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乘法公式（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘
法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
b
a, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的
变式有以下类型：
（1）位置变化：如(
)(
)
a
b
b
a
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(3
5 )(3
5 )
x
y
x
y
（3）指数变化：如
3
2
3
2
(
)(
)
m
n
m
n
（4）符号变化：如(
)(
)
a
b a
b
（5）增项变化：如(
)(
)
m
n
p m
n
p
（6）增因式变化：如
2
2
4
4
(
)(
)(
)(
)
a
b a
b a
b
a
b
要点二、完全平方公式
完全平方公式：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.以下是常见的变形：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
a
b
ab
2
2
4
a
b
a
b
ab
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确.
要点四、补充公式
2
(
)(
)
(
)
x
p x
q
x
p
q x
pq
；
2
2
3
3
(
)(
)
a
b a
ab
b
a
b
；
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
；
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)(
2
2
1
)(
4
2
1
)(
82
1
)(
16
2
1
)(
32
2
1
)＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1 与2－1，2
2
1
与
2
2
1
，4
2
1
与
4
2
1
等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)(
2
2
1
)(
4
2
1
)(
82
1
)(
16
2
1
)(
32
2
1
) ＋1
＝(
2
2
1
)(
2
2
1
)(
4
2
1
)(
82
1
)(
16
2
1
)(
32
2
1
)＋1
＝
64
2
－1＋1＝
64
2
．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后
去解决，会事半功倍，提高解题能力．
举一反三：
【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】
【变式1】计算：
(1)
2
(
3)(
9)(
3)
x
x
x
(2)(a ＋b )( a －b )(
2
2
a
b
)(
4
4
a
b
)
【答案】
解：(1)原式＝[( x ＋3)( x －3)](
2
9
x
)＝(
2
9
x
)(
2
9
x
)＝
4
81
x
．
(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )](
2
2
a
b
)(
4
4
a
b
)
＝[(
2
2
a
b
)(
2
2
a
b
)](
4
4
a
b
)
＝(
4
4
a
b
)(
4
4
a
b
)＝
8
8
a
b
．
【变式2】（2015•内江）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）=
；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=
；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=
．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=
（其中n 为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【答案】
解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式=an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
2、
（2016 春•户县期末）先化简，再求值．已知|m
1
﹣|+（n+
）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣
m2n）的值．
【思路点拨】 先根据非负数的性质，求出m，n 的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．
【答案与解析】
解：∵|m
1
﹣|+（n+
）2=0，
∴m
1=0
﹣
，n+
=0，
∴m=1，n=﹣
，
∴（﹣m2n+1）（﹣1
m
﹣
2n）
=m4n2
1
﹣
=
=1×
1
﹣
=
=﹣
．
【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形
式，才能使问题更加简单化．
举一反三：
【变式】解不等式组：(
3)(
3)
(
2)
1,
(2
5)( 2
5)
4 (1
).
x
x
x x
x
x
x
x
【答案】
解： (
3)(
3)
(
2)
1,
(2
5)( 2
5)
4 (1
).
x
x
x x
x
x
x
x
①
②
由①得
2
2
9
2
1
x
x
x
，2
10
x
，
5
x
．
由②得
2
2
2
5
(2 )
4
4
x
x
x
，
2
2
25
4
4
4
x
x
x
，
4
25
x
，
6.25
x
．
∴ 不等式组的解集为
6.25
x
．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1）
2
(
2
3)
a
b
；（2）(
2
3 )(
2
3 )
a
b
c a
b
c
．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将
2
3
a
b
化成
(2
3)
a
b
，看成a 与(2
3)
b
和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相
乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c
与2b
，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可
适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式
2
2
2
[
(2
3)]
2 (2
3)
(2
3)
a
b
a
a
b
b
2
2
4
6
4
12
9
a
ab
a
b
b
2
2
4
4
6
12
9
a
b
ab
a
b
．
（2）原式
2
2
2
2
2
[
(2
3 )][
(2
3 )]
(2
3 )
4
12
9
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
bc
c
．
【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.
举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
(1)
a
b
c
a
b
c
； (2)
2
1
1
2
x
y
y
x
；
(3)
2
x
y
z
； (4)
2
3
1 1
2
3
a
b
a
b
．
【答案】
解：(1)
a
b
c
a
b
c
＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]
＝
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
bc
c
＝
2
2
2
2
a
b
bc
c
．
(2)
2
1
1
2
x
y
y
x
＝[2 x ＋( y －1)][2 x －( y －1)]
＝
2
2
2
2
2
1
4
2
1
x
y
x
y
y
＝
2
2
4
2
1
x
y
y
．
(3)
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
x
y
x
y z
z
＝
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
xz
yz
z
．
(4)
2
3
1 1
2
3
a
b
a
b
＝
2
2
3
1
a
b
＝－
2
2
[(2
3 )
2(2
3 ) 1 ]
a
b
a
b
＋
－
＋
＋
＝－
2
2
(2 )
2 2
3
3
4
6
1
a
a
b
b
a
b
＝
2
2
4
12
9
4
6
1
a
ab
b
a
b
－
－
－
＋
＋
－
4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
，试判断△ABC 的
形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．
【答案与解析】
解：∵
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
，
即
2
2
2
2
2
2
(
2
)
(
2
)
(
2
)
0
a
ab
b
b
bc
c
a
ac
c
．
即
2
2
2
(
)
(
)
(
)
0
a
b
b
c
a
c
．
∴
0
a
b
，
0
b
c
，
0
a
c
，
即a
b
c
，∴ △ABC 为等边三角形．
【总结升华】式子
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
体现了三角形三边长关系，从形式上看与完
全平方式相仿，但差着2ab 中的2 倍，故想到等式两边同时扩大2 倍，从而得到结论．
举一反三：
【变式】多项式
2
2
2
2
2
5
x
xy
y
y
的最小值是____________.
【答案】4；
提示：
2
2
2
2
2
2
2
5
1
4
x
xy
y
y
x
y
y
，所以最小值为4.
