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《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、
多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行
乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式
简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法
和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般
步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(
为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
(
为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
(
为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：
(
≠0,
为正整数，并且
).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：
即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：
(
，为正整数).任何不等于0 的数的－
次幂，等于这个数的
次幂的倒数.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双
向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
(
都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.即
.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质
符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
.
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同
项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：
；
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项
法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1 时“－”号、括号
里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．
举一反三：
【变式】（2016 春•耒阳市校级月考）82009×0.1252009=
．
【答案】1．
82009×0.1252009=（8×0.125）2009=12009=1.
类型二、整式的乘除法运算
2、解下列不等式．
（1）
（2）
【答案与解析】
解：（1）
，
，
．
（2）
，
．
【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解．
3、已知
，求
的值．
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到
的值即可代入求值．
【答案与解析】
解：由已知
，得
，
即
，
，
，
解得
，
，
．
所以
．
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到
的值.
举一反三：
【变式】（1）已知
，求
的值．
（2）已知
，
，求
的值．
（3）已知
，
，求
的值．
【答案】
解：（1）由题意，知
．∴
．
∴
，解得
．
（2）由已知
，得
，即
．由已知
，得
．
∴
，即
．∴
∴
．
（3）由已知
，得
．由已知
，得
．
∴
．
类型三、乘法公式
4、对任意整数
，整式
是否是10 的倍数？为什么？
【答案与解析】
解：∵
，
是10 的倍数，∴ 原式是10 的倍数．
【总结升华】要判断整式
是否是10 的倍数，应用平方差公式
化简后，看是否有因数10．
举一反三：
【变式】解下列方程(组)：
【答案】
解： 原方程组化简得
，解得
．
5、已知
，
，求： (1)
；(2)
【思路点拨】在公式
中能找到
的关系.
【答案与解析】
解：(1)
∵
，
，
∴
(2)
∵
，
，
∴
.
【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，
架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想
公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.
类型四、因式分解
6、（2015 春•岱岳区期末）已知x2
4y
﹣
2=20，x+2y=5，求x，y 的值．
【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式，进而得出x
2y=4
﹣
，再利用二元一次方程组的解
法得出x，y 的值．
【答案与解析】
解：∵ x2
4y
﹣
2=（x+2y）（x
2y
﹣
）=20，x+2y=5，
5
∴（x
2y
﹣
）=20，
x
2y=4
∴
﹣
，
∴
，
解得：
．
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式以及二元一次方程组的解法，正确分解因式是
解题关键．
举一反三：
【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例7】
【变式】分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案】
解：（1）原式
（2）原式＝
（3）原式＝
