文档文本内容
1
平行线的性质
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1.理解平行线的概念；
2.掌握平行线的公理及其推论；
3.能熟练掌握平行线的应用.
1．平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB CD”
∥
，读
作“AB 平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：______________。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2.平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的性质
（1）两直线平行，_________相等。
（2）两直线平行，_________相等。
（3）两直线平行，__________互补。
【答案】1.相交或平行
2.有且只有
3.(1)同位角(2)内错角(3)同旁内角
1.平行线的性质
【例1】（2015•辽宁阜新一中期中）（第8 题，3 分）如图，直线a b
∥，被直线c 所截，已知
∠1=70°，那么∠2 的度数为 ．
2
【解析】
先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由补角的定义即可得出结论．
解：∵直线a b
∥，被直线c 所截，∠1=70°，
3= 1=70°
∴∠
∠
，
2=180°
3=180°
70°=110°
∴∠
∠
﹣
﹣
．
【答案】110°．
【例2】如图，把矩形
沿
对折后使两部分重合，若
，则
=
（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【解析】对折前后图形对应角相等，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可求
出∠AEF.
解：∵∠1=50°
BFE=
∴∠
(180°- 1)=65°
∠
AD BC
∥
∵
AEF+ BFE=180°
∴∠
∠
AEF=115°
∴∠
【答案】B
【例3】如图，AB CD
∥
，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，EP EF
⊥
，与∠EFD 的平分线FP 相交
于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
2
1
3
A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
【解析】先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根
据两直线平行同旁内角互补，求出∠EFD 的度数，然后根据角平分线的定义可求∠EFP 的度数，然
后根据三角形内角和定理即可求出∠EPF 的度数．
解：如图所示，
EP
EF
∵
⊥
，
PEF=90°
∴∠
，
BEP=50°
∵∠
，
BEF= BEP+ PEF=140°
∴∠
∠
∠
，
AB CD
∵
∥
，
BEF+ EFD=180°
∴∠
∠
，
EFD=40°
∴∠
，
FP
∵
平分∠EFD，
∴
=20°，
PEF+ EFP+ EPF=180°
∵∠
∠
∠
，
EPF=70°
∴∠
．
【答案】A．
练习1.（2015•宁德）如图，将直线l1沿着AB 的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2 的度
数是（ ）
A．40°
B．
50°
C．90°
D．130°
【解析】根据平移的性质得出l1 l
∥2，进而得出∠2 的度数．
解：∵将直线l1沿着AB 的方向平移得到直线l2，
l
∴1 l
∥2，
1=50°
∵∠
，
2
∴∠的度数是50°．
【答案】B．
4
练习2.（2015 湖南邵阳中学期中）将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2
的大小是（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．65°
【解析】先根据两角互余的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵∠1+ 3=90°
∠
，∠1=30°，
3=60°
∴∠
．
∵直尺的两边互相平行，
2= 3=60°
∴∠
∠
．
【答案】C．
练习3.（2015 湖北荆州中考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B 两点，若
∠1=70°，则∠2=（ ）
A．
70°
B．
80°
C．
110°
D．
120°
【解析】根据平行线的性质求出∠3= 1=70°
∠
，即可求出答案．
解：
∵直线l1∥l2，∠1=70°，
3= 1=70°
∴∠
∠
，
2=180°
3=110°
∴∠
∠
﹣
，
【答案】C．
