文档文本内容
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勾股定理逆定理
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1、理解勾股定理的逆定理的推理过程并能证明勾股定理的逆定理；
2、掌握利用勾股定理的逆定理，学会判断一个三角形是否是直角三角形；
3、通过研究一系列富有探究性的问题，感受数学文化，激发学习热情．
1．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是______
三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小
两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已
知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边
的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
2．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是
从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会_________的思想的应用．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边
长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整
数的直角三角形的斜边．
3．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最
短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有
关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
2
4．方向角
（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描
述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习
惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方位角
以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的_____，即S△= ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方
法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
成基本作图，逐步操作．
7．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有
关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，
需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决
这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问
题．
参考答案：
1.（1）直角
2.（2）数形结合
3.（1）线段最短
5.（1）一半
1. 勾股定理的逆定理．
【例1】（2014•赣州第一中学期末）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3
B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，
c=5
【解析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
练1. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角
三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
3
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．
，
，
B．1，
，
C．6，7，8
D．2，3，4
【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角
形为直角三角形；否则不是．
解：A、（
）2+（
）2≠（
）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（
）2=（
）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
2. 勾股定理的应用．
【例2】（2014•福建宁德中学中考模拟）如图，有两颗树，一颗高10 米，另一颗高4 米，两树相
距8 米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8 米
B．10 米C．12 米D．14 米
【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C 点作CE⊥AB 于E，则EBDC 是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC 中，AC=
=10m，
故选B．
练3. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距
离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不
计）为（ ）
4
A．12m
B．13m C．16m
D．17m
【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在
Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．
解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17 米．
故选：D．
3. 平面展开-最短路径问题．
【例3】（2014•四川绵阳中学二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为
12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正
好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
（ ）
A．13cm
B．2
cm C．
cm
D．2
cm
【解析】将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度
即为所求．
解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，
5
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，
连接A′B，则A′B 即为最短距离，
A′B=
=
=13（Cm）．
故选：A．
练4. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过3 个面爬到点B，如果它运动的
路径是最短的，则AC 的长为 ．
【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB 最短，根据三
角形MCB 与三角形ACN 相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN 的长，利用勾股定理求出
AC 的长即可．
解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB
最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴
=
，即=
=2，即MC=2NC，
∴CN= MN= ，
在Rt△ACN 中，根据勾股定理得：AC=
=
，
故答案为：
．
6
4．勾股定理的应用；方向角．
【例4】（2014•福建晋江中学月考）已知A，B，C 三地位置如图所示，∠C=90°，A，C 两地的距
离是4km，B，C 两地的距离是3km，则A，B 两地的距离是 km；若A 地在C 地的正东方
向，则B 地在C 地的 方向．
【解析】根据勾股定理来求AB 的长度．由于∠C=90°，A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正
北方向．
解：∵∠C=90°，A，C 两地的距离是4km，B，C 两地的距离是3km，
∴AB=
=
=5（km）．
又∵A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的 正北方向．
故答案是：5；正北．
练5. 如图，小明从A 地沿北偏东60°方向走2 千米到B 地，再从B 地正南方向走3 千米到C 地，
此时小明距离A 地 千米（结果可保留根号）．
【解析】根据题意利用锐角三角函数得出BD，AD 的长，再利用勾股定理得出AC 的长．
解：如图所示，由题意可得：AB=2，∠B=60°，
则BD=ABcos60°=1（km），
AD=ABsin60°=
（km），
故DC=2km，
则AC=
=
=
（km）．
7
故答案为：
．
5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．
【例5】（2014•宁波镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，
2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．4 个 D．6 个
【解析】因为A，B 的纵坐标相等，所以AB∥x 轴．因为C 是坐标轴上的一点，所以过点A 向x 轴引
垂线，过点B 向x 轴引垂线，分别可得一点，以AB 为直径做圆可与坐标轴交于6 点．所以
满足条件的点共有6 个．
解：∵A，B 的纵坐标相等，
∴AB∥x 轴，AB=3﹣（﹣2）=5．
∵C 是坐标轴上的一点，过点A 向x 轴引垂线，可得一点，过点B 向x 轴引垂线，可得
一点，以AB 为直径作圆可与坐标轴交于4 点．
∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4 个，为C，D，E，H．加上A、
B 共6 个．
故选D．
练6．（2014•大同五中期中）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（11，
1），点C 到直线AB 的距离为4，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．
【解析】本题可先根据AB 两点的坐标得出直线的方程，再设C 点的坐标为：（x，y），根据点到
直线的公式得出C 点的x 与y 的关系，然后分别讨论∠A 为直角时或∠B 为直角时或∠C 为
