文档文本内容
八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（12*3=36 分）
1．（3 分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．3.1415
2．（3 分）在军事演习中，利用雷达跟踪某一“敌方”目标，需要确定该目标的（ ）
A．方向B．距离C．大小D．方向与距离
3．（3 分）一次函数
的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3 分）在直角坐标系中，点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于y 轴对称，则a+b 的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣1
C．1 D．7
5．（3 分）已知x=1，y=2 是方程ax+y=5 的一组解，则a 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2
C．3 D．7
6．（3 分）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC=6m，斜边AC 是10 米，如果在楼梯上铺上地
毯，那么需要地毯的长度是（ ）
A．8m
B．10m C．14m D．24m
7．（3 分）某特警队为了选拔“神枪手”，甲、乙、丙、丁四人进人射击比赛，每人10 次射击成
绩的平均数都是9.8 环，方差分别为S 甲2=0.63，S 乙2=0.51，S 丙2=0.42，S 丁2=0.45，则四人中成
绩最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
8．（3 分）如图，AB∥CD，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分线FP
相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF 的度数是（ ）
A．25°
B．65°
C．75°
D．85°
9．（3 分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．等腰三角形的两个底角相等
C．同角（等角）的补角相等
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
10．（3 分）2015 年亚洲杯足球冠军联赛恒大队广州主场，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛
两个阶段的球票共10 张，总价为5600 元．其中小组赛球票每张500 元，淘汰赛每张800 元，
问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票
y 张，可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3 分）如图，长方形ABCD 的边AB=1，BC=2，AP=AC，则点P 所表示的数是（ ）
A．5 B．﹣2.5 C．
D．
12．（3 分）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图4 所
示，已知开始1 小时的行驶速度是60 千米/时，那么1 小时以后的速度是（ ）
A．70 千米/时B．75 千米/时C．105 千米/时
D．210 千米/时
二、填空题（3*4=12 分）
13．（3 分）9 的算术平方根是 ．
14．（3 分）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，根据图象可得，二元一次方程组
的根是 ．
15．（3 分）去年“双11”购物节的快递量暴增，某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向
A、B 两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B 的距离之和最短？快
递员根据实际情况，以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A（﹣2，
2）、B（6，4），则派送点的坐标是 ．
16．
（3 分）如图，△ABC 中，AB=6，BC=8，AC=10，把△ABC 沿AP 折叠，使边AB 与AC 重合，
点B 落在AC 边上的B′处，则折痕AP 的长等于 ．
三、解答题（共52 分）
17．（8 分）计算
（1）
（2）
．
18．（8 分）（1）
（2）
．
19．（8 分）迎接学校“元旦”文艺汇演，八年级某班的全体同学捐款购买了表演道具，经过
充分的排练准备，最终获得了一等奖．班长对全体同学的捐款情况绘制成下表：
捐款金额
5 元
10 元
15 元
20 元
捐款人数
10 人
15 人
5 人
由于填表时不小心把墨水滴在了统计表上，致使表中数据不完整，但知道捐款金额为10 元
的人数为全班人数的30%，结合上表回答下列问题：
（1）该班共有 名同学；
（2）该班同学捐款金额的众数是 元，中位数是 元．
（3）如果把该班同学的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为20 元的人数所对的扇形
圆心角为
度．
20．（6 分）如图，四边形ABCD 中，点F 是BC 中点，连接AF 并延长，交于DC 的延长线于点
E，且∠1=∠2．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D 的度数．
21．（6 分）列方程解应用题：
小张第一次在商场购买A、B 两种商品各一件，花费60 元；第二次购买时，发现两种商品的价
格有了调整：A 商品涨价20%，B 商品降价10%，购买A、B 两种商品各一件，同样花费60 元．
求A、B 两种商品原来的价格．
22．（8 分）某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是0.4 万元．图中的直线l1表示
该品牌电脑一天的销售收入y1（万元）与销售量x（台）的关系，已知商场每天的房租、水电、
工资等固定支出为3 万元．
（1）直线l1对应的函数表达式是 ，每台电脑的销售价是 万元；
（2）写出商场一天的总成本y2（万元）与销售量x（台）之间的函数表达式： ；
（3）在图的直角坐标系中画出第（2）小题的图象（标上l2）；
（4）通过计算说明：每天销售量达到多少台时，商场可以盈利．
23．（8 分）如图，长方形AOBC 在直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，已知点C 的
坐标是（8，4）．
（1）求对角线AB 所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB 的垂直平分线MN 交x 轴于点M，连接AM，求线段AM 的长；
（3）若点P 是直线AB 上的一个动点，当△PAM 的面积与长方形OABC 的面积相等时，求点
P 的坐标．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12*3=36 分）
1．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）下列各数中，无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．3.1415
【考点】无理数．菁优网版权所有
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、
是无理数，选项正确；
B、
=5 是整数，是有理数，选项错误；
C、
是分数，是有理数，选项错误；
D、3.1415 是有限小数，是有理数，选项错误．
故选A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）在军事演习中，利用雷达跟踪某一“敌方”目标，需要确定
该目标的（ ）
A．方向B．距离C．大小D．方向与距离
【考点】坐标确定位置．菁优网版权所有
【分析】直接利用点的坐标确定位置需要知道其方向与距离进而得出答案．