练习4.（2015 广东佛山）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别是三条边上的点，EF AC
∥
，
DF AB
∥
，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（ ）
5
A．80°
B．75°
C．70°
D．65°
【解析】
根据EF∥AC，求出∠EFB=∠C=60°，再根据DF∥AB，求出∠DFC=∠B=45°，从而求出
∠EFD=180°
60°
45°=75°
﹣
﹣
．
解：∵EF∥AC，
∴∠EFB=∠C=60°，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠B=45°，
∴∠EFD=180°
60°
45°=75°
﹣
﹣
，
【答案】B．
练习5.（2015•四川凉山州中考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当
∠2=38°时，∠1=（ ）
A．52° B．38° C．42° D．60°
【答案】A．
练习6.如图，在△ABC 中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE 的度数是
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】C
练习7. 如图，l m
∥，∠1＝115º，∠2＝ 95º，则∠3＝（ ）
A．120º B．130º C．140º D．150º
【答案】D
练习8.如图，直线AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E 等于
A
B
C
D
E
6
（A）30° （B）40°
（C）60° （D）70°
【答案】A
练习9.如图，已知
，
，则
的度数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
练习10.如图，已知∠1=
，如果CD BE
∥
，那么∠B 的度数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
练习11.如图，在△ABC 中，∠B=40°，过点C 作CD AB
∥
，∠ACD=65°，则∠ACB 的度数为
（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．
75°
【解析】首先根据CD AB
∥
，可得∠A= ACD=65°
∠
；然后在△ABC 中，根据三角形的内角和定理，
求出∠ACB 的度数为多少即可．
解：∵CD AB
∥
，
A= ACD=65°
∴∠
∠
，
ACB=180°
A
B
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
=180°
65°
40°
﹣
﹣
A
C
B
D
E
第2 题图
//
AB
ED
65
ECF
BAC
115
65
60
25
0
70
0
70
0
100
0
110
0
120
7
=75°
【答案】∠ACB 的度数为75°．
2.平行线的应用
【例4】已知：如图，AB CD
∥
，求证：∠B+ D= BED
∠
∠
。
【解析】可以考虑把∠BED 变成两个角的和。如图5，过E
点引一条直线EF AB
∥
，则有∠B= 1
∠，再设法证明∠D= 2
∠，需证
EF CD
∥
，这可通过已知AB CD
∥
和EF AB
∥
得到。
【答案】证明：过点E 作EF AB
∥
，则∠B= 1
∠（两直线平行，
内错角相等）。
AB CD
∵
∥
（已知），
又∵EF AB
∥
（已作），
EF CD
∴
∥
（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
D= 2
∴∠
∠（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED= 1+ 2
∠
∠，
BED= B+ D
∴∠
∠
∠（等量代换）。
练习12.已知：如图6，AB CD
∥
，求证：∠BED=360°-（∠B+ D
∠）。
【解析】此题与例1 的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的∠BED 都是指小于平角的
角，如果把∠BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1 的结论是一致
的。因此，我们模仿例1 作辅助线，不难解决此题。
【答案】证明：过点E 作EF AB
∥
，则∠B+ 1=180°
∠
（两直线平行，同旁内角互
补）。
AB CD
∵
∥
（已知），
又∵EF AB
∥
（已作），
EF CD
∴
∥
（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
D+ 2=180°
∴∠
∠
（两直线平行，同旁内角互补）。
B+ 1+ D+ 2=180°+180°
∴∠
∠
∠
∠
（等式的性质）。
又∵∠BED= 1+ 2
∠
∠，
B+ D+ BED=360°
∴∠
∠
∠
（等量代换）。