直角几种情况进行讨论即可得出答案．
解：到直线AB 的距离为4 的直线有两条．以一条直线为例，当∠A 为直角时，可得到2 个点；
当∠B 为直角时，可得到2 个点；
以AB 为直径的圆与这条直线有2 个交点，此时，∠C 为直角．
同理可得到另一直线上有2 个点．
所以共为8 个点．
8
1．如图，有两棵树，一棵高12 米，另一棵高6 米，两树相距8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另
一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．
2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且
相距3
米，小聪身高AB 为1.7 米，则这棵树的高度= 米．
3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4 米，AB=8 米，
∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为 米（结果精确到0.1 米，参考数据：
=1.41，
=1.73）．
4．在底面直径为2cm，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数
缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）
5．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到
△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
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1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6
B．1.5，2，2.5
C．2，3，4
D．1，
，3
2．若a、b、c 为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25
B．a=5，b=13，c=12
C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=50
3．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．3、4、6
B．9、12、15 C．5、12、14
D．10、16、25
4．工人师傅从一根长90cm 的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm 的钢条一起焊接
成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（ ）
A．80cm
B．
C．80cm 或
D．60cm
5．现有两根铁棒，它们的长分别为2 米和3 米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒
的长为（ ）
A．
米
B．
米 C．
米或
米
D．
米
6．现有两根木棒的长度分别为40 厘米和50 厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒
的长一定为（ ）
A．30 厘米
B．40 厘米
C．50 厘米 D．以上都不对
7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD 为4cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱
的表面爬行到点C 的最短路程大约是（ ）
A．6cm
B．12cm
C．13cm
D．16cm
8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=
，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行
到C 点，那么，最近的路程长为（ ）
10
A．7
B．
C．
D．5
9．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿
长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A．5
cm
B．
cm
C．4
cm D．3
cm
10．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（11，1），点C 到直线AB 的距
离为4，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．
11．设a＞b，如果a+b，a﹣b 是三角形较小的两条边，当第三边等于 时，这个三角形为
直角三角形．
12． 有一棵9 米高的大树，树下有一个1 米高的小孩，如果大树在距地面4 米处折断（未完全折
断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．
13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m 处折断倒下，树干顶部在根部4 米处，这棵大树
在折断前的高度为 m．
14． “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60 千米/小时，
为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B
行驶了5 秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200 米，此车超速了吗？请说明理由．（参
考数据：
≈1.41，
≈1.73）
15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动
小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l 旁选取一点A，在公路l 上确定点
B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC 上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40 米，已知
本路段对校车限速是50 千米/时，若测得某校车从B 到C 匀速行驶用时10 秒，问这辆车在本路
段是否超速？请说明理由（参考数据：
=1.41，
=1.73）
11
16．如图，一根长6
米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角
（∠ABO）为60°．当木棒A 端沿墙下滑至点A′时，B 端沿地面向右滑行至点B′．
（1）求OB 的长；
（2）当AA′=1 米时，求BB′的长．
12
参考答案：
当堂检测
1.
考点：勾股定理的应用．
分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路
程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：
如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C 点作CE⊥AB 于E，则四边形EBDC 是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC 中，
AC=
=10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
点评：本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的
能力．
2．
考点：勾股定理的应用．
分析：先根据题意得出AD 的长，在Rt△ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由
CE=CD+DE 即可得出结论．
解：
由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3
，CE⊥BE，DE=AB=1.7 米，
∴tan∠CAD=
，
∴CD=
×3
=3，
∴CE=3+1.7=4.7（米）．
即这棵树的高度为4.7 米．
故答案为：4.7．
点评：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，难度适中，熟知锐角三角函数的
定义是解答此题的关键．
3．
考点：勾股定理的应用．
分析：先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）
2，代入数可得答案．
解：
由题意可得：∵AM=4 米，∠MAD=45°，
∴DM=4m，
∵AM=4 米，AB=8 米，
∴MB=12 米，
∵∠MBC=30°，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=（2MC）2，
MC2+122=（2MC）2，
∴MC=4
，
13
则DC=4
﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
点评：此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等
于斜边的平方．
4．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB 的斜边长，并且AB 的长为圆
柱的底面圆的周长的1.5 倍，BC 的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
解：
如图所示，
∵无弹性的丝带从A 至C，绕了1.5 圈，
∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，
由勾股定理得：AC=
=
=3
cm．
故答案为：3
．
点评：本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题
的关键，用了数形结合思想．
5．
考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．
分析：首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出
∠BEE′=∠BE′E=45°，即可得出答案．
解：
连接EE′
∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′
∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，
∵△ABE 与△CE′B 全等
∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C
∴∠BEE′=∠BE′E=45°，
∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，
