平行线中的几何模型
第一篇
1
篇一 平行线中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 “猪蹄模型”
若a
b
∥，则
2
1
3
证明：
如图所示，过点O 作
/ /
ON
a ，则
1
MON
/ /
a
b ，
/ /
ON
a
/ /
ON
b
3
NOQ
2
MON
NOQ
2
1
3
模型二 “铅笔模型”
若a
b
∥，则
1
2
3
360
证明：
如图所示，过点O 作
/ /
ON
a ，则
+ 1=180
MON
/ /
a
b ，
/ /
ON
a
/ /
ON
b
+ 3=180
NOQ
2
MON
NOQ
1
2+ 3=360
模型三 “靴子模型”
若a
b
∥，则
1
2
3
证明：
如图所示，过点O 作
/ /
ON
a ，则
+ 1=180
MON
/ /
a
b ，
/ /
ON
a
/ /
ON
b
+ 3=180
NOQ
+ 2
NOQ
MON
+ 2+ 3=180
MON
1
2+ 3
模型四 “尖尖角模型”
若a
b
∥，则
3
1
2
证明：
如图所示，过点O 作
/ /
ON
a ，则
+ 1=180
MON
/ /
a
b ，
/ /
ON
a
/ /
ON
b
+ 3=180
NOQ
=
+ 2
MON
NOQ
+ 2+ 1=180
NOQ
3
1+ 2
篇一 平行线中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
【总结】平行线辅助线作法——过拐点作平行.
模型五 “左右角模型”
若a
b
∥，则
1
2
1
1
2
1
n
n
n
B
B
B
B
M
A
A
A
N
=
证明：
如图所示，分别过点
1
2
1
n
A
A
A
、
作直线a 的平行线1
2
1
n
l
l
l
、
，且1
2
1
n
l
l
l
、
将
1
2
1
n
A
A
A
、
分别分为
1
1
2
2
1
1
n
n
、
，
、
，
、
由题意可知：
1
2
1
/ /
/ /
/ /
/ /
n
a
l
l
l
b
1
/ /
a
l ，
1
1
B
M
（猪蹄模型的结论）
1
2
/ /
l
l ，
2
1
2
B
……
1 / /
nl
b
，
1
n
n
B
N
上述等式左右两边分别加和可得：
1
2
1
1
2
1
n
n
n
B
B
B
B
M
A
A
A
N
=
模型六 “橡皮擦模型”
若a
b
∥，则
1
2
1
180
n
M
A
A
A
N
n
证明：
如图所示，分别过点
1
2
1
n
A
A
A
、
作直线a 的平行线1
2
1
n
l
l
l
、
，且1
2
1
n
l
l
l
、
将
1
2
1
n
A
A
A
、
分别分为
1
1
2
2
1
1
n
n
、
，
、
，
、
由题意可知：
1
2
1
/ /
/ /
/ /
/ /
n
a
l
l
l
b
1
/ /
a
l ，
1=180
M
1
2
/ /
l
l ，
1
2 =180
……
1 / /
nl
b
，
1
=180
n
N
上述等式左右两边分别加和可得：
1
2
1
180
n
M
A
A
A
N
n
第二篇
三角形中的几何模型
2
篇二 三角形中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 “8 字”模型
结论：
A
B
C
D
①
AD
BC
AB
CD
②
证明：
①
∠BOD 是△ABO 和三角形△COD 的外角
BOD
A
B
C
D
=
A
B
C
D
②
在△ABO 中，OA+OB>AB
在△COD 中，OC+OD>CD
OA+OB +OC+OD>AB+CD
即AD+BC>AB+CD
模型二 飞镖模型
结论：
D
A
B
C
①
AB
AC
BD
CD
②
证明：如图，延长BD 交AC 于点E
①根据三角形的外角性质：
∠BEC＝∠A+∠B，
∠BDC＝∠BEC+∠C，
∠BDC=∠A+∠B+∠C
②根据三角形两边之和大于第三边：
AB
AE
BD
DE
，DE
EC
CD
AB
AE
DE
EC
BD
DE
CD
AB
AC
BD
CD
篇二 三角形中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
模型三 “角平分线+飞镖”模型
内内飞镖
BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的
角平分线，则：
1
90
