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湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市）2021 年中考数学真题
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，满分30 分．）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 3.14
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】A、
是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、
，是有理数，此项不符题意；
C、
是无理数，此项符合题意；
D、
是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图
定义即可得．
【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，则这个几何体的左视图是由两个大小不一的同心圆
组成，
观察四个选项可知，只有选项A 符合，
故选：A．
【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键．
3. “大国点名没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约
､
1411780000 人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：科学记数法：将一个数表示成
的形式，其中
，
为整数，这种记数的方法
叫做科学记数法，
则
，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
4. 如图，在
中，
，点D 在
上，
，若
，则
的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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2
【分析】先根据平角的定义可得
，再根据平行线的性质可得
，然后根据
直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：
，
，
，
，
在
中，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】A、
，此项正确，符合题意；
B、
，此项错误，不符题意；
C、
，此项错误，不符题意；
D、
，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
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3
C. 一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D. 甲乙两人在相同的条件下各射击
､
10 次，他们成绩的平均数相同．方差分别是
，
，
则甲的成绩更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的意义逐项判断即可得．
【详解】A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此项说法错误；
B、“明天下雨概率为
”，是指明天下雨的可能性有
，此项说法错误；
C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数是6 和7，此项说法错误；
D、因为
，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件、概率、中位数和众数、方差，掌握理解各定义是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数
的图象是过原点的射线
B. 直线
经过第一二三象限
､
､
C. 函数
，y 随x 增大而增大
D. 函数
，y 随x 增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】A、函数
的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线
经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数
，
随
增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数
，
随
增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、
反比例函数的图象与性质是解题关键．
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4
8. 用半径为
，圆心角为
的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．
【详解】解：设这个圆锥底面半径为
，
由题意得：
，
解得
，
即这个圆锥底面半径为
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥
侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．
9. 若抛物线
与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为
，P 为这条抛物线的顶点，则点
P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】设抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，且
，根据“两个交点间的距离为
4，对称轴为
”建立方程可求出
的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点
的坐标，然后根据关于
轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】解：设抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，且
，
由题意得：
，解得
，
则抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，
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5
将点
代入
得：
，解得
，
则抛物线的解析式为
，
顶点
的坐标为
，
则点
关于
轴的对称点的坐标是
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于
轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解
题关键．
10. 如图，在正方形
中，
，E 为对角线
上与A，C 不重合的一个动点，过点E 作
于点F，
于点G，连接
．下列结论：
①
；②
；③
；④
的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】延长
，交
于点
，交
于点
，连接
，交
于点
，先根据正方形的性质、三
角形全等的判定定理与性质得出
，再根据矩形的判定与性质可得
，由此可判断①；先
根据三角形全等的性质可得
，再根据矩形的性质可得
，然后根据等腰三角形的
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性质可得
，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得
，从而可
得
，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当
时，
取得最小值，
再解直角三角形可得
的最小值，从而可得
的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长
，交
于点
，交
于点
，连接
，交
于点
，
四边形
是正方形，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
四边形
矩形，
，
，即结论①正确；
，
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，
，即结论③正确；
，
，
，
，即
，结论②正确；
由垂线段最短可知，当
时，
取得最小值，
此时在
中，
，
又
，
的最小值与
的最小值相等，即为
，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3 个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助
线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
二､填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，满分18 分．）
11. 分解因式：
________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式
，再利用平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】解：原式
，
，
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故答案为：
．
【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子
来量竿，却比竿子短一托．如果1 托为5 尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，
