平行四边形的判定
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.(荆门中考)四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,给出下列四
个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.
从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( )
A.3 种
B.4 种
C.5 种
D.6 种
2.若以A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第
四个顶点不可能在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(鄂州中考)如图,已知直线a∥b,且a 与b 之间的距离
为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为
3,AB=2
.试在直线a 上找一点M,在直线b 上找一点
N,满足MN⊥a 且AM+MN+NB 的值最小,则此时AM+NB=( )
A.6
B.8
C.10
D.12
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.(三明中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,请你添加一个条件,使
得四边形ABCD 成为平行四边形,你添加的条件是 .
5.如图,在平行四边形ABCD 中,AE=CG,DH=BF,连接EF,FG,GH,HE,则四
边形EFGH 是 .
6.(十堰中考)如图,▱ABCD 中,∠ABC=60°,E,F 分别在CD 和BC 的延
长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=
,则AB 的长是 .
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)在▱ABCD 中,分别以AD,BC 为边向内作等边△ADE 和等边
△BCF,连接BE,DF.
求证:四边形BEDF 是平行四边形.
8.(8 分)如图所示,AB,CD 交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F 分别为OC,OD
的中点,连接AF,BE,求证AF∥BE.
【拓展延伸】
9.(10 分)如图1,在△OAB 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB
为一边,在△OAB 外作等边三角形OBC,D 是OB 的中点,连接AD 并延长
交OC 于E.
(1)求点B 的坐标.
(2)求证:四边形ABCE 是平行四边形.
(3)如图2,将图1 中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为
FG,求OG 的长.
[来源:Z#xx#k.Com]
答案解析
1.【解析】选B.从四个条件中任选两个,共有6 种选法.若选②、③或选
②、④,则不能使四边形ABCD 是平行四边形.其他4 种选法,即选①、
②或①、③或①、④或③、④,则均能使四边形ABCD 为平行四边形.
2.【解析】选C.根据题意画出图形,如图所示:
分三种情况考虑:①以CB 为对角线作平行四边形ABD1C,此时第四个
顶点D1落在第一象限;
②以AC 为对角线作平行四边形ABCD 2,此时第四个顶点D2 落在第
二象限;
③以AB 为对角线作平行四边形ACBD3,此时第四个顶点D3 落在第
四象限,
则第四个顶点不可能落在第三象限.
3.【解析】选B.作点A 关于直线a 的对称点A',连接
A'B 交直线b 于点N,过点N 作NM⊥直线a,连接
AM,此时AM+MN+NB 的值最小.
∵A 到直线a 的距离为2,a 与b 之间的距离为4,
∴AA'=MN=4,[来源:学科网]
∴四边形AA'NM 是平行四边形,[来源:学.科.网]
∴AM+NB=A'N+NB=A'B,
过点B 作BE⊥AA', 交AA' 于点E, 易得AE=2+4+3=9,AB=2
,A'E=2+3=5,
在Rt△AEB 中,BE=
=
,
在Rt△A'EB 中,A'B=
=8.[来源:学。科。网]
4.【解析】已知AB∥CD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形
来判定.
答案:AB=CD(答案不唯一)
5.【解析】易证△AHE≌△CFG,△DHG≌△BFE,
∴HE=FG,EF=GH,四边形EFGH 是平行四边形.
答案:平行四边形
6.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=CD.∵AE∥BD,
∴四边形ABDE 是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D 为CE 中点.
∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°.
∵EF=
,∴CE=2,∴AB=1.
答案:1
7.【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.
又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形,
∴DE=BF,AE=CF,∠DAE=∠BCF=60°.
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE,
∴∠DCF=∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).
∴DF=BE.∴四边形BEDF 是平行四边形.
8.【证明】如图所示,连接AD,CB,AE,BF,∵AC∥DB,∴∠1=∠2.又
∵AO=BO,∠3 =∠4,∴△ACO≌△BDO(AAS).∴AC=DB.∴四边形ADBC
是平行四边形.∴OC=OD.
∵点
E,F
分别为
OC,OD
的中点
,∴OE= OC,OF=
OD.∴OE=OF.∵OA=OB,∴四边形AFBE 是平行四边形.∴AF∥BE.
[来源:学科网ZXXK]
9.【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,
∴AB=4,OA=4
,∴B(4
,4).
(2)∵△OBC 是等边三角形,∴OC=OB=8.
∵D 点为OB 的中点,∴OD=4.
又∵AD 是Rt△OAB 斜边的中线,
∴AD= OB=OD,
∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.
又∠EOD=60°,∴△OED 为等边三角形,
∴OE=4,∴E(0,4),
∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,
∴四边形ABCE 是平行四边形.
(3)∵GA=GC,∴GA2=GC2.
即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4
)2=(8-OG)2,∴OG=1.