2
P
A
证明：
根据飞镖模型的结论可知：
P
A
ABP
ACP
BP
CP
、
分别是
ABC
和
ACB
的角平分线
1
=
(
)
2
1 (180
)
2
ABP
ACP
ABC
ACB
A
1
90
2
P
A
内外飞镖
BP 是∠ABC 的角平分线，CP 是
∠ACB 的外角平分线，则：
1
2
P
A
证明：
由外角定理得：
∠PCD＝∠P+∠PBC，
∠ACD＝∠A+∠ABC，
BP 平分
ABC
, CP 平分
ACD
1
2
PBC
ABC
,
1
2
PCD
ACD
1
1
(
)
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
外外飞镖
BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的
外角平分线，则：
1
90
2
P
A
证明：
由外角定理得：
∠DBC＝∠A+∠ACB，
∠BCE＝∠A+∠ABC，
180
DBC
BCE
A
BP 平分
DBC
, CP 平分
BCE
1
2
PBC
DBC
,
1
2
PCB
BCE
1
90
2
PBC
PCB
A
1
90
2
P
A
P
C
B
A
第三篇
全等三角形中的几何模型
3
篇三 全等三角形中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 手拉手模型
模型特点：共顶点+等线段+顶角相等
条件：AB
AC
，AD
AE
，BAC
DAE
结论：ABD
ACE
≌
证明：
BAC
DAE
BAD
CAE
在ABD
和ACE
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
(SAS)
ABD
ACE
≌
常见应用图形
等边三角形
图①
图②
图③
条件：ABC
和ADE
是等边三角形
结论：①ABD
ACE
≌
②
60
BOC
BAC
DAE
③连接AO，AO 平分
BOE
证明：
如图①所示：
ABC
和ADE
是等边三角形
,
,
60
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
BAD
CAE
在ABD
和ACE
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
(SAS)
ABD
ACE
≌
如图②所示：
ABD
ACE
≌
ABD
ACE
在ABH
和COH
中
180
ABD
BAC
BHA
180
BOC
CHO
ACE
BHA
CHO
60
BOC
BAC
如图③，过点A 作AM
BD
，AN
CE
ABD
ACE
≌
,
ABD
ACE
BD
CE S
S
=
1
1
,
2
2
ABD
ACE
S
BD
AM S
CE
AN
=
AM
AN
，
AO 平分
BOE
篇三 全等三角形中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
等边三角形
图①
图②
条件：ABC
和ADE
是等边三角形，
且B、A、E 三线共线
结论：①ABD
ACE
≌
②
60
BOC
BAC
DAE
③连接AO，AO 平分
BOE
④
/ /
MN
AB ( AMN
是等边三角形)
⑤OB
OA
OC
(或OE
OA
OD
)
证明：
结论①②③的证法同上.
如图①，连接MN
ABD
ACE
≌
ADB
AEC
ABC
和ADE
是等边三角形
60
AD
AE
BAC
DAE
，
B、A、E 三点共线
180
60
DAC
BAC
DAE
在DAM
和EAN
中
DAC
DAE
AD
AE
ADB
AEC
(ASA)
ADM
AEN
≌
AM
AN
AMN
是等边三角形，
60
NMA
BAC
/ /
MN
AB
如图②所示，在OB 上取OP
OC
，连
接CP
60 ,
BOC
OP
OC
OPC
是等边三角形
60 ,
OCP
CP
CO
BCP
ACO
在BCP
和ACO
中
BC
AC
BCP
ACO
CP
CO
(SAS)
BCP
ACO
≌
BP
OA
OB
OP
BP
OC
OA
同理可证：OE
OA
OD
篇三 全等三角形中的几何模型
3
勤能补拙 熟能生巧
常见应用图形
等腰直角三角形
条件：ABC
和ADE
是等腰直角三角形
结论：①ABD
ACE
≌
②BD
CE
且BD
CE
③连接AO，AO 平分
COD
证明：
证法同等边三角形.