如果用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5 尺，则绳索长几尺．）
【答案】20
【解析】
【分析】设绳索长
尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设绳索长
尺，
由题意得：
，
解得
，
即绳索长20 尺，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．
13. 不透明的布袋中有红黄蓝
､
､
3 种只是颜色不同的钢笔各1 支，先从中摸出1 支，记录下它的颜色，将它
放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1 支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色黄色各一支的概率为
､
_________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得这两次摸出的钢笔的所有可能的结果，再找出这两次摸出的钢笔为红
色､黄色各一支的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】解：将红､黄､蓝3 种只是颜色不同的钢笔分别记为
、
、
，
由题意，画出树状图如下：
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由图可知，这两次摸出的钢笔的所有可能的结果共有9 种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两
次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果有2 种，
则所求的概率为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
14. 关于x 的方程
有两个实数根
．且
．则
_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得
，再根据
可得一
个关于
的方程，解方程即可得
的值．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
化成整式方程为
，
解得
或
，
经检验，
是所列分式方程的增根，
是所列分式方程的根，
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故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的
关系是解题关键．
15. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为
，从A 处沿水平方向飞行至B
处需
，同时在地面C 处分别测得A 处的仰角为
，B 处的仰角为
．则这架无人机的飞行高度大约
是_______
（
，结果保留整数）
【答案】20
【解析】
【分析】过点
作
于点
，过点
作水平线的垂线，垂足为点
，先解直角三角形求出
的长，从而可得
，再根据直角三角形的性质求出
的长即可得．
【详解】解：如图，过点
作
于点
，过点
作水平线的垂线，垂足为点
，
由题意得：
，
，
，
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在
中，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
即这架无人机的飞行高度大约是
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1 个单位长度，再竖直向下平移1
个单位长度得到点
；接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向上平移2 个单位长度得到点
；
接着水平向左平移3 个单位长度，再竖直向下平移3 个单位长度得到点
；接着水平向右平移4 个单位长
度，再竖直向上平移4 个单位长度得到点
，…，按此作法进行下去，则点
的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点
的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
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【详解】解：由题意得：
，即
，
，即
，
，即
，
，即
，
观察可知，点
的坐标为
，其中
，
点
的坐标为
，其中
，
点
的坐标为
，其中
，
归纳类推得：点
的坐标为
，其中
为正整数，
，
点
的坐标为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三解答题（本大题共
､
8 个题，满分72 分）
17. （1）计算：
；
（2）解分式方程：
．
【答案】（1）8；（2）
．
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
【详解】解：（1）原式
，
，
；
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（2）
，
方程两边同乘以
得：
，
移项、合并同类项得：
，
系数化为1 得：
，
经检验，
是原分式方程的解，
故方程的解为
．
【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法
是解题关键．
18. 已知
和
都为正三角形，点B，C，D 在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，
不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当
时，作
的中线
；
（2）如图2，当
时，作
中线
．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【解析】
【分析】（1）连接
，交
于点
即可；
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（2）先延长
，相交于点
，再连接
，相交于点
，然后连接
，交
于点
即
可．
【详解】解：（1）如图，连接
，交
于点
，则
即为所求．
（2）分以下三步：
①延长
，相交于点
，
②连接
，相交于点
，
③连接
，交
于点
，
则
即为所求．
【点睛】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练
掌握等边三角形的性质是解题关键．
19. 为迎接中国共产党建党100 周年，某校举行“知党史，感党恩，童心的党”系列活动，现决定组建四个
活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随
机抽取了本校部分学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成如下两幅不完
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整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为
，请结合下面两幅图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中“C”的圆心角度数为________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500 名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组．
【答案】（1）50，
；（2）图见解析；（3）约有450 人．
【解析】
【分析】（1）根据“
”的条形统计图和扇形统计图的信息可得本次调查的学生总人数，根据“
”的
圆心角可得“
”所占百分比，从而可得“
”所占百分比，再将其乘以
即可得；
（2）根据“
”、“
”所占百分比求出它们的人数，由此补全条形统计图即可；
（3）利用1500 乘以“
”所占百分比即可得．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为
（名），
“
”所占百分比为
，
则“C”的圆心角度数为
，
故答案为：50，
；
（2）喜欢参加“
”的人数为
（名），
喜欢参加“
”的人数为
（名），
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则补全条形统计图如下所示：
（3）
（人），
答：估计该校约有450 人喜欢参加“C”活动小组．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题
关键．
20. 如图：在平面直角坐标系中，菱形
的顶点D 在y 轴上，A，C 两点的坐标分别为
，
直线
与双曲线：
交于C，
两点．
（1）求双曲线
的函数关系式及m 的值；
（2）判断点B 是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当
时，请直接写出x 的取值范围．
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【答案】（1）
，
；（2）点
在双曲线上，理由见解析；（3）
或
．
【解析】
【分析】（1）根据点
，利用待定系数法可求出双曲线
的函数关系式，再将点
代入
双曲线
的解析式即可求出
的值；
（2）先利用待定系数法求出直线
的解析式，从而可得点
的坐标，再利用菱形的性质、点坐标的平
移变换规律求出点
的坐标，由此即可得出结论；
（3）根据点
的坐标，利用函数图象法即可得．
详解】解：（1）由题意，将点
代入
得：
，
则双曲线
的函数关系式为
，
将点
代入得：
；
（2）点
在双曲线上，理由如下：
由（1）可知，点
的坐标为
，
将点
代入
得：
，解得
，
则
，
当
时，
，即
，
先将点
向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位可得到点
，
四边形
