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【巩固练习】
一、选择题
1. 如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪
生三角形，那么孪生三角形是（ ）
A．不存在
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中
AB、CD 交于0 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似
B．都不相似C．只有（1）相似D．只有（2）相似
3．如图，G 是平行四边形ABCD 的边CD 延长线上一点，BG 交AC 于E，交AD 于F，则图中与
△FGD 相似的三角形有（ ）
A．0 对B．1 对C．2 对D．3 对
4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是（ ）
A．
∠BAC=∠BDC B．∠ABD=∠ACD C
D
5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪
生三角形，那么孪生三角形是（ ）
A．不存在
B．等腰三角形 C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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6．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：（1）
；（2）
；
（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断
△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
7．如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、AC 上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条
件
（只需写一个）．
8．如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC、CD 于
点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1 除外）有
．
9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上（小正方形的
顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5 个格点，请在这5 个格点中选取2 个作为三角形的顶
点，使它和点D 构成的三角形与△ABC 相似，写出所有符合条件的三角形
．
10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对
．
11．如图，在3×4 的方格上，每个方格的边长为1 个单位，△ABC 的顶点都在方格的格点位置．
若点D 在格点位置上（与点A 不重合），且使△DBC 与△ABC 相似，则符合条件的点D 共有
个．
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12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点P 从点B 向点D 运动，当BP 的值是
时，△PAB 与△PCD 是相似三角形．
三、解答题
13. 如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G 分别从点A、B、C 三点同时出发，沿矩
形的边按逆时针方向移动．点E、G 的速度均为2cm/s，点F 的速度为4cm/s，当点F 追上点G
（即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S
（cm2）
（1）当t=1 秒时，S 的值是多少？
（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；
（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G
为顶点的三角形相似？请说明理由．
14．将两块完全相同的等腰直角三角形，摆成如图所示的样子，假设图形中所有的点和线段
都在一个平面内，回答下列问题：
（1）图中有多少个三角形，把它们一一写出来；
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有把它们一一写出来．
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15．如图，在△ABC 和△ADE 中，
=
=
，点B、D、E 在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】∵△ABD∽△CBD，
∴∠ADB=∠BDC
又∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠ADB=∠BDC=
×180°=90°，
∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，
∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ABC 为直角三角形．
故选：C．
2.【答案】A;
【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
∵∠E=75°，∠F=70°，
∴∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF；
如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，
∴
，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB．
故选A．
3.【答案】C；
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【解析】∵ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，
∴图中与△FGD 相似的三角形有2 对，
故选C．
4.【答案】C；
【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；
B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；
C、若
=
，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得
到△AOB∽△COD，故本选项正确．
D、若
=
，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故
本选项错误；
故选C．
5.【答案】C；
【解析】∵△ABD∽△CBD，
∴∠ADB=∠BDC
又∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠ADB=∠BDC= ×180°=90°，
∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，
∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ABC 为直角三角形．
故选：C．
6.【答案】C；
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3 组．
故选C．
二、填空题
7．【答案】如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD：AC=AE：AB 或AD•AB=AE•AC 等；
【解析】∵∠A 是公共角，
∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），
当AD：AC=AE：AB 或AD•AB=AE•AC 时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似），
∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C 或
∠AED=∠B 或AD：AC=AE：AB 或AD•AB=AE•AC 等．
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故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD：AC=AE：AB 或
AD•AB=AE•AC 等．
8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；
【解析】∵CP∥ER，
∴△BCP∽△BER；
∵CP∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵CQ∥AB，
∴△PCQ∽△PAB；
∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．
9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；
【解析】设网格的边长为1．
则AC=
，AB=
，BC=
．
连接DP2P5，
DP5=
，DP2=
，P2P5=
．
∵
=
=
，
∴△ACB∽△DP5P2．
同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB 相似．
故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．
10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;
【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵∠2=∠3，
∴∠DEA=∠EAB，
∵∠1=∠3，
∴△EDA∽△AEB，
故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．
11．【答案】4;
【解析】∵方格中小正方形的边长为1，
∴AB=1、BC=
、AC=
，
∵△DBC 与△ABC 相似，
∴BC=
、CD=2、BD=
，
如图可知这样的点D 如图：
故答案为：4．
12．【答案】
或8 或12;
【解析】设BP=x，BD=20，则PD=BD﹣BP=20﹣x，
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分两种情况考虑：
假设△PAB∽△PCD，有
=
，
又AB=6，CD=16，
∴
=
，即6（20﹣x）=16x，
解得：x=
；
假设△PAB∽△CPD，有
=
，
∴
=
，即x（20﹣x）=96，
整理得：（x﹣12）（x﹣8）=0，
解得：x1=12，x2=8，
综上，当P 离B 的距离为
或8 或12 时，△PAB 与△PCD 是相似三角形．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）如图1，当t=1 秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2
由S=S 梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
= ×
﹣
= ×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24.
（2）①如图1，当0≤t≤2 时，点E、F、G 分别在边AB、
BC、CD 上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t
S=S 梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
= ×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
= ×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48．
②如图2，当点F 追上点G 时，4t=2t+8，解得t=4
当2＜t＜4 时，点E 在边AB 上移动，点F、G 都在边CD 上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t
FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t
S= FG•BC= （8﹣2t）•8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32
（3）如图1，当点F 在矩形的边BC 上的边移动时，0≤t≤2
在△EBF 和△FCG 中，∠B=∠C=90°
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1 若
=
，即
=
，
解得t= ．
又t= 满足0≤t≤2，所以当t= 时，△EBF∽△FCG
2 若
=
即
=
，解得t= ．
又t= 满足0≤t≤2，所以当t= 时，△EBF∽△GCF
综上所述，当t= 或t= 时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以F、C、G 为顶点的三角形相
似．
14.【解析】
解：（1）7 个，分别为：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG；
（2）△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA，
证明：∵△ABC 与△AFG 都为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE，
同理：△CDA∽△ADE，
∴△BAE∽△CDA．
15.【解析】
证明：∵在△ABC 和△ADE 中，
=
=
，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵
，
∴
，
∴△ABD∽△ACE．
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