文档文本内容
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相交线与平行线
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1.掌握对顶角和邻补角的概念；
2.掌握垂线段的定义及其画法；
3.掌握三线八角的定义和找法；
4.掌握平行线的性质与判定.
1.相交线
（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。
（2）相交：在同一平面内，有__________的两条直线称为相交线。
（3）邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种
位置关系的两个角，互为邻补角。
②性质：位置——互为邻角 数量——互为补角（两角之和为180°）
（4）对顶角：①定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延
长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
②性质：对顶角相等 几何语言：∵∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3（同角的补角相等）
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1 与∠2
有公共顶点
∠1 的两边
与∠2 的两边互
为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3 与∠4
有公共顶点
∠3 与∠4
有一条边公共，
另一边互为反向
延长线。
∠3+∠4=18
0°
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
1
2
4
3
2
⑵如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α 与∠β
不一定是对顶角
⑶如果∠α 与∠β 互为邻补角，则一定有_____________；反之如果∠α+∠β=180°，则
∠α 与∠β 不一定是邻补角。
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2.垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其
中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______。
符号语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为O
垂线性质1：过一点_______________一条直线与已知直线垂直。
垂线性质2 ：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：
_______________。
3.垂线的画法：
（1）过直线上一点画已知直线的垂线；
（2）过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂
足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：
一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4.点到直线的距离
（1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的________.
如图，PO AB
⊥
，点P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。
PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。
（2）应用：现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5.“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”联系与区别
（1）垂线与垂线段的区别：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可
以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
P
B
A
A
B
C
D
O
B
A
B
A
P
P
A
B
O
3
（2）两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是
点与直线之间。
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
（3）线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
6.三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线
被直线所截
（1）∠1 与∠5 在截线的同侧，同在被截直线
的上方，
叫做__________（位置相同）
（2）∠5 与∠3 在截线的两旁（交错），在被截直线
之间（内），叫做_________（位置
在内且交错）
（3）∠5 与∠4 在截线的同侧，在被截直线
之间（内），叫做____________。
（4）三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
参考答案：1.(1)相交，平行(2)一个公共交点(3) α+ β=180°
∠
∠
2.(1)垂足(2)有且只有(3)垂线段最短
4.距离
6.(1)同位角(2)内错角(3)同旁内角
1.对顶角、邻补角
【例1】（2015 广西柳州中学期中）如图，图中∠α 的度数等于（ ）
A．135°
B．125°
C．115°
D．105°
【解析】此题考查邻补角定义，根据邻补角互补解答即可．
α
∠的度数=180°
45°=135°
﹣
．
【答案】A．
练习1.下列说法正确的有( )
①对顶角相等;
②相等的角是对顶角;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】B
练习2.如图所示，直线AB，CD，EF 相交于点O，∠AOD 的对顶角是_____，∠AOC 的邻补角
是 ；若∠AOC＝50°，则∠BOD＝______，∠COB＝_______．
a
b
l
1
2
3 4
5
6
7 8
b
a,
l
l
b
a,
l
b
a,
l
b
a,
3
4
l3
l2
l1
1
2
4
【答案】∠BOC；∠AOD、∠BOC；50°；130°.
练习3.对顶角的性质是___________________．
【答案】对顶角相等.
练习4.如果CD AB
⊥
于点D，自CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD 重合，这是因
为．
【答案】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
练习5.如图所示,L1,L2,L3交于点O, 1= 2, 3: 1=8:1,
∠
∠∠∠
求∠4 的度数.( 方程思想)
【答案】36°
2.垂线段
【例2】画∠A＝30°，在∠A 的两边上分别截取AC＝40mm，AB＝26mm，连结BC，过C 点分别
画CA，AB 的垂线，画B 点到AC 的垂线段，并量出C 点到AB 的距离和B 点到AC 的距离.
【解析】根据题意作图，再根据垂线段的定义，作出距离，量出线段长度即可。
【答案】如图，
C 点到AB 的距离CE＝20㎜，B 点到AC 的距离BF＝13㎜.
练习6.如图所示，下列说法不正确的是 ( )
A.点B 到AC 的垂线段是线段AB；
B.点C 到AB 的垂线段是线段AC；
C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段；
D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段.
【答案】C
练习7.如图所示，AD BD
⊥
，BC CD
⊥
，AB＝a，BC＝b，则BD 的范围是，理由是.
O
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
5
【答案】b＜BD＜a；垂线段最短.
练习8.如图，线段AB 的长是到的距离；点D 到AB 的距离是的长；线段____________的长是点
B 到AC 的距离.
【答案】点A；点B；线段DE；BC
3.三线八角（同位角、内错角、同旁内角）
【例3】（2015•江苏宿迁，第4 题）如图所示，直线a，b 被直线c 所截，∠1 与∠2 是
（ ）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
.
【解析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
解：如图所示，∠1 和∠2 两个角都在两被截直线直线b 和a 同侧，并且在第三条直线c
（截线）的同旁，故∠1 和∠2 是直线b、a 被c 所截而成的同位角．
【答案】A．
练习9.⑴如图，∠A 的同位角是____________，∠1 的内错角是____________，∠2 的同旁内
角是____________．
⑵如图所示，∠B 与∠CAD 是由直线____________与直线____________被直线____________所
截得到的____________角．
【答案】（1）∠BFG、∠CGF；∠CGF；∠CGF 或∠B 或∠A；
D
C
B
A
6
（2）BC、AC、BD（或BA 或AD）、同位.
练习10.如图：
(1) 1
∠和∠B 是由直线截直线和所成的角.
(2) 2
∠和∠C 是由直线截直线和 所成的角.
(3) B
∠和∠C 是由直线截直线和所成的角.