【解答】解：利用雷达跟踪某一“敌方”目标，需要确定该目标的方向与距离．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标确定位置，正确利用点的位置确定方法是解题关键．
3．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）一次函数
的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】由k=
＞0，可知图象经过第一、三象限，又b=
1
﹣＜0，直线与y 轴负半轴相交，图象
经过第四象限，由此得解即可．
【解答】解：∵y=
x
1
﹣，
∴k=
＞0，图象经过第一、三象限，
b=
1
﹣＜0，直线与y 轴负半轴相交，图象经过第四象限，
即一次函数y=
x
1
﹣的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b 的关系．解答本题注意理解：
直线y=kx+b 所在的位置与k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限．k＜0
时，直线必经过二、四象限．b＞0 时，直线与y 轴正半轴相交．b=0 时，直线过原点；b＜0 时，
直线与y 轴负半轴相交．
4．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）在直角坐标系中，点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于y 轴对称，
则a+b 的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣1
C．1 D．7
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【解答】解：由题意得，a=4，b=3，
则a+b=7，
故选：D．
【点评】本题考查的是关于x、y 轴对称点的坐标特点，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐
标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横
坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）已知x=1，y=2 是方程ax+y=5 的一组解，则a 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2
C．3 D．7
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【分析】根据解方程解的定义，将x=1，y=2 代入方程ax+y=5，即可求得a 的值．
【解答】解：根据题意，将x=1，y=2 代入方程ax+y=5，
得：a+2=5，
解得：a=3，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y 的值
代入原方程验证二元一次方程的解．
6．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC=6m，斜边AC 是10 米，
如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（ ）
A．8m
B．10m C．14m D．24m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【分析】先根据直角三角形的性质求出AB 的长，再根据楼梯高为BC 的高=6m，楼梯的宽的
和即为AB 的长，再把AB、BC 的长相加即可．
【解答】解：∵△ABC 是直角三角形，BC=6m，AC=10m
∴AB=
=
=8（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=8+6=14（米）．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形
两直角边的等量关系
7．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）某特警队为了选拔“神枪手”，甲、乙、丙、丁四人进人射击
比赛，每人10 次射击成绩的平均数都是9.8 环，方差分别为S 甲2=0.63，S 乙2=0.51，S 丙
2=0.42，S 丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【考点】方差．菁优网版权所有
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
【解答】解：∵S 甲2=0.63，S 乙2=0.51，S 丙2=0.42，S 丁2=0.45，
∴S 甲2＞S 乙2＞S2 丁＞S2 丙，
∴成绩最稳定的是丙．
故选：C．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较
集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，AB∥CD，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，EP⊥EF，
与∠EFD 的平分线FP 相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF 的度数是（ ）
A．25°
B．65°
C．75°
D．85°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】由题可直接求得∠BEF，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知∠DFE，根据角平
分线的性质可求得∠EFP，最后根据三角形内角和求出∠EPF．
【解答】解：∵EP⊥EF，
∴∠PEF=90°，
∵∠BEP=40°，
∴∠BEF=∠PEF+∠BEP=130°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=180°﹣∠BEF=50°，
∵FP 平分∠EFD，
∴∠EFP=0.5×∠EFD=25°，
∴∠P=180°﹣∠PEF﹣∠EFP=65°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义；熟记：两直线平行，
同旁内角互补；求出∠EFD 的度数是解决问题的突破口．
9．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）下列命题中，假命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．等腰三角形的两个底角相等
C．同角（等角）的补角相等
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用平行线的判定、等腰三角形的性质、补角的定义及三角形的外角的性质分别判断
后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；
B、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题；
C、同角（等角）的补角相等，正确，为真命题；
D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，为真命题．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的判定、等腰三角形的
性质、补角的定义及三角形的外角的性质，难度不大．
10．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）2015 年亚洲杯足球冠军联赛恒大队广州主场，小李在网上
预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10 张，总价为5600 元．其中小组赛球票每张500
元，淘汰赛每张800 元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？设小李预定了小组
赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各x 张，y 张，根据10 张球票共5600 元，列方程
组求解．