正方形
条件：正方形ABCD 和正方形AEFG
结论：①ADE
ABG
≌
②BG
DE
且BG
DE
③连接AO，AO 平分
BOE
证明：
证法同等边三角形.
顶角相等的等腰三角形
条件：ABC
和ADE
是等腰三角形
且
BAC
DAE
结论：①ABD
ACE
≌
②
BOC
③连接AO，AO 平分
BOE
证明：
证法同等边三角形.
篇三 全等三角形中的几何模型
4
持之以恒 水滴石穿
模型二 半角模型
模型特点：共顶点+等线段+顶角含半角
条件：AB
AC
，
1
2
DAE
BAC
问题：探究BD、DE 、CE 三条线段
间的大小关系
辅助线作法：旋转凑等角
常见应用图形
60°含30°
条件：ABC
是等边三角形，
D、E 是边BC 上两点，且
30
DAE
结论：BD
CE
DE
证明：
如图所示，将ABD
绕点A 逆时针旋
转60得到ACF
，连接EF
ABC
是等边三角形，
30
DAE
30
BAD
CAE
ACF
ABD
≌
,
,
FA
DA CF
BD
FAC
BAD
30
FAE
DAE
在DAE
和FAE
中
AD
AF
DAE
FAE
AE
AE
(SAS)
DAE
FAE
≌
EF
DE
在CEF
中,CF
CE
EF
BD
CE
DE
120°含60°
条件：AB
AC
，
120
BAC
，
D、E 是边BC 上两点，且
60
DAE
结论：BD
CE
DE
证明：
证法同上.
篇三 全等三角形中的几何模型
5
勤能补拙 熟能生巧
90°含45°
条件：等腰Rt ABC
中，
90
BAC
，
D、E 是边BC 上两点，且
45
DAE
结论：BD
CE
DE
证明：
证法同上.
篇三 全等三角形中的几何模型
6
持之以恒 水滴石穿
常见应用图形
90°含45°
条件： E、F 是正方形ABCD 的边BC、CD
上的点，且
45
EAF
结论：①EF
BE
DF
②CEF
的周长等于正方形边长的2
倍
③若AH
EF
,则AH
AB
④
AEF
ABE
ADF
S
S
S
证明：
如图所示，延长EB 至点M，使
BM=DF，连接AM
四边形ABCD 是正方形
AB=AD，∠D=∠ABC=90°
∠ABM=90°
BM=DF
ABM
ADF
≌
(SAS)
AM
AF
,
BAM
DAF
AM
AF
90
45
BAD
EAF
，
45
BAE
DAF
45
BAE
BAM
,即
45
MAE
MAE
FAE
≌
(SAS)
2
CEF
EF
EM
BE
DF
C
CE
EF
CF
CE
BE
DF
CF
BC
CD
BC
,
AEM
AEF
S
S
ME
EF
AB
AH
又
ABM
DAF
S
S
AEF
ABE
ADF
S
S
S
90°含45°
条件： E、F 是正方形ABCD 的边CB、DC
延长线上的点，且
45
EAF
结论：①EF
DF
BE
②CEF
的周长等于DF 的2 倍
③若AH
EF
,则AH
AB
④
AEF
ADF
ABE
S
S
S
证明：
证法同上.
篇三 全等三角形中的几何模型
7
勤能补拙 熟能生巧
模型三 一线三垂直模型
条件：AB
BD
, DE
BD
, AC
CE
且AC
CE
结论：①ABC
CDE
≌
②AB
DE
BD
证明：
∵AB
BD
, DE
BD
90
B
D
,
90
A
ACB
∵AC
CE
,
90
ACE
90
DCE
ACB
DCE
A
AC
CE
(AAS)
ABC
CDE
≌
,
AB
CD BC
DE
AB
DE
BD
条件：AB
BD
, DE
BD
, AC
BE
且AC
BE
结论：①ABC
BDE
≌
②AB
DE
CD
证明：
证法同上.