【答案】（1）BE、AD、BC、同位；（2）AC、AD、BC、内错；（3）BC、AC、AB、同旁内角.
练习11.如图，
(1)∠B、∠EDB 是直线和被直线所截得角；
(2)直线截直线和所得的∠AFD 和∠C 是角；
(3)与∠CFD 成内错角的有；
(4)与∠C 成同旁内角的有个，它们是.
【答案】（1）BE、DE、BD、同旁内角；（2）AC、DF、CD、同位；（3）∠EDF；（4）5 个、
∠CFD，∠CDF，∠CDE，∠A，∠B.
1．若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，则这两个角.
【答案】相等或互补.
2．已知点O，画和点O 的距离是3 厘米的直线可以画＿＿＿＿条.
【答案】无数.
3．如图，O 是直线AB 上一点，∠COB＝30°，则∠1＝＿＿＿＿°
【答案】150.
4．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是.
【答案】6.
5．下列说法正确的个数是（ ）
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
②对顶角的平分线在同一条直线上；
③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；
④两个有公共顶点的角相等，且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线，那么这两个角是
对顶角．
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
【答案】B.
7
6.如图，直线AB、CD 相交于O，OE⊥CD，OF 平分∠BOC，∠AOC＝30°，
则∠BOE＝°，∠COF＝°，
∠EOF＝°，∠AOE＝°.
【答案】60°、75°、15°、120°.
7.如图，已知OA⊥OB，OD⊥OC，则下列说法不正确的是( )
A.∠BOC＝∠AOD
B.∠AOC+∠BOD＝180°
C.∠COD 与∠AOB 互补
D.∠COB 与∠BOD 相等
【答案】D.
8.（2011•梧州）如图，直线EO CD
⊥
，垂足为点O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为
（ ）
A．120°
B．130°
C．135°
D．140°
【答案】C
9.如图，直线AB、CD 相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF 平分∠AOE，若∠AOC＝28°，则
∠EOF＝＿＿＿＿度．
【答案】62.
10.如图，直线AB、CD 被直线EF 所截，则∠3 的同旁内角是（ ）．
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
D
C
B
A
8
【答案】B
11.下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。
（4）不相交的两条直线叫做平行线。
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】C
12.如右图所示，已知
，CD ⊥AB ，垂足分别是C 、D ，那么以下线段大小的比
较必定成立的是（ ）
A. CD >AD B. AC <BC
C. BC >BD D. CD <BD
【答案】C
13．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C．图中线段的长能表示点到直线（或线段）
距离的线段有（ ）
（A）1 条 （B）3 条 （C）5 条 （D）7 条
【答案】C
14、如图，AD∥BC，点O 在AD 上，BO、CO 分别平分∠ABC、∠DCB，若
∠A＋∠D＝m°．则∠BOC＝______．
【答案】
m
2
15、三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，如图⑦所示，∠AOD 的对顶角是，∠FOB 的对
顶角是，∠EOB 的邻补角是。
图⑦
O
F
E
D
C
B
A
【答案】∠BOC, AOE, AOE
∠
∠
和∠BOF
_________________________________________________________________________________
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
F
BC
AC
9
_________________________________________________________________________________
1．如图，三条直线AB，CD，EF 相交于点O，则∠AOE+ DOB+ COF
∠
∠
＝_____________°
【答案】180.
2．（2015•柳州14 中期中）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）
A．∠2 和∠3
B．∠1 和∠3
C．∠1 和∠4
D．∠1 和∠2
【答案】A.
3．两条相交直线所成的角中( )
A．必有一个钝角 B．必有一个锐角
C．必有一个不是钝角 D．必有两个锐角
【答案】C.
4．（2014•梧州第一中学期中）如图，直线a、b 相交，∠1＝65°，则∠2 的度数是＿＿＿＿°．
【答案】65.
5．如图所示，直线AB，CD 相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE 把∠BOD 分成两部分，且
∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠EOD＝______．
【答案】42°.
6．两条直线相交于一点构成对对顶角；三条直线相交于一点，构成对对顶角；n 直线相交于
一点，构成对对顶角；100 条直线相交于一点构成对对顶角.
【答案】2、6、n（n-1）、9900.
7．平面上三条直线相互间的交点个数是；平面上四条直线相互间的交点个数是．
【答案】0 个或1 个或2 个或3 个；0 或1 或3 或4 或5 或6.
8．点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上三点， PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则
点P 到 直线m 的距离为( )
O
F
E
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
10
A．4cm B．2cm
C．小于2cm D．不大于2cm
【答案】D.
9．如图，∠1 的同旁内角有个．
【答案】3.
10．对于下图，有以下判断：①∠1 与∠3 是内错角；②∠2 与∠3 是内错角；③∠2 与∠4 是
同旁内角；④∠2 与∠3 是同位角．其中说法正确的有(填写序号) ．
【答案】①③.
11.如图所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有 条．
【答案】5.
12．如图，AC BC
⊥
，AC＝9，BC＝12，AB＝15．
（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；
（2）点C 到直线AB 的距离是多少？你是怎样求得的？
【答案】（1）点A 到直线BC 的距离，点B 到直线AC 的距离分别是：9，12．
（2）过点C 作CD AB
⊥
，垂足为D.
D
C
B
A
D
11
ABC
△
的面积＝
BC•AC＝
AB•CD，
15CD
∴
＝12×9，
CD
∴
＝
．
∴点C 到直线AB 的距离为
．
13．如图所示，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3：∠1＝8：1，求∠4 的度数．
【答案】设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝(8x)°
由∠1＋∠2＋∠3＝180°得x＋x＋8x＝180
解得x＝18，
4
∴∠＝2 1
∠＝36°.
2
1
2
1
5
36
5
36
3
4
l3
l2
l1
1
2
课程顾问签字： 教学主管签字：