是菱形，
点
平移至点
的方式与点
平移至点
的方式相同，
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，
，即
，
对于双曲线
，
当
时，
，
即点
在双曲线上；
（3）
表示的是直线
的图象位于双曲线
的图象的上方，
则结合函数图象得：
或
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、菱形的性质、点坐标的平移变换规律，熟练掌握待定
系数法是解题关键．
21. 如图，
为
直径，D 为
上一点，
于点C，交
于点E，
与
的延长线交
于点F，
平分
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求
和
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
，
．
【解析】
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【分析】（1）连接
，先根据等腰三角形的性质可得
，再根据角平分线的定义可得
，从而可得
，然后根据平行线的判定与性质可得
，最后根
据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接
，过点
作
于点
，先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得
，再根据角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质可得
，从而可得
，然后在
中，利用勾股定理可得
的长，从而可
得
的长；先根据圆周角定理可得
，再根据平行线的性质可得
，从
而可得
，然后在
中，可得
，最后在
中，解
直角三角形即可得
的长．
【详解】证明：（1）如图，连接
，则
，
，
平分
，
，
，
，
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20
，
，
又
是
的半径，
是
的切线；
（2）如图，连接
，过点
作
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
（角平分线的性质），
在
和
中，
，
，
，
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，
在
中，
，
，
由圆周角定理得：
，即
，
，
，
，
解得
，
在
中，
，
，
在
中，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三
角形和全等三角形是解题关键．
22. 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6 元/件的简装消毒液低价销售．为
此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关
系式：
，下表是某4 个月的销售记录．每月销售量
（万件）与该月销售价x（元/件）
之间成一次函数关系
．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当销售价为8 元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
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22
（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【答案】（1）
；（2）4 万元；（3）当销售价
定为7 元/件时，该月纯收入最大．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得；
（2）将
代入
求出
的值，代入
与
的函数关系式求出该月的销售量，再利用
乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为
万元，先根据纯收入的计算公式求出
与
之间的函数关系式，再利用二次函数
的性质求解即可得．
【详解】解：（1）设
与
的函数关系式为
，
将点
代入得：
，解得
，
则
与
的函数关系式为
；
（2）当
时，
，
，
则
（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4 万元；
（3）设该月纯收入为
万元，
由题意得：
，
整理得：
，
由二次函数的性质可知，在
内，当
时，
取得最大值，最大值为32，
答：当销售价
定为7 元/件时，该月纯收入最大．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
23. 已知
和
都为等腰三角形，
．
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23
（1）当
时，
①如图1，当点D 在
上时，请直接写出
与
的数量关系；_________；
②如图2，当点D 不在
上时，判断线段
与
的数量关系，并说明理由；
（2）当
时，
①如图3，探究线段
与
的数量关系，并说明理由；
②当
时，请直接写出
的长．
【答案】（1）①
；②
，理由见解析；（2）①
，理由见解析；②5．
【解析】
【分析】（1）①先根据等边三角形的判定与性质可得
，再根据线段的和差即可得；
②先根据等边三角形的性质可得
，从而可得
，再根据三角形全等
的判定定理与性质即可得出结论；
（2）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
，从而可得
，再根据相似三角形的判定可得
，然后根据相似三角形的性质即可得出
结论；
②设
与
交于点
，先根据（2）①的结论可得
，再根据相似三角形的判定与
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性质可得
，从而可得
，然后利用勾股定理、线段的和差可得
，最后在
中，解直角三角形即可得．
【详解】解：（1）①当
时，
，
和
都为等腰三角形，
和
都为等边三角形，
，
，即
，
故答案为：
；
②
，理由如下：
和
都为等边三角形，
，
，即
，
在
和
中，
，
，
；
（2）①当
时，
，
和
都为等腰直角三角形，
，
，即
，
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设
，
则
，
，
在
和
中，
，
，
，
即
；
②如图，设
与
交于点
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，即
，
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解得
，
，
在
中，
，
在
中，
，
，
则在
中，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难
的是题（2），正确找出相似三角形是解题关键．
24. 如图1，已知
，
中
，动点P 从点A 出发，以
的速度在线
段
上向点C 运动，
分别与射线
交于E，F 两点，且
，当点P 与点C 重合时停止
运动，如图2，设点P 的运动时间为
，
与
的重叠部分面积为
，y 与x 的函数关系由
和
两段不同的图象组成．
（1）填空：①当
时，
______
；
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②
______；
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）当
时，请直接写出x 的取值范围．
【答案】（1）①10；②
；（2）
；（3）
．
【解析】
【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
，再根据
时，
即可得；
②先根据运动速度和时间求出
的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）先求出当点
与点
重合时，
的值，再分
和
两种情况，解直角三角形求出
的长，然后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分
和
两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）①
，
是等腰直角三角形，
，
由图可知，当
时，
，
解得
或
（不符题意，舍去），
故答案为：10；
②由题意得：当
时，
，
则
，
故答案为：
；
（2）由函数图象可知，当
时，点
与点
重合，如图所示：
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，
，
，
在
中，
，
，
则当点
与点
重合时，
，
①当
时，
，
，
则
；
②当
时，
如图，设
交
于点
，过点
作
，交
延长线于点
，连接
，
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，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，即
，
解得
，
，
则
，
，
，
综上，
；
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（3）①当
时，
，
令
，解得
或
（舍去），
在
内，
随
的增大而增大，
当
时，
；
②当
时，
，
此二次函数的对称轴为
，
则由二次函数的性质可知，当
时，
随
的增大而增大；当
时，
随
的增大而减
小，
当
时，
，
当
时，
，
则当
时，
取得最小值，最小值为36，
即在
内，都有
，
综上，当
时，
的取值范围为
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的
是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
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