菱 形
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.(海南中考)如图,将△ABC 沿BC 方向平移得到
△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED
为菱形的是( )
A.AB=BC
B.AC=BC
C.∠B=60°
D.∠ACB=60°
2.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C 的村民在
公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5 千
米,村庄C 到公路l1的距离为4 千米,则村庄C 到公路l2的距离是(
)[来源:学科网ZXXK]
A.3 千米
B.4 千米
C.5 千米
D.6 千米
3.(玉林中考)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、
乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC 的垂直平分线MN 分别交AD,AC,BC 于M,O,N,连接
AN,CM,则四边形ANCM 是菱形.
乙:分别作∠A,∠B 的平分线AE,BF,分别交BC,AD 于E,F,连接EF,则
四边形ABEF 是菱形.根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误
B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.(潍坊中考)如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边形,且
OB=OD,请你添加一个适当的条件 ,使ABCD
成为菱形.(只需添加一个即可)
5.如图,在四边形ABCD 中,AC=BD=6,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的
中点,则EG2+FH2= .
6.(宜宾中考)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD 为AC 的中线,过点C
作CE⊥BD 于点E,过点A 作BD 的平行线,交CE 的延长线于点F,在AF
的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG 的
周长为 .
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)已知:如图所示,平行四边形ABCD 中,M,N 分
别是DC,AB 的中点,若∠A=60°,AB=2AD.
求证:MN⊥BD.
8.(8 分)(2013·盐城中考)如图,在平行四边形ABCD
中,E 为BC 边上的一点,连接AE,BD 且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD.
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD 是菱形.
【拓展延伸】
9.(10 分)△ABC 是等边三角形,点D 是射线BC 上的一个动点(点D 不
与点B,C 重合),△ADE 是以AD 为一边的等边三角形,过点E 作BC 的
平行线,分别交射线AB,AC 于点F,G,连接BE.[来源:学科网]
(1)如图(a)所示,当点D 在线段BC 上时.
①求证:△AEB≌△ADC.
②探究四边形BCGE 是怎样的特殊四边形?并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点D 在BC 的延长线上时,直接写出(1)中的两个
结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当点D 运动到什么位置时,四边形BCGE 是菱形?
并说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.由平移,得AC∥DE,AC=DE,∴四边形ACED 是平行四边
形;
又∵BC=CE,∴当AC=BC 时,AC=CE,∴四边形ACED 是菱形.[来源:学科网ZXXK]
2.【解析】选B.如图,连接AC,作CF⊥l1,CE⊥l2;
∵AB=BC=CD=DA[来源:Z+xx+k.Com]
=5 千米,
∴四边形ABCD 是菱形,
∴∠CAE=∠CAF,
∴CE=CF=4 千米.
3.【解析】选C.甲的作法正确;
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,
∵MN 是AC 的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOM 和△CON 中,
∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,
∴四边形ANCM 是平行四边形,
∵AC⊥MN,
∴四边形ANCM 是菱形.
乙的作法正确;
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF 平分∠ABC,AE 平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF 是平行四边形.
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF 是菱形.
4.【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,已知AC⊥BD,所
以只需添加条件使四边形ABCD 为平行四边形即可,答案不唯一,如
OA=OC 等.
答案:OA=OC(答案不唯一)
5. 【解析】连接EF,FG,GH,HE,∵点E,F,G,H 分别是
AB,BC,CD,DA 的中点,
∴EF∥AC∥GH,EF=GH= AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG
= BD=3,所以四边形EFGH 是菱形,∴EG⊥FH.
设EG,FH 的交点为O.
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=3
6.
答案:36
6.【解析】∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD 是平行四边形,
∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,
又∵点D 是AC 的中点,∴BD=DF= AC,
∴四边形BGFD 是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
在Rt△ACF 中,AF2+CF2=AC2,
即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,
故四边形BDFG 的周长=4GF=20.
答案:20
7.【证明】连接DN,BM.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB
CD,
∵M,N 分别是DC,AB 的中点,
∴DM= DC,BN= AB=AN,
∴DM
BN,
∴四边形BMDN 是平行四边形.
∵AB=2AD,AB=2AN,∴AD=AN.
∵∠A=60°,∴△ADN 是等边三角形,
∴DN=AN=BN,∴平行四边形BMDN 是菱形,
∴MN⊥BD.
8.【证明】(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE=∠EAD.
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.[来源:Zxxk.Com]
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴四边形ABCD 是菱形.
9.【解析】(1)①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE 是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE 是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形
BCGE 是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE 是平行四边形,
∴四边形BCGE 是菱形.
