弧
⑤平分弦对劣弧
14.有关定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，圆心角，弦分别对应相等。
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角，圆周角，以及优劣弧分别对应相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
圆的内接四边形对角互补；
如果一个四边形对角互补，那么这个四边形有内接圆；
15.切线的判定方法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
16.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
推论：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
17.切线长：从圆外一点引圆的切线，这一点与切点之间线段的长。
18.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线
的夹角。
19.正多边形和圆
中心：正多边形外接圆的圆心；
半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；
中心角：正多边形每一边所对的圆心角；
边心距：中心到正多边形的一边的距离；
20.计算公式(n 代表扇形圆心角的度数)
①圆的周长C=2πr=πd
②圆的面积S=π
2
r
③扇形弧长
180
r
n
l
④扇形面积S=
lR
r
n
2
1
360
2
⑤.圆锥侧面积S= rl
( r --圆锥底面圆的半径，l ---圆锥的母线长即展开侧面扇形的半径
)
注：解决圆锥的问题，将立体图形展开成平面扇形解决。题目连接点在列一个等式方程，圆锥底面圆的周
长展开后就是扇形的弧长，等式关系
180
2
R
n
r
C
（r---圆锥底面圆的半径，R---扇形的半径也是圆
锥的母线长），圆锥侧面展开后是一个扇形，求圆锥侧面积就是求展开后扇形的面积。
圆锥底面圆周长
180
2
R
n
r
C
在
2
2
r
R
h
AOC
中
圆锥侧面积=展开后扇形面积S=
lR
r
n
2
1
360
2
（l --- 扇形弧长）
圆锥侧面积= Rr
（R---圆锥的母线长，r---圆锥底面圆的半径）
第二十五章 概率
一．知识框架
1.必然事件：必然发生的事件；
2.不可能事件：有些事件必然不会发生；
3．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
4.概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A 发生的概率，记
为P（A）。
5.概率与频率的区别：概率是说一件事情的发生可能性，是一个宏观概念的确定值，通过对随机试验做大
量重复试验事件发生的频率总在一个固定数附近摆动，用频率估计概率；频率是单次试验获得的比值，来
表示这一次试验中事件的可能性。
6.
n
m
A
P
)
(
（一次试验中，n 种可能的结果，且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m 种结果）
0≦
n
m
A
P
)
(
≦1
当A 为必然事件时，
1
)
(
A
P
当A 为不可能事件时，
0
)
(
A
P
7.树状图求概率：先列出试验中第一个步骤可能出现的所有结果，然后把第二个步骤可能出现的结果分别
都列于第一步骤所有可能结果之下，如果有第三步以此类推。计算出所有可能结果数目，然后找出满足要
求的结果数目，用满足要求的结果数目除以总结果数目就是要求的事件概率。（与高中的分步实验求概率是
一个问题，其实是把每个步骤的概率相乘）
本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计
算概率。
九年级数学（下）知识点
人教版九年级数学下册主要包括了反比例函数、相似、锐角三角函数、投影与视图四个章节的内容。
第二十六章 反比例函数
一.知识框架
二．知识概念
1.反比例函数：形如y＝x
k
（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k ，
1
kx
y
，
x
k
y
1
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对
称轴：直线y=x 和 y=-x。对称中心是：原点。
3.性质:当k＞0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；
当k＜0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。
4.k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。在做题时，
培养和养成数形结合的思想。
第二十七章 相似
一．知识框架
二.知识概念：
1.⑴相似图形：形状相同的图形。
⑵相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相
似多边形。
⑶相似比：相似多边形对应边的比。
⑷相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相
似三角形 。
2.平行线分线段成比例：①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3.错误!未指定书签。相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
○1 .平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
○2 两角分别相等的两个三角形相似；
○
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
○
4.三边成比例的两个三角形相似；
4.直角三角形相似判定定理:
○1 .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也
相似。
5.错误!未指定书签。相似三角形的性质:
○1 .相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比
等于相似比。
○
2.相似三角形周长的比等于相似比。
○3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。
6.位似：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。这点叫做位似中心。（位似图形其实就是
把一个多边形进行放大或缩小之后，然后进行了平行移动后得到的两个图形位似）
7.位似图形点的坐标计算：两个图形位似，位似比为k，那么原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点
的坐标为（kx,ky）或（–kx, –ky）。
本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问
题的能力。
第二十八章 锐角三角函数
一．知识框架
二．知识概念
1.Rt△ABC 中
(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A的对边
斜边
(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA＝ ∠A的邻边
斜边
(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA＝ ∠A的对边
∠A的邻边
(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota＝ ∠A的邻边
∠A的对边
2.特殊值的三角函数：
a
sina
cosa
tana
cota
30°
1
2
3
2
3
3
3
45°
2
2
2
2
1
1
60°
3
2
1
2
3
3
3
3.三角函数之间的关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，反之，一个角的余弦值，等于它的余角
的正弦值；一个角的正切值，等于它的余角的余切值，反之，一个角的余切值，等于它的余角的正切值。
)
90
cos(
sin
)
90
sin(
cos
)
90
cot(
tan
)
90
tan(
cot
cos
sin
tan
sin
cos
cot
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的
比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些
实际问题。
第二十九章 投影与视图
一．知识框架
二．知识概念
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面﹑墙壁等）上得到的影子。
2.平行投影：由平行光线形成的投影。
3.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。
4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。
三．三视图
1.视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形。
2.主视图：对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图。
3.俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。
4.左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5.画三视图时，三个视图都要放在正确的位置，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高
平齐，左视图与俯视图的宽相等。
6.画图规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。
本章内容要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；会画事物的三视
图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