【解答】解：设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各x 张，y 张，
由题意得，
，
故选C
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组求解．
11．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，长方形ABCD 的边AB=1，BC=2，AP=AC，则点P 所
表示的数是（ ）
A．5 B．﹣2.5 C．
D．
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理求出长方形ABCD 的对角线AC 的长，即为AP 的长，进而求出点P 所
表示的数．
【解答】解：∵长方形ABCD 的边AB=1，BC=2，
∴AC=
=
，
∴AP=AC=
，
∴点P 所表示的数为﹣
．
故选D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理求出长方形ABCD 的对角线AC 的长是解题
的关键．
12．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之
间的函数关系如图4 所示，已知开始1 小时的行驶速度是60 千米/时，那么1 小时以后的速度
是（ ）
A．70 千米/时B．75 千米/时C．105 千米/时
D．210 千米/时
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】直接利用函数图象得出汽车行驶3 小时一共行驶210km，再利用开始1 小时的行驶速
度是60 千米/时，进而得出1 小时后的平均速度．
【解答】解：由题意可得：汽车行驶3 小时一共行驶210km，
则一小时后的平均速度为：（210
60
﹣
）÷2=75（km/h），
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
二、填空题（3*4=12 分）
13．（3 分）（2016•广东）9 的算术平方根是
3
．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】9 的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2=9，
∴9 的算术平方根是|±3|=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
14．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，根据图象
可得，二元一次方程组
的根是
．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣2，﹣1）；那么交点坐标同时满足两个函数
的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为
方程组的解．
【解答】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P（﹣2，﹣1），
即x=
2
﹣，y=
1
﹣同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y 的方程组
的解是
．
故答案为：
．
【点评】此题考查一次函数与方程组问题，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的
一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解
就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15．
（3 分）
（2015 秋•宝安区期末）去年“双11”购物节的快递量暴增，某快递公司要在街道旁
设立一个派送还点，向A、B 两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B
的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，
测得坐标A（﹣2，2）、B（6，4），则派送点的坐标是 （
，
0 ）
．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标确定位置．菁优网版权所有
【分析】可先找点A 关于x 轴的对称点C，求得直线BC 的解析式，直线BC 与x 轴的交点就
是所求的点．
【解答】解：作A 关于x 轴的对称点C，则C 的坐标是（﹣2，﹣2）．
设BC 的解析式是y=kx+b，
则
，
解得：
，
则BC 的解析式是y=
x﹣
．
令y=0，解得：x=
．
则派送点的坐标是（
，0）．
故答案是（
，0）．
【点评】本题考查了对称的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确确定派送点的位置是
关键．
16．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，△ABC 中，AB=6，BC=8，AC=10，把△ABC 沿AP 折
叠，使边AB 与AC 重合，点B 落在AC 边上的B′处，则折痕AP 的长等于
3
．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】首先证明∠B=90°，设PB=PB′=x，在RT△PB′C 中利用勾股定理求出x，再在
RT△APB 中利用勾股定理求出AP 即可．
【解答】解：∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°
∵△APB′是由APB 翻折，
∴AB=AB′=6，PB=PB′，∠B=∠AB′P=∠PB′C=90°设PB=PB′=x，
在RT△PB′C 中，∵B′C=AC
AB=4
﹣
，PC=8
x
﹣，
∴x2+42=（8
x
﹣）2，
∴x=3，
∴AP=
=
=3
，
故答案为3
．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明∠B=90°是解题的关
键，属于中考常考题型．
三、解答题（共52 分）
17．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）计算
（1）
（2）
．
【考点】实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则结合零指数幂的性质化简求出答案；
（2）首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：（1）
=
+2+1
=
+3；
（2）
=3
2
﹣
2
﹣，
=
2
﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）（1）
（2）
．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）
，
把①代入②得：x+4x
6=14
﹣
，
解得：x=4，
把x=4 代入①得：y=5，
则方程组的解为
；
（2）
，
①×3+②得：11x=
11
﹣
，即x=
1
﹣，
把x=
1
﹣代入①得：y=2，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）迎接学校“元旦”文艺汇演，八年级某班的全体同学捐款
购买了表演道具，经过充分的排练准备，最终获得了一等奖．班长对全体同学的捐款情况绘
制成下表：
捐款金额
5 元
10 元
15 元
20 元
捐款人数
10 人
15 人
5 人
由于填表时不小心把墨水滴在了统计表上，致使表中数据不完整，但知道捐款金额为10 元
的人数为全班人数的30%，结合上表回答下列问题：
（1）该班共有
50
名同学；
（2）该班同学捐款金额的众数是
10
元，中位数是
12.5
元．
（3）如果把该班同学的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为20 元的人数所对的扇形
圆心角为
36
度．
【考点】众数；扇形统计图；中位数．菁优网版权所有
【分析】（1）由于知道捐款金额为10 元的人数为全班人数的36%，由此即可求出该班共有多
少人；