BED==360°-
∴∠
（∠B+ D
∠）（等式的性质）。
练习13.已知：如图7，AB CD
∥
，求证：∠BED= D- B
∠
∠。
【解析】此题与例1 的区别在于E 点的位置不同，从而结论也不同。模仿
例1 与变式1 作辅助线的方法，可以解决此题。
【答案】证明：过点E 作EF AB
∥
，则∠FEB= B
∠（两直线平行，内错角相等）。
AB CD
∵
∥
（已知），
又∵EF AB
∥
（已作），
EF CD
∴
∥
（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
FED= D
∴∠
∠（两直线平行，内错角相等）。
BED= FED- FEB
∵∠
∠
∠
，
BED= D- B
∴∠
∠
∠（等量代换）。
1．（2015•四川凉山州第4 题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当
∠2=38°时，∠1=（ ）
A
B
E
D
C
F
8
A．52°
B．38°
C．42°
D．60°
【解析】
先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．
解：如图：
3= 2=38°°
∠
∠
（两直线平行同位角相等），
1=90°
3=52°
∴∠
∠
﹣
，
【答案】A．
2.（2015•青海西宁）如图，∠AOB 的一边OA 为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB 上有一点E，从
E 点射出一束光线经OA 上一点D 反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ）
A．74°12′
B．74°36′
C．75°12′
D．75°36′
【解析】过点D 作DF AO
⊥
交OB 于点F．根据题意知，DF 是∠CDE 的角平分线，故∠1= 3
∠；然
后又由两直线CD OB
∥
推知内错角∠1= 2
∠；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB 的度数．
解：过点D 作DF AO
⊥
交OB 于点F．
∵入射角等于反射角，
1= 3
∴∠
∠，
CD OB
∵
∥
，
1= 2
∴∠
∠（两直线平行，内错角相等）；
2= 3
∴∠
∠（等量代换）；
在Rt
DOF
△
中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，
2=90°
37°36′=52°24′
∴∠
﹣
；
∴在△DEF 中，∠DEB=180°
2 2=75°12′
﹣∠
．
【答案】C．
3.（2015•毕节市）（第11 题）如图，直线a b
∥，直角三角形ABC 的顶点B 在直线a 上，
∠C=90°，∠β=55°，则∠α 的度数为（ ）
9
A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°
【解析】 首先过点C 作CE a
∥，可得CE a b
∥∥，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答
案．
解：过点C 作CE a
∥，
a b
∵∥，
CE a b
∴
∥∥，
BCE= α
∴∠
∠，∠ACE= β=55°
∠
，
C=90°
∵∠
，
α= BCE= ABC
ACE=35°
∴∠
∠
∠
∠
﹣
．
【答案】C．
4.（2015•甘肃天水，第7 题）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF 折叠后，C、D 两点分别落在
C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A． 65° B． 55° C． 50° D． 25°
【解析】 先根据平行线的性质求出∠DEF 的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠DED′的度
数，根据补角的定义即可得出结论．
解：∵AD BC
∥
，∠EFB=65°，
DEF=65°
∴∠
，
DED′=2 DEF=130°
∴∠
∠
，
AED′=180°
130°=50°
∴∠
﹣
．
【答案】C．
5.（2015·湖北省咸宁市，第4 题）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若
∠1=50°，则∠2 的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.25°
【解
析】
由两直线平行，同位角相等，可求得∠3 的度数，然后求得∠2 的度数．
10
解：如图，
，
1=50°
∵∠
，
3= 1=50°
∴∠
∠
，
2=90°
50°=40°
∴∠
﹣
．
【答案】B
6.（2015·湖北省随州市，第2 题）如图，AB CD
∥
，∠A=50°，则∠1 的大小是（ ）
A.50° B.120° C.130° D.150°
【解
析】
由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．
