菱 形
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度之比为3∶4,那么对角
线的长分别为( )
A.3cm,8cm
B.3cm,4cm
C.12cm,16cm
D.24cm,32cm
2.(2012·本溪中考)在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相
交于点O,AB=5,AC=6,过点D 作AC 的平行线交BC 的延
长线于点E,则△BDE 的面积为( )
A.22
B.24
C.48
D.44
3.如图,在菱形ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边AB
和BC 的中点,EP⊥CD 于点P,则∠FPC=( )
A.35°
B.45°
C.50°
D.55°
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.(淮安中考)若菱形的两条对角线长分别为2 和3,则此菱形的面积
是 .
5.如图,活动衣帽架由三个菱形组成,利用四边形的不稳定性,调整菱
形的内角α,使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm,α=120°
时,A,B 两点的距离为
cm.
6.(黔西南州中考)如图所示,菱形ABCD 的边长为4,且
AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F,∠B=60°,则菱形的面积
为 .
三、解答题(共26 分)[来源:学科网ZXXK]
7.(8 分)(黄冈中考)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于
点O,DH⊥AB 于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.
8.(8 分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如
图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转
动手柄可改变∠ADC 的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高
度(即A,C 之间的距离).若AB=40cm,当∠ADC 从60°变为120°时,
千斤顶升高了多少?(
≈1.414,
≈1.732,结果保留整数)
【拓展延伸】
9.(10 分)已知:如图,菱形ABCD 中,∠BAD=120°,动点P 在直线BC 上
运动,作
∠APM=60°,且直线PM 与直线CD 相交于点Q,Q 点到直线BC 的距离为
QH.
(1)若P 在线段BC 上运动,求证:CP=DQ.
(2)若P 在线段BC 上运动,探求线段AC,CP,CH 的一个数量关系,并证
明你的结论.
答案解析
1.【解析】选C.设两条对角线长分别为3x,4x,则
+
=102,解
得x=4.所以两条对角线长分别为12cm,16cm.[来源:Z。xx。k.Com]
2.【解析】选B.∵AD∥BE,AC∥DE,
∴四边形ACED 是平行四边形,∴AC=DE=6,
在Rt△ABO 中,
BO=
=
=4,
∴BD=2BO=8.
又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,
∴△BDE 是直角三角形,
∴△BDE 的面积= DE·BD=24.
3. 【解析】选D.延长PF 交AB 的延长线于点G.
可以证明△BGF≌△CPF,
∴F 为PG 中点.
又由题可知,∠BEP=90°,
∴EF= PG,
∵PF= PG,∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,
∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEF=∠FPC,
∵四边形ABCD 为菱形,∴AB=BC,
∵E,F 分别为AB,BC 的中点,
∴BE=BF,∠BEF=∠BFE= (180°-70°)=55°,
∴∠FPC=55°.
4.【解析】由题意可知:S 菱形= ×2×3=3.
答案:3
【归纳整合】菱形的面积公式及拓展[来源:Zxxk.Com]
(1)菱形的面积=底×高.
(2)如果菱形两条对角线的长分别为a 和b,那么菱形的面积= ab.
(3)如果一个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长分别为a 和
b,那么这个四边形的面积= ab.
5.【解析】∵α=120°,∴菱形的锐角为60°,
∴AB=3×18=54(cm).
答案:54
6.【解析】∵菱形ABCD 的边长为4,∴AB=BC=4,
∵AE⊥BC 于点E,∠B=60°,
∴BE=2,由勾股定理得,
AE=
=
=2
.
∴菱形的面积=4×2
=8
.
答案:8
【归纳整合】含有60°或120°内角的菱形的性质
(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.
(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小
锐角为
30°,可利用这一特殊关系解决问题.
(3)如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为
a2.
7.【证明】∵四边形ABCD 是菱形,
∴OD=OB,∠COD=90°,
∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH,
又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,
在Rt△COD 中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB 中,∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.
8.【解析】连接AC,与BD 相交于点O,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB,AC=2AO.
当∠ADC=60°时,△ADC 是等边三角形.[来源:学科网]
∴AC=AD=AB=40(cm).
当∠ADC=120°时,∠ADO=60°,∠OAD=30°,
∴AO=
=
=20
(cm).
∴AC=40
(cm).
因此升高的高度为40
-40=40(
-1)≈29(cm).
9.【解析】(1)连接AQ,作PE∥CD 交AC 于E,则△CPE 是等边三角形,∠
EPQ=∠CQP.
又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,
∴∠APE=∠CPQ,
又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,
∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,
∴△APQ 是等边三角形,∴∠2+∠3=60°,
∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,
∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.证明如下:[来源:Z#xx#k.Com]
∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,
∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,
又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,
∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.
