第十八章
一、选择题(每小题4 分,共28 分)
1.已知四边形ABCD 是平行四边形,则下列各图中∠1 与∠2 一定不相
等的是
( )
2.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC,BD 的长分别是
6cm,8cm,AE⊥BC 于点E,则AE 的长是( )
A.5
cm
B.2
cm
C.
cm
D.
cm
3.如图,在平行四边形ABCD 中,DE 是∠ADC 的平分线,
F 是AB 的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE 为( )
A.4∶1∶2
B.4∶1∶3
C.3∶1∶2
D.5∶1∶2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
4.(邵阳中考)如图所示,点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点,
且AD=DE,连接BE 交CD 于点O,连接AO,下列结论不正确的是( )
A.△AOB≌△BOC
B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD
D.△AOD≌△BOC
5.如图,过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC,BD
的平行线,分别相交于E,F,G,H 四点,则四边形
EFGH 为( )
A.平行四边形
B.矩形[来源:www.shulihua.net]
C.菱形
D.正方形
6.(威海中考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直
平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且BE=BF,添加一个
条件,仍不能证明四边形BECF 为正方形的是( )
A.BC=AC
B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
7.如图,△ABC 中,AB=AC,点D,E 分别是边AB,AC 的中
点, 点G,F 在BC 边上, 四边形DEFG 是正方形. 若
DE=2cm,则AC 的长为( )
A.3
cm
B.4cm
C.2
cm
D.2
cm
二、填空题(每小题5 分,共25 分)
8. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 过点C 的直线
CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE 的度数为 .
9.(厦门中考)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点
O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24 厘
米,△OAB 的周长是18 厘米,则EF= 厘米.
10.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若
AC=4,则四边形CODE 的周长是 .
11.(牡丹江中考)如图,边长为1 的菱形ABCD 中,∠DAB=60°.连接对
角线AC,以AC 为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连接AE,再以
AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱
形的边长是 .
12.( 钦州中考) 如图, 在正方形ABCD 中,E 是AB 上一
点,BE=2,AE=3BE,P 是AC 上一动点,则PB+PE 的最小值是 .
三、解答题(共47 分)
13.(10 分)(大连中考)如图,在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别在
AD,BC 上,且AE=CF.
求证:BE=DF.
14.(12 分)(2013·晋江中考)如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,点E,F
分别在边CD,DA 上,且CE=AF.求证:BE=BF.
15.(12 分)(铁岭中考)如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,
点O 为AB 的中点,连接DO 并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD 是矩形.
(2)当△ABC 满足什么条件时,矩形AEBD 是正方形,并说明理由.
16.(13 分)(济宁中考)如图1,在正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,DC
上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:AF=BE.
(2)如图2,在正方形ABCD 中,M,N,P,Q 分别是边AB,BC,CD,DA 上的点,
且MP⊥NQ,判断MP 与NQ 是否相等?并说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.A 项,根据两直线平行内错角相等可得到,故正确;B 项,
根据对顶角相等可得到,故正确;C 项,根据两直线平行内错角相等可得
到∠1=∠ACB,∠2 为一外角,所以不相等,故不正确;D 项,根据平行四边
形对角相等可得到,故正确.
2.【解析】选D.由于菱形ABCD 的对角线AC,BD 的长分别是
6cm,8cm,所以菱形边长为
=5,所以×6×8=5AE,解得AE=
.
3.【解析】选A.∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠CDE=∠DEA.
∵DE 是∠ADC 的平分线,∴∠CDE=∠ADE,
∴∠DEA=∠ADE,∴AE=AD=4.
∵F 是AB 的中点,∴AF= AB=3.
∴EF=AE-AF=1,BE=AB-AE=2,
∴AE∶EF∶BE=4∶1∶2.
4.【解析】选A.∵AD=DE,DO∥AB,
∴OD 为△ABE 的中位线,∴OD=OC,
∵在△AOD 和△EOD 中,
∴△AOD≌△EOD;
∵在△AOD 和△BOC 中,
∴△AOD≌△BOC;[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
∵△AOD≌△EOD,∴△BOC≌△EOD;
故B,C,D 选项均正确.
5.【解析】选C.∵EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,又EF∥AC,∴四边形AEFC
是平行四边形,∴EF=AC, 同理GH=AC,EH=BD,FG=BD.∵在矩形
ABCD 中,AC=BD,
∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH 是菱形.
6.【解析】选D.∵EF 垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF 是菱形.
当BC=AC 时,∵∠ACB=90°,则∠A=45°.
∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45°.
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,
∴菱形BECF 是正方形.
当CF⊥BF 时,利用正方形的判定定理得出,菱形BECF 是正方形;
当BD=DF 时,利用正方形的判定得出,菱形BECF 是正方形;
当AC=BF 时,无法得出菱形BECF 是正方形,故选项D 符合题意.
7.【解析】选D.∵点D,E 分别是边AB,AC 的中点,
∴DE= BC,
∵DE=2cm,∴BC=4cm,
∵AB=AC,四边形DEFG 是正方形.
∴△BDG≌△CEF,∴BG=CF=1cm,
∴EC=
,∴AC=2
cm.
8.【解析】设CE 与AD 相交于点F.
∵在平行四边形ABCD 中, 过点C 的直线
CE⊥AB,
∴∠E=90°,
∵∠EAD=53°,
∴∠EFA=90°-53°=37°,∴∠DFC=37°.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠BCE=∠DFC=37°.
答案:37°
9.【解析】∵▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AC+BD=24 厘米,
∴OA+OB=12 厘米.
∵△OAB 的周长是18 厘米,∴AB=6 厘米.
∵点E,F 分别是线段AO,BO 的中点,
∴EF=3 厘米.
答案:3
10.【解析】∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE 是平行四边形.[来源:www.shulihua.net]
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,
∴OD=OC= AC=2,
∴四边形CODE 是菱形,
∴四边形CODE 的周长为4OC=4×2=8.
答案:8
11.【解析】连接DB,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD=AB,AC⊥DB,
∵∠DAB=60°,
∴△ADB 是等边三角形,
∴DB=AD=1,∴BM= ,
∴AM=
,∴AC=
,
同理可得AE=
AC=(
)2,
AG=
AE=3
=(
)3,
按此规律所作的第n 个菱形的边长为(
)n-1.
答案:(
)n-1
12.【解析】如图,连接DE,交AC 于点P,连接BP,
则此时PB+PE 的值最小.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴B,D 关于AC 对称,
∴PB=PD,
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2,AE=3BE,
∴AE=6,AB=8,
∴DE=
=10,
故PB+PE 的最小值是10.
答案:10
13.【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,∴DE=BF,DE∥BF,
∴四边形DEBF 是平行四边形,
∴BE=DF.
14.【证明】∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C.
在△ABF 和△CBE 中,
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∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴BF=BE.
15.【解析】(1)∵点O 为AB 的中点,连接DO 并延长到点E,使
OE=OD,
∴四边形AEBD 是平行四边形,
∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AEBD 是矩形.即四边形AEBD 是矩形.
(2)当∠BAC=90°时,矩形AEBD 是正方形.理由:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,
∴AD=BD=CD,
∵由(1)得四边形AEBD 是矩形,
∴矩形AEBD 是正方形.
16.【解析】(1)在正方形ABCD 中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,
∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE 和△DAF 中,
∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.
(2)MP 与NQ 相等.
理由如下:如图,过点A 作AF∥MP 交CD 于点F,过点B 作BE∥NQ 交
AD 于点E,
则与(1)的情况完全相同.而MP=AF,NQ=BE,
∴MP=NQ.