解：如图：
AB CD
∵
∥
，
A+ 2=180°
∴∠
∠
，
2=130°
∴∠
，
1= 2=130°
∴∠
∠
．
【答案】C．
7.如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2
的度数是（ ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
【解析】
根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
3= 1=20°
∴∠
∠
，
2=45°
20°=25°
∴∠
﹣
．
【答案】C．
8.如图，已知AB∥CD，
，则
o．
o
1
80
2
11
【答案】100
9.（2015•江苏盐城中考）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2 的度
数为（ ）
A． 85°
B．75°
C．60°
D．45°
【解析】
首先根据∠1=60°，判断出∠3= 1=60°
∠
，进而求出∠4 的度数；然后对顶角相等，
求出∠5 的度数，再根据∠2= 5+ 6
∠
∠，求出∠2 的度数为多少即可．
解：如图1，
，
1=60°
∵∠
，
3= 1=60°
∴∠
∠
，
4=90°
60°=
∴∠
﹣
30°，
5= 4
∵∠
∠，
5=30°
∴∠
，
2= 5+ 6=30°+45°=75°
∴∠
∠
∠
．
【答案】B．
10.（2015•江苏泰州中考）如图，直线l1 l
∥2，∠α= β
∠，∠1=40°，则∠2= ．
【解析】先根据平行线的性质，由l1 l
∥2得∠3= 1=40°
∠
，再根据平行线的判定，由∠α= β
∠得
AB CD
∥
，然后根据平行线的性质得∠2+ 3=180°
∠
，再把∠1=40°代入计算即可．
解：如图，
l
∵1 l
∥2，
2
1
B
A
C
D
E
F
B
32 题图
12
3= 1=40°
∴∠
∠
，
α= β
∵∠
∠，
AB CD
∴
∥
，
2+ 3=180°
∴∠
∠
，
2=180°
3=180°
40°=140°
∴∠
∠
﹣
﹣
．
【答案】140°．
11.（2015•湖南湘西州中考）如图，直线a，b 被直线c 所截，且a b
∥，∠1=40°，则∠2= 度．
【解析】
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可．
解：∵a b
∥，∠1=40°，
2=180°
40°=140°
∴∠
﹣
，
【答案】140
12.（2015•甘肃庆阳中考）已知三条不同的直线a、b、c 在同一平面内，下列四条命题：
①如果a b
∥，a c
⊥，那么b c
⊥； ②如果b a
∥，c a
∥，那么b c
∥；
③如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
⊥；④如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
∥．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
【解析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出
答案．
解：①如果a b
∥，a c
⊥，那么b c
⊥是真命题，故①正确；
②如果b a
∥，c a
∥，那么b c
∥是真命题，故②正确；
③如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
⊥是假命题，故③错误；
④如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
∥是真命题，故④正确．
【答案】①②④．
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1.如图，直线a b
∥，三角板的直角顶点A 落在直线a 上，两条直线分别交直线b 于B、C 两点．
若∠1=42°，则∠2 的度数是 ．
13
【解析】 先根据两角互余的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵∠BAC=90°，∠1=42°，
3=90°
1=90°
42°=48°
∴∠
∠
﹣
﹣
．
∵直线a b
∥，
2= 3=48°
∴∠
∠
．
【答案】48°．
2.（2015•云南,第11 题）如图，直线l1 l
∥2，并且被直线l3，l4所截，则∠α= ．
【解析】
首先根据三角形外角的性质，求出∠1 的度数是多少；然后根据直线l1 l
∥2，可得
∠α= 1
∠，据此求出∠α 的度数是多少即可．
解：如图1，
，
1+56°=120°
∵∠
，
1=120°
56°=64°
∴∠
﹣
，
又∵直线l1 l
∥2，
α= 1=64°
∴∠
∠
．
【答案】64°．
3.（2015 广西崇左中考）若直线a b
∥，a c
⊥，则直线b c．
【解析】如图，因为a b
∥，a c
⊥，所以∠2= 1=90°
∠
【答案】b c.
