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立方根和实数
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1、了解立方根的含义，会表示、计算一个数的立方根；
2、了解无理数和实数的意义；
3、了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.
1．立方根
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于
，那么这个数叫做
的立方根或三次方根.
这就是说，如果
，那么______叫做_________的平方根.
求一个数的立方根的运算，叫做_________.
一般地，
.
（2）性质：
正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0 的立方根是_____.
2.实数
__________叫做无理数.
____________统称实数.
____________与数轴上的点一一对应.
3.绝对值性质
一个正实数的绝对值是________；
一个负实数的绝对值是_______；
0 的绝对值是_______.
参考答案：
1.（1）
开立方
（2） 正 负 0
2
2.无限不循环小数 有理数和无理数 实数
3. 它本身 它的相反数 0
1、解算术平方根
【例1】求下列各数的算术平方根
（1）
（2）
【解析】根据立方根的定义求解即可.
解： （1）
（2）
总结：一般地，
.
练1. 求下列各式的值.
（1）
（2）
【解析】根据立方根的定义求解即可.
解： （1）
（2）
练2. （2015 春•上城区期中）
= ________.
【解析】根据立方根的定义求解即可.
解：
2．利用计算器求立方根
【例2】用计算器求
3
【解析】使用计算器中的
符号可求解.
解：依次按键
1845=，显示：12.26494082.
这样就得到
的近似值12.26494082.
总结：依次按键计算器中的
、数字、=符号可求出算术平方根.
练3.用计算器求
【解析】使用计算器中的
符号可求解.
解： 依次按键
1728=，显示：12.
∴
.
练4.用计算器求
【解析】使用计算器中的
符号可求解.
解： 依次按键
2197=，显示：13.
∴
.
2．比较大小
【例3】估计3，4，
的大小.
【解析】根据立方根的定义求解．
解：∵
∵27<50<64
∴
练5. 比较大小：
（1）
_________
4
（2）
_________
.
【解析】根据立方根的定义即可求解.
解：（1）
（2）
∴
练6.
的立方根是_________; 一个数的立方根是
，则这个数是_______.
【解析】根据立方根的定义即可求解.
解：
3．立方根运算
【例4】已知的
立方根是4，求
的平方根.
【解析】根据立方根即平方根的定义，即可求解．
解：∵
∴
∵
∴
的平方根是±5.
总结：
（1）正数的立方根是正数；
（2）0 的立方根是0
（3）负数的立方根是负数.
练7.计算
.
5
【解析】根据立方根、平方根的定义即可求解．
解：
=
=1
练8．（2014 秋•顺义区期末）计算
.
【解析】根据立方根、平方根的定义即可求解．
解：
=
=
4．实数运算
【例5】求
的绝对值.
【解析】利用绝对值的性质即可求解．
解：（1）∵
∴
总结
（1）一个正实数的绝对值是它本身；
（2）一个负实数的绝对值是它的相反数；
（3）0 的绝对值是0.
练9．计算：
（1）
的相反数是________；
（2）
的倒数是__________；
6
（3）
的绝对值是_________.
【解析】依据相反数、倒数、绝对值的运算法则求解即可．
解：（1）
的相反数=
（2）
的倒数=
（3）
【例6】计算下列各式的值.
（1）
（2）
【解析】根据运算法则求解即可．
解：（1）
=
=
（2）
=
=
练10．计算：
.
【解析】根据算术平方根、立方根的定义即可求解．
解：
=
7
=-3
练11．（2015 春•贵阳市期末）一个底为正方形的水池的容积的486m3，池深1.5m，求这个水底
的底边长.
【解析】根据容积等于底面积×池深，即可求解．
解
：
答：这个水底的底边长是18m.
练12．（2014 春•德州市期中）已知
，求
的值？
【解析】依据算术平方根、绝对值的性质可知两项均为0，代入求解即可．
解：由题意得，
∴
∴
∴
∴
∴
1．计算：
8
2．计算：
.
3．已知实数
，满足
，求
的值.
4．估计与60 的立方根最接近的整数.
5. 已知
，化简
_______
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_________________________________________________________________________________
1.若
，则
_______
2. 若
，则
3.计算：
.
4．计算：
.
5. 计算：
.
9
6．已知
，且
，则
的值为______.
7．已知
是
的整数部分，
是它的小数部分，求
的值.
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参考答案：
当堂检测
1．答案:
2．答案:
3．答案：2
4．答案：4.
5. 答案：2c-2b．
家庭作业
1. 答案：-1.
2. 答案：0.
3. 答案：
4. 答案：
.
5. 答案：
6. 答案：-1
7. 答案：-17
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