条件：AB
BE
, DE
BD
, AC
BD
且AB
BE
结论：①ABC
BED
≌
②AC
DE
CD
证明：
证法同上.
篇三 全等三角形中的几何模型
8
持之以恒 水滴石穿
模型延伸 一线三等角
条件：
A
DCE
B
, AC
BE
结论：①ACD
BEC
≌
;②
AD
BE
AB
证明：
A
,
180
D
ACD
DCE
,
180
ACD
BCE
BCE
D
A
B
, AC
BE
(AAS)
ACD
BEC
≌
AD
BC
AB
AC
BC
AD
BE
条件：
ABC
E
AFD
,
AC
BD
结论：①ABC
BED
≌
;
②AB
DE
CE
证明：
证法同上.
条件：
ABE
ACD
EDF
,
AB
BE
结论：①ABC
BED
≌
;②
AC
DE
CD
证明：
证法同上.
篇三 全等三角形中的几何模型
9
勤能补拙 熟能生巧
模型四 婆氏模型
条件：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，
连接BE、CD，AH
BE
,延长HA
交CD 于点M
结论： ①CM=DM
②
1
= 2
AM
BE
③
=
ABE
ACD
S
S
证明：
如图所示，过点C、D 作直线HM 的垂
线，分别交于点P、Q
易证ADQ
EAH
≌
，ACP
BAH
≌
（一线三垂直模型）
,
DQ
AH CP
AH
CP
DQ
(AAS)
CPM
DQM
≌
CM
DM
,
,
AQ
HE AP
BH MQ
MP
1 (
)
2
1
1
(
)
2
2
AM
AQ
MQ
EH
BH
AQ
BH
EH
BE
CPM
DQM
≌
，ADQ
EAH
≌
，
ACP
BAH
≌
ABE
ABH
AEH
ACP
ADQ
ACM
ADM
ACD
S
S
S
S
S
S
S
S
条件：已知正方形ABCD 和AEFG，连接
BG、DE M 是DE 中点，延长MA 交
BG 于点H
结论： ①AH
BG
；
②
1
= 2
AM
BG ；
③
=
ABG
ADE
S
S
证明：
如图所示，延长AM 至点N，使得
MN=AM，则DMN
EMA
≌
,
DN
AE
AG
N
MAE
/ /
DN
AE
180
ADN
DAE
BAG
AD
AB
(SAS)
ADN
BAG
≌
BAG
ADN
ADM
AME
ADE
S
S
S
S
S
=
BG=AN，AN=2AM，
1
2
AM
BG
90
DAN
BAH
DAN
ABH
，
=
90
ABH
BAH
，
90
AHB
，即AH
BG
注：垂直推中点（构造一线三垂直）；中点推垂直（倍长中线）
模型条件弱化
篇三 全等三角形中的几何模型
10
持之以恒 水滴石穿
特点：共顶点+等线段+顶角互补
条件：已知AB=AC，AD=AE，连接BG、
DE，
180
BAC
DAE
，M 是
DE 中点
结论： ①
1
= 2
AM
BD ；②
=
ABD
ACE
S
S
证明：
证法同上.
第四篇
全等三角形中的经典辅助线
4
篇四 全等三角形中的经典辅助线
1
勤能补拙 熟能生巧
倍长中线
遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造“8 字形”全等三角形．
条件：△ABC 中，点D 是BC 的中点
方法：延长AD 到E，使DE=AD
结论：①△ABD≌△ECD；②AB//CE
证明：
点D 是BC 边上的中点
BD=CD
DE=AD，且∠EDC=∠ADB
△ABD≌△ECD（SAS）
∠ABD=∠ECD
AB//CE
条件：△ABC 中，点D 是BC 的中点，
E 是AC 边上任意一点
方法：延长ED 到F，使DF=DE
结论：①△BDF≌△CDE；②BF//CE
证明：
证法同上.