（2）首先利用（1）的结果计算出捐15 元的同学人数，然后利用中位数、众数的定义即可求出
捐款金额的众数和中位数；
（3）由于捐款金额为20 元的人数为12 人，由此求出捐款金额为20 元的人数是总人数的百分
比，然后乘以360°就知道扇形的圆心角．
【解答】解：（1）∵15÷30%=50，
∴该班共有50 人；
（2）∵∵捐15 元的同学人数为50﹣（10+15+5+）=20，
∴学生捐款的众数为10 元，
又∵第25 个数为10，第26 个数为15，
∴中位数为（10+15）÷2=12.5 元；
（3）依题意捐款金额为20 元的人数所对应的扇形圆心角的度数为360°×
=36°．
故答案为：50，15，12.5，36．
【点评】此题考查了一组数据的众数、中位数和扇形统计图等知识，解题的关键是从统计表中
整理出有关解题信息，难度不大．
20．（6 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD 中，点F 是BC 中点，连接AF 并延长，
交于DC 的延长线于点E，且∠1=∠2．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据AAS 即可判定△ABF≌△ECF．
（2）利用平行四边形对角相等即可证明．
【解答】（1）证明：在△ABF 和△ECF 中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
（2）解：∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥ED（内错角相等，两直线平行），
∵AD∥BC（已知），
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴∠D=∠B=125°（平行四边形的对角相等）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性
质证明角相等是解题的关键．属于中考常考题型．
21．（6 分）（2015 秋•宝安区期末）列方程解应用题：
小张第一次在商场购买A、B 两种商品各一件，花费60 元；第二次购买时，发现两种商品的价
格有了调整：A 商品涨价20%，B 商品降价10%，购买A、B 两种商品各一件，同样花费60 元．
求A、B 两种商品原来的价格．
【考点】二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】设A 种商品原来的价格为x 元，B 种商品原来的价格为y 元，根据题意列出两个二元
一次方程，解方程组求出x 和y 的值即可．
【解答】解：设A 种商品原来的价格为x 元，B 种商品原来的价格为y 元，
根据题意可得：
，
整理得：
，
由①×1.2﹣②得
．
答：A 商品原来的价格为20 元，B 商品价格为40 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系列
出二元一次方程组，此题难度不大．
22．
（8 分）
（2015 秋•宝安区期末）某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是0.4 万
元．图中的直线l1表示该品牌电脑一天的销售收入y1（万元）与销售量x（台）的关系，已知商
场每天的房租、水电、工资等固定支出为3 万元．
（1）直线l1对应的函数表达式是
y=0.8x
，每台电脑的销售价是
0.8
万元；
（2）写出商场一天的总成本y2（万元）与销售量x（台）之间的函数表达式：
y 2=0.4x
+ 3
；
（3）在图的直角坐标系中画出第（2）小题的图象（标上l2）；
（4）通过计算说明：每天销售量达到多少台时，商场可以盈利．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）由函数图象知，y 与x 成正比例函数关系且过（5，4），待定系数法可求得直线l1
对应的函数表达式，再根据每台电脑售价=每天销售收入÷销售量可得；
（2）根据：每天总成本=电脑的总成本+每天的固定支出，可列函数关系式；
（3）根据（2）中函数关系式，确定两点（0，3），（5，5），作射线即可；
（4）根据：商场每天利润=电脑的销售收入﹣每天的总成本，列出函数关系式，根据题意得到
不等式、解不等式即可．
【解答】解：（1）设y=kx，将（5，4）代入，得k=0.8，故y=0.8x，
每台电脑的售价为：
=0.8（万元）；
（2）根据题意，商场每天的总成本y2=0.4x+3；
（3）如图所示，
（3）商场每天的利润W=y
y2=0.8x
﹣
﹣（0.4x+3）=0.4x
3
﹣，
当W＞0，即0.4x
3
﹣＞0 时商场开始盈利，解得：x＞7.5．
答：每天销售量达到8 台时，商场可以盈利．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，熟悉一次函数解析式的求法、图象的画法及根据
实际问题列函数关系式是一次函数的基础．
23．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，长方形AOBC 在直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B
在x 轴上，已知点C 的坐标是（8，4）．
（1）求对角线AB 所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB 的垂直平分线MN 交x 轴于点M，连接AM，求线段AM 的长；
（3）若点P 是直线AB 上的一个动点，当△PAM 的面积与长方形OABC 的面积相等时，求点
P 的坐标．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B 点的坐标，设出对角线AB 所在直线
的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；
（2）由相似三角形的性质找到BM 的长度，再结合OM=OB
BM
﹣
得出OM 的长，根据勾股定
理即可得出线段AM 的长；
（3）先求出直线AM 的解析式，设出P 点坐标，由点到直线的距离求出AM 边上的高h，再结
合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P 点坐标．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC 为长方形，且点C 的坐标是（8，4），
∴AO=CB=4，OB=AC=8，
∴A 点坐标为（0，4），B 点坐标为（8，0）．
设对角线AB 所在直线的函数关系式为y=kx+b，
则有
，解得：
，
∴对角线AB 所在直线的函数关系式为y=﹣
x+4．
（2）∵四边形AOBC 为长方形，且MN⊥AB，
∴∠AOB=∠MNB=90°，
又∵∠ABO=∠MBN，
∴△AOB∽△MNB，
∴
．
∵AO=CB=4，OB=AC=8，
∴由勾股定理得：AB=
=4
，
∵MN 垂直平分AB，
∴BN=AN=
AB=2
．
=
=
=
，即MB=5．
OM=OB
MB=8
5=3
﹣
﹣
，
由勾股定理可得：
AM=
=5．
（3）∵OM=3，
∴点M 坐标为（3，0）．
又∵点A 坐标为（0，4），
∴直线AM 的解析式为y=﹣
x+4．
∵点P 在直线AB：y=﹣
x+4 上，
∴设P 点坐标为（m，﹣
m+4），
点P 到直线AM：
x+y
4=0
﹣
的距离h=
=
．
△PAM 的面积S△PAM=
AM•h=
|m|=SOABC=AO•OB=32，
解得m=±
，
故点P 的坐标为（
，﹣
）或（﹣
，
）．
【点评】本题考查了坐标系中点的意义、相似三角形的判定及性质、勾股定义、点到直线的距
离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B 点的坐
标；（2）由相似三角形的相似比找出BM 的长度；（3）结合点到直线的距离、三角形和长方形
的面积公式找到关于m 的一元一次方程．本题属于中等题，难度不大，（1）小问容易得出结
论；（2）没有直接找OM 长度，而是利用相似三角形找出BM 的长度，此处部分学生可能会失
分；（3）难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P 有两个．
参与本试卷答题和审题的老师有：zhjh；sd2011；HJJ；知足长乐；三界无我；gbl210；73zzx；家
有儿女；sjzx；1987483819；曹先生；弯弯的小河；sks；733599（排名不分先后）
菁优网
2016 年12 月16 日
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根．记为a．
（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是
非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方
根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、
2 的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，
③含有π 的数，如分数π2 是无理数，因为π 是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如
等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多一个0）．
（3）含有π 的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如
是有理数，而不是无
理数．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴
上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝
对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边
的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am
m
﹣=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00≠1．
6．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定
的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中
一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将
这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代
入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x
（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把
求得的x、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的
系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等
或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次
方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任
意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原
方程组的解，用{x=ax=b 的形式表示．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是
同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成
两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息
的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎
样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞
0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
x
①轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=
b
﹣．
11．一次函数图象与系数的关系
由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半
轴；当b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
k
①＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；
k
②＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；
k
③＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；
k
④＜0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．
12．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b 为
常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0 时，求相应
的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元
一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
17．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关
键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段
的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个
正整数的直角三角形的斜边．
18．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事
项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标
（1）关于x 轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y 轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y 轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
20．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L 上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通
过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的
交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，
多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
22．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是
各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；
按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
23．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
24．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
25．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1
x¯
﹣
）2+（x2
x¯
﹣
）2+…+（xn
x¯
﹣
）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
