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乘法公式（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘
法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
b
a, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的
变式有以下类型：
（1）位置变化：如(
)(
)
a
b
b
a
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(3
5 )(3
5 )
x
y
x
y
（3）指数变化：如
3
2
3
2
(
)(
)
m
n
m
n
（4）符号变化：如(
)(
)
a
b a
b
（5）增项变化：如(
)(
)
m
n
p m
n
p
（6）增因式变化：如
2
2
4
4
(
)(
)(
)(
)
a
b a
b a
b
a
b
要点二、完全平方公式
完全平方公式：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.以下是常见的变形：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
a
b
ab
2
2
4
a
b
a
b
ab
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确.
要点四、补充公式
2
(
)(
)
(
)
x
p x
q
x
p
q x
pq
；
2
2
3
3
(
)(
)
a
b a
ab
b
a
b
；
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
；
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写
出计算结果．
(1)
2
3
3
2
a
b
b
a
； (2)
2
3
2
3
a
b
a
b
；
(3)
2
3
2
3
a
b
a
b
； (4)
2
3
2
3
a
b
a
b
；
(5)
2
3
2
3
a
b
a
b
； (6)
2
3
2
3
a
b
a
b
．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2)
2
3
2
3
a
b
a
b
＝
2
3b
－
2
2a
＝
2
2
9
4
b
a
．
(3)
2
3
2
3
a
b
a
b
＝
2
2a
－
2
3b
＝
2
2
4
9
a
b
．
(4)
2
3
2
3
a
b
a
b
＝
2
2a
－
2
3b
＝
2
2
4
9
a
b
．
(5)
2
3
2
3
a
b
a
b
＝
2
3b
－
2
2a
＝
2
2
9
4
b
a
．
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数
的同类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1）
3
3
2
2
2
2
x
x
y
y
； （2）( 2
)( 2
)
x
x
；
（3）( 3
2 )(2
3 )
x
y
y
x
．
【答案】
解：（1）原式
2
2
2
2
3
9
2
2
4
4
x
x
y
y
．
（2）原式
2
2
2
( 2)
4
x
x
．
（3）原式
2
2
(3
2 )(2
3 )
(3
2 )(3
2 )
9
4
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝
2
2
60
0.1
＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝
2
2
100
2
＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可
利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样
可顺利地利用平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】（2015 春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232
124×122
﹣
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a
b
﹣）
【答案】
解：（1）1232
124×122
﹣
=1232﹣（123+1）（123
1
﹣）
=1232﹣（1232
1
﹣）
=1232
123
﹣
2+1
=1；
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a
b
﹣）
=（2a+b）（2a
b
﹣）（4a2+b2）
=（4a2
b
﹣2）（4a2+b2）
=（4a2）2﹣（b2）2
=16a4
b
﹣4．
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)
2
3a
b
； (2)
2
3
2a
； (3)
2
2
x
y
； (4)
2
2
3
x
y
．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方
公式.
【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
2
2
3
3
2 3
9
6
a
b
a
a b
b
a
ab
b
．
(2)
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2 2
3
3
4
12
9
a
a
a
a
a
a
．
(3)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
x
y
x
x
y
y
x
xy
y
．
(4)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2 2
3
3
4
12
9
x
y
x
y
x
x
y
y
x
xy
y
．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，
结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符
号为负．(2)注意
2
2
a
b
a
b
之间的转化．
4、（2015 春•吉安校级期中）图a 是由4 个长为m，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这
四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m、n 表示图b 中小正方形的边长为
．
（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m
n
﹣）2，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a
b
﹣）2的值．
【答案与解析】
解：（1）图b 中小正方形的边长为m
n
﹣．故答案为m
n
﹣；
（2）方法①：（m
n
﹣）（m
n
﹣）=（m
n
﹣）2；
方法②：（m+n）2
4mn
﹣
；
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m
n
﹣）2=（m+n）2
4mn
﹣
；
（4）由（3）得：（a
b
﹣）2=（a+b）2
4ab
﹣
，
a+b=7
∵
，ab=5，
∴（a
b
﹣）2=72
4×5
﹣
=49
20
﹣
=29．
【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数
式表示其他相关的量．
5、（2016 春•常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．
（1）求xy 的值；
（2）求x2+y2+4xy 的值．
【思路点拨】
（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y=3 代入，即可求出答案；
（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
【答案与解析】
解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，
∴xy+3×3+9=20，
∴xy=2；
（2）∵x+y=3，xy=2，
∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．
【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公
式是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知
2
(
)
7
a
b
，
2
(
)
4
a
b
，求
2
2
a
b
和ab 的值．
【答案】
解：由
2
(
)
7
a
b
，得
2
2
2
7
a
ab
b
； ①
由
2
(
)
4
a
b
，得
2
2
2
4
a
ab
b
． ②
①＋②得
2
2
2(
)
11
a
b
，∴
2
2
11
2
a
b
．
①－②得4
3
ab
，∴
3
4
ab
．
