文档文本内容
1
圆
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1.掌握与圆有关的概念、圆周角定理；
2.掌握圆的有关概念、定理的应用.
1．圆的定义：
(1)线段OA 绕着它的一个端点O 旋转________，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．
记作⊙O，读作圆O.点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。确定一个圆需要两个条件：第一
是圆心，第二是半径。
(2)圆是到_______的距离等于_________的点的集合．
2.弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
3.弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧
记作
⌒
AB,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º 用三个字母表示，如
⌒
ACB.小于半圆的弧叫做劣弧，
如
⌒
AB。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是
等弧。
（图一） （图二）
2
4. 同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2
的⊙O 叫做同心圆。
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是
r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
5．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在__________的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的_____________．
(2)圆周角：顶点在__________，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；_________________，相等的圆周角所对的弧相
等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为_______．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是____________．
⑤圆内接四边形的对角_______；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
参考答案：
1.（1）一周(2) 定点, 定长
5. (1)圆心, 弧的度数(2) 圆上, ②在同圆或等圆中③直角④直角三角形⑤互补
1.圆的基本概念
【例1】
下列说法中，不正确的是（ ）
A.过圆心的弦是圆的直径
B. 等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆
D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【解析】A.过圆心的弦是圆的直径，说法正确；
B. 等弧的长度一定相等，说法正确；
C. 周长相等的两个圆是等圆，说法正确；
D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦
所对的两条弧一定是等弧；
【答案】D
练习1. 车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ）
A．同弧所对的圆周角相等
B．直径是圆中最大的弦
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．圆是中心对称图形
【答案】C
练习2. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；
④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】B
2.圆周角定理
【例2】（2014 泉州中考）如图，点A，B，C 都在⊙O 上，若∠O=40°，则∠C=（ ）
3
A. 20°
B. 40°
C.50°
D.80°
【解析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠C=
∠O=20°。解：∵圆心角∠O 和圆周角∠C 所对的是同一段弧；
∴∠C= ∠O=20°．
【答案】A
练习3. 如图，AB 是⊙O 直径，∠AOC=130°，则∠D=（ ）
A. 65°
B. 25°
C. 15°
D. 35°
【答案】B
练习4. （2014 杭州金华中考）如图，点A、B、C 都在⊙O 上，若∠C=34°，则∠AOB 的度数为
（ ）
A.34°
B.56°
C.60°
D.68°
【答案】D
3.直径所对的圆周角
【例3】（2014 广东肇庆一模）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】根据直径所对的圆周角是直角，再利用直角三角形两锐角互余求解即可，
解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°．
【答案】故选B．
练习5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（ ）
4
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】D
练习6. 如图，CD 是⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC 的度数为（
）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
【答案】D
4.圆周角定理的简单应用
【例4】（2014 山东聊城一模）如图，△ABC 内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O 的半径为（
）
A.√3
B.2
C.2√3
D.4
【解析】先利用圆周角定理求出∠AOB，再根据等边三角形的判定得到△AOB 是等边三角形，
从而得解。
【答案】解：连接OA，OB，则∠AOB=2∠C=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，有OA=AB=2．
故选B．
练习7．如图，正三角形ABC 内接于圆O，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A，B 重合，则
∠BPC 等于（ ）
5
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
【答案】B
练习8．（2014 湖北湛江一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 是⊙O 上的点，则∠1+∠2=
度．
【答案】90
5. 圆周角定理综合运用
【例5】（2014 鼎湖区一模）如图所示，⊙O 的直径AB 为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB 的平
分线交⊙O 于D，求BC，AD，BD 的长．
【解析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB
的平分线交⊙O 于D，判断出△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体
值．
【答案】解：∵AB 是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm
∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64
BC=
∴
=8（cm）
又CD 平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴
∴AD=BD
又在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD=
=5
（cm）．
练习9. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D，使DC=CB，延长DA 与
⊙O 的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE 的长
6
【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，
∴（x-2）2+x2=42，
解得：x1=1+
，x2=1-
（舍去）
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+
练习10. 如图所示，OA、OB、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ACB=2∠BAC．
【答案】证明：∵∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC；
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC．
【例6】（2014 广东珠海一模）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D 是AB 边上一点，P
是优弧BAC 的中点，连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=
，求PA 的长.