⊥
14
4.（2015•永州中考）如图，∠1= 2
∠，∠A=60°，则∠ADC=
120
度．
【解
析】
由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB 与DC 平行，再利
用两直线平行同旁内角互补，由∠A 的度数即可求出∠ADC 的度数．
解：∵∠1= 2
∠，
AB CD
∴
∥
，
A+ ADC=180°
∴∠
∠
，
A=60°
∵∠
，
ADC=120°
∴∠
．
【答案】120°
5.（2015•衡阳中考）如图，已知直线a b
∥，∠1=120°，则∠2 的度数是
60°
．
【解析】 两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答．
解：∵a b
∥，∠1=120°，
2=180°
1=180°
120°=60°
∴∠
∠
﹣
﹣
，
【答案】60°
6.将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC∥DE，则∠AFC 的度数为
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】D
7.如图，已知∠1＝70°如果CD∥BE，那么∠B 的度数为（ ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
A
B
C
D
E
F
15
【答案】C
8.如图1，已知直线AB//CD，BE 平分∠ABC，交CD 于D，∠CDE=150°，则∠C 的度数为（ ）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
图1．
【答案】C
9.如图，已知∠1 ＝ 70º，如果CD BE
∥
，那么∠B 的度数为（ ）
A．70º
B．100º
C．110º
D．120º
【答案】C
10.如图，
，
于
交
于
，已知
，则
（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
【答案】A
11.如图1，直线a b
∥，C 与a、b 均相交，则
＝ （ ）
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
第3 题图
B
C
E
D
A
(
AB
CD
∥
EF
AB
E
EF
，
CD
F
1
60
°
2
C
D
B
A
E
F
1
2
16
A．60 B．100 C．120 D．150
【答案】C
12.如图，直线PQ∥MN，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于A，CF 交PQ 于B，且∠ECF＝90°，如
果∠FBQ＝50°，则∠ECM 的度数为
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【答案】C
13．如图，BC⊥AE，垂足为C，过C 作CD∥AB．若∠ECD=48°则∠B=．
【答案】
14.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b 上，已知∠1=55°，
则∠2 的度数为（ ）
A. 45° B. 35° C. 55° D.125°
【答案】B
15．如右图4，a∥b，如果∠1=50°，则∠2 的度数是
A．130° B．50° C．100° D．120°
【答案】A
A
B
C
E
F
P
Q
M
N
5 题图
E
D
C
B
A
0
42
图4
1
b
a
2
17
16.如图，直线
分别与a、b 相交于点A、B，已知
的度数为 （ ）
A．165°
B．155°
C．145°
D．135°
【答案】C
17.如图2，AB∥CD，EF⊥AB 于点E，EF 交CD 于F，已知∠2=30°，则∠1 是（ ）
A．20° B．60° C．30° D．45°
【答案】B
18.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80 ，则∠2 的度数是
A．80° B．100° C．110° D．120 °
【答案】B
19.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a 与b 的位置关系是
A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b 或a∥b D．无法确定
【答案】B
20.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b 的是( )
A. 1= 2 B. 2= 4 C. 3= 4 D. 1+ 4=180°
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
【答案】D
21.如图1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，则∠C 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
c
b
a
直线
,
//
2
,
35
1
则
1
F
图2
2
E
D
C
B
A
18
【答案】B
22.如图，已知
∥b，分别与
、
相交，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1= 3 B. 2= 3 C. 1= 4 D. 2= 5
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
【答案】D
23.如图，C 岛在A 岛的北偏东50o方向，C 岛在B 岛的北偏西40o方向，则从C 岛看A，B 两岛
的视角∠ACB 等于 ．
【答案】90o
24．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片
的一条边上，则∠1+ 2=_____________
∠
。
【答案】90°
25.如图, 已知∠1 = 2 = 3 = 62°
∠
∠
，则
.
E
D
B
A
C
a
l
a
b
第8题
5
4
3
2
1
l
b
a
b
4
19
【答案】118°
26.如图，直线
∥
，直线
与
、
相交，∠1 ＝70°，则∠2 ＝．
【答案】70°
27.如图，直线DE 交∠ABC 的边BA 于点D，若DE∥BC，∠B=70°，
则∠ADE 的度数是 ．
【答案】70°
28.如图（五），AB CD
∥
，直线MN 分别与AB、CD 相交于点E、F，若
MEB＝65°，则
CFN＝
_______．
【答案】65°
29.如图所示，AB CD
∥
，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E 的度数为_______________．
【答案】12°
30.如图1，已知直线AB//CD，直线EF 与直线AB、CD 分别交于点E、F，且有∠1=70°， 则
∠2= .
a
b
c
a
b
( 第13 题)
C
A
E
D
B
F
E
N
M
A
C
D
B
20
【答案】
31.如图4，已知直线
∥b，∠1=40°，则∠2=．
【答案】
D
B
C
F
E
A
图1
2
1
110
a
图4
40
课程顾问签字： 教学主管签字：