∴EC2=E′C2+EE′2，
∴△EE′C 是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠AEB=135°．
故答案为：135．
家庭作业
1．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A 选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B 选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C 选项错误；
14
D、12+（
）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D 选项错误．
故选：B．
点评：本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个
三角形就是直角三角形．
2．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先
确定能否构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形．
解：
A、∵7+24＞25，且72+242=252，∴能构成直角三角形；
B、∵5+12＞13，且52+122=132，∴能构成直角三角形；
C、∵1+2=3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；
D、∵30+40＞50，且302+402=502，∴能构成直角三角形；
故选C．
点评：直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：任意两边之和大于第
三边，任意两边之差小于第三边．
3．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长
边的平方即可．
解：
A、32+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；
B、92+122=152，故是直角三角形，故正确；
C、52+122≠142，故不是直角三角形，故不正确；
D、102+162≠252，故不是直角三角形，故不正确．
故选B．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三
边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．
考点：勾股定理的应用．
分析：可将截取的钢条做为直角边或斜边，然后根据勾股定理，计算出钢条的长度，看其
是否符合题意．
解：
设钢条长度的长度为l cm，
将钢条看作直角边，则钢条长度l2+3600=10000，得到l=80，
将钢条看作斜边，则l2=3600+10000，所以l=
＞90cm，
不合题意；
故选A．
点评：本题主要考查对于勾股定理的应用，要注意钢条的长度是否符合题意．
5．
考点：勾股定理的应用．
分析：分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；
②第三根铁棒的长为直角边．
解：
①第三根铁棒为斜边时，其长度为：
=
米；
②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：
=
米．
故选C．
点评：本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．
考点：勾股定理的应用．
分析：由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论．
解：
此题要分两种情况：
（1）当50 是直角边时，所需木棒的长是
=10
；
（2）当50 是斜边时，所需木棒的长是30．
故选D．
点评：解答此题的关键是运用勾股定理解答，注意此题的两种情况．
7．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．
15
解：
将圆柱体展开，连接D、C，
圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，
根据两点之间线段最短，
CD=
=4
≈13cm．
而走B﹣D﹣C 的距离更短，
∵BD=4，BC=
，
∴BD+BC≈11.64≈12．
故选B．
点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即
可．
8．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”
得出结果．
解：
将圆柱体展开，连接A、C，
∵
=
= •π•
=4，BC=3，
根据两点之间线段最短，AC=
=5．
故选D．
点评：圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．
9．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A 和B
点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等
于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解：
因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
所以最短路径长为
cm．
故选B．
10．
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．
分析：本题可先根据AB 两点的坐标得出直线的方程，再设C 点的坐标为：（x，y），根据
点到直线的公式得出C 点的x 与y 的关系，然后分别讨论∠A 为直角时或∠B 为直角
时或∠C 为直角几种情况进行讨论即可得出答案．
解：
到直线AB 的距离为4 的直线有两条．以一条直线为例，当∠A 为直角时，可得到2
个点；
当∠B 为直角时，可得到2 个点；
以AB 为直径的圆与这条直线有2 个交点，此时，∠C 为直角．
16
同理可得到另一直线上有2 个点．
所以共为8 个点．
11．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：根据勾股定理直接计算得到结果．
解答：
解：因为三角形为直角三角形，所以第三边等于
=
．
点评：解答此题要用到勾股定理：已知△ABC 是直角三角形，则△ABC 三边满足a2+b2=c2．
12．
考点：勾股定理的应用．
分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
解：
如图，
BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，
在Rt△ABC 中，AC=
=
=4．
点评：此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
13．
考点：勾股定理的应用．
分析：根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即
可．
解：
解：由勾股定理得，断下的部分为
=5 米，折断前为5+3=8 米．
点评：此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
14．
考点：勾股定理的应用．
分析：根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB 的长进而求出汽车的速度，进而得
出答案．
解：
此车没有超速．
理由：过C 作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200 米，
∴CH=BC•sin60°=200×
=100
（米），
BH=BC•cos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100
米，
∴AB=100
﹣100≈73（m），
∵60 千米/小时=
m/s，
∴
=14.6（m/s）＜
≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．
17
点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB 的长是解题关键．
15．
考点：勾股定理的应用．
分析：过点D 作DE⊥AB 于点E，证明△BCD≌△BED，在Rt△ADE 中求出DE，继而得出CD，
计算出AC 的长度后，在Rt△ABC 中求出BC，继而可判断是否超速．
解答：解：过点D 作DE⊥AB 于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，
在Rt△CBD 和Rt△EBD 中，
∵
，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=DE，
在Rt△ADE 中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40 米，
则AE= AD=20 米，
∴DE=
=20
米，
∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20
）米，
在Rt△ABC 中，∵∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=80+40
，
∴BC=
=（40
+60）米，
则速度=
=4
+6≈12.92 米/秒，
∵12.92 米/秒=46.512 千米/小时，
∴该车没有超速．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC 的长
度，需要多次解直角三角形，有一定难度．
16．
考点：勾股定理的应用；解直角三角形的应用．
分析：（1）由已知数据解直角三角形AOB 即可；
（2）首先求出OA 的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可．
解：
（1）根据题意可知：AB=6
，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB 中，∵cos∠ABO=
，
∴OB=ABcos∠ABO=6
cos60°=3
米，
∴OB 的长为3
米；
（2）根据题意可知A′B′=AB=6
米，
18
在Rt△AOB 中，∵sin∠ABO=
，
∴OA=ABsin∠ABO=6
sin60°=9 米，
∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1 米，
∴OA′=8 米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2
米，
∴BB′=OB′﹣OB=（2
﹣3
）米．
点评：本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型．
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