7
【解析】(1)要求△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形，所以PA=PD，再利用P 是中点这个条件，
进而可以找到全等三角形，此问利用倒推即可得出结论；（2）给了余弦值，可以倒
角把角度放到直角三角形中，所以过点P 作PE⊥AD 于E 即可。
【答案】解：（1）当BD＝AC＝4 时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形
∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB＝弧PC
∴PB＝PC
∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA
∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4 时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2
过点P 作PE⊥AD 于E，则AE＝
AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
∴PA=
练习11. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点D，AC 交⊙O 于点E，
∠BAC=45°．
（1）求∠EBC 的度数；
（2）求证：BD=CD．
【答案】（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°．
（2）证明：连接AD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
8
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
练习12. 如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是
上任一点（点P 不与点A、B 重合），连AP、
BP，过点C 作CM∥BP 交PA 的延长线于点M．
（1）填空：∠APC= _________ 度，∠BPC= _________ 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM 的面积．
【答案】（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°﹣∠BPM=180°﹣（∠APC+∠BPC）=180°﹣120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C 四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）解：作PH⊥CM 于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM 为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH 中，∠MPH=30°，
∴PH=
，
∴S 梯形PBCM= （PB+CM）×PH=
=
．
9
1.如图，△ABC 内接于⊙O，∠A=400，则∠BOC 的度数为 ( ) 【答案】C
A. 200
B. 400
C. 800
D. 700
2．以下命题中，正确的命题的个数是( ) 【答案】A
(1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．
(3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半
径为( ) 【答案】C
A.
B.
C.
或
D.a+b 或a-b
4．如图，AB 是半圆的直径，点D 是
的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于（ ）【答案】C
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是（ ）【答案】B
A.40°
B.50°
C.60°
D.100°
6．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A 的坐标为（0，3），M 是第
10
三象限内
上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为（ ）【答案】C
A.6
B.5
C.3
D.3√2
7．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD=100°，
则∠DCE 的度数为（ ）【答案】C
A.40°
B.60°
C.50°
D.80°
8．在半径为1 的圆中，弦AB、AC 的长是
存和
，则∠BAC 的度数为________ .
【答案】15°或75°
9．如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA，交弧AB 于点
D，则CD= . 【答案】
√3−1
2
10.已知：如图，在⊙O 中，C.D 是弦AB 上的两个三等分点，
求证：△OCD 是等腰三角形。
【答案】证明：连结OA,OB,
OA=OB,∴∠
A=∠B,
∴
∠∠
∵又AC=BD ，∴△AOC
BOD
△
≌
，
∴OC=OD，即△OCD 是等腰三角形。
_________________________________________________________________________________
11
_________________________________________________________________________________
1.下面三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；
③相等的圆心角所对的弧相等。其中是真命题的是 （ ）【答案】A
A.①②； B. ①③； C. ②③； D. ①②③。
2.已知⊙O 的半径为5cm，P 为该圆内一点，且OP=1cm，则过点P 的弦中，最短的弦长为（
）
A.8cm； B.6cm； C.4
cm； D.4
cm。
【答案】C
3.如图1，CD 是
的直径，A、B 是
上的两点，若
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
图1 图2
【答案】D
4.如图2，点A.B.D.C 是⊙O 上的四个点，且∠BOC=110°，则∠BAC 的度数是（ ）
A.110° B.70° C.100° D.55°
【答案】D
5.已知AB.CD 为⊙O 的两条弦，圆心O 到它们的距离分别为OM.ON，如果AB>CD，那么
OM____ON。（填“>.=.<”中的一种）【答案】<
6.
ABC
△
的三边长分别是AB=4cm，AC=2cm，BC=2
cm，以点C 为圆心，CA 为半径画圆
交边AB 于另一点D，设AD 的中点为E，则CE=_______。【答案】
cm
7.已知AB 是半径为1 的⊙O 的一条弦，且AB=
，则弦AB 所对圆周角的度数为_____.
【答案】60°或120°
8.如图，在⊙O 中，弦AB 与DC 相交于点E，BD=AC．
求证：AB=CD.
12
【答案】证明：∵BD=AC，∴
=
．
∴
+
=
+
∴
＝
．
AB=CD.
∴
课程顾问签字： 教学主管签字：