条件：如图，1
2
/ /
l
l ，点D 是BC 的中点
方法：延长AD 交2l 于点E
结论：△ABD≌△ECD
证明：
点D 是BC 的中点
BD=CD
1
2
/ /
l
l
ABD
ECD
ADB
EDC
△ABD≌△ECD(ASA)
篇四 全等三角形中的经典辅助线
2
持之以恒 水滴石穿
截长补短
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，
适合于证明线段的和、差、倍、分等关系的题目．若题目条件或求证结论中含有
“ a
b
c
”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.
角平分线辅助线作法
作
双
垂
条件：已知1
2
，CD
OA
方法：作CE
OB
于E
结论：OCD
OCE
≌
证明：
在OCD
和OCE
中
1
2
CDO
CEO
OC
OC
(AAS)
OCD
OCE
≌
取
等
长
线
条件：已知1
2
，D 是OA 上一点
方法：在OB 上取OE
OD
，连接CE
结论：OCD
OCE
≌
证明：
在OCD
和OCE
中
1
2
OD
OE
OC
OC
(SAS)
OCD
OCE
≌
垂
穿
条件：已知1
2
，DC
OC
方法：延长DC 交OB 于点E
结论：OCD
OCE
≌
证明：
在OCD
和OCE
中
1
2
OC
OC
OCD
OCE
(ASA)
OCD
OCE
≌
平
行
出
等
腰
条件：
1
2
，
/ /
CD
OB 交OA 于D
结论：ODC
为等腰三角形（OD
CD
）
证明：
/ /
CD
OB
2
3
1
2
1
3
ODC
为等腰三角形且OD
CD
3
2
1
O
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
2
1
第五篇
轴对称中的经典构造
5
篇五 轴对称中的经典构造
1
勤能补拙 熟能生巧
类型一 线段和最小
问题描述：如图，在l 上找一点P ，使
PA
PB
最小
作图：
原理说明：两点之间，线段最短
问题描述：如图，在l 上找一点P ，
使PA
PB
最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，点P 在锐角
AOB
的内部，在OA 边上求作一点
C ，在OB 边上求作一点D ，使
PCD
的周长最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，点C 、D 在锐角
AOB
的内部，在OA 边上求作一点
E ，在OB 边上求作一点F ，使四边
形CEFD 周长最小.
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
l
B
A
A
B
l
P
O
B
A
O
D
C
B
A
篇五 轴对称中的经典构造
2
持之以恒 水滴石穿
类型一 线段和最小
问题描述：如图，点P 在锐角
AOB
的内
部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求
作一点C ，使PD
CD
最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②垂线段最短
问题描述：如图，在一组平行线l 1、l 2 两
侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2 间找一条线
段MN，使MN ⊥l 1 并且使得
AM+MN+NB 之和最短．
作图：
原理说明：①平移的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，直线l 外有两点A 、B
有一定长线段a ，在直线上找到点M 、
N , MN 间的距离等于定长a ，使得四边形
AMNB 的周长最小
作图：
原理说明：①平移的性质；
②轴对称的性质；
③两点之间，线段最短
A
B
O
P
N
M
B
A
l2
l1
篇五 轴对称中的经典构造
3
勤能补拙 熟能生巧
类型二 线段差的最值
问题描述：如图，在l 上找一点P ，使
PA
PB
最大.
作图：
原理：三角形两边之差小于第三边
问题描述：如图，在l 上找一点P ，使
PA
PB
最大.
作图：
原理：①轴对称的性质
②三角形两边之差小于第三边
问题描述：如图，在l 上找一点P ，使
PA
PB
最小.
作图：
原理：①绝对值的非负性
②线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等
【总结】轴对称辅助线作法——作点关于线的对称点，连接另一点.
A
B
l
A
B
l
