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2021 年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合
题意的选项。本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．π
D．4
2．2021 年5 月11 日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约
为10040000 人，将数据10040000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.004×106
B．1.004×107
C．0.1004×108
D．10.04×106
3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5
B．2a+3a＝6a
C．a8÷a2＝a4
D．（a2）
3＝a5
5．如图，AB∥CD，EF 分别与AB，CD 交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF 的度数为
（ ）
A．100°
B．80°
C．50°
D．40°
6．如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠BAC＝54°，则∠BOC 的度数为（ ）
A．27°
B．108°
C．116°
D．128°
7．下列函数图象中，表示直线y＝2x+1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种
植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：
22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25
B．23，23
C．23，24
D．24，24
9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1 到6 的点数．将它投掷两次，则两
次掷得骰子朝上一面的点数之和为5 的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10 共十个整数依次写在十张不透明的卡片上
（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面
朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同
学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上
的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：
17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8 和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9 和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3 和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2 和9
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）
11．分解因式：x2﹣2021x＝ ．
12．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心到弦AB 的距离为2，则∠AOC 的度数为
．
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13．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E 是边AB 的中点，若OE＝6，
则BC 的长为 ．
14．若关于x 的方程x2﹣kx﹣12＝0 的一个根为3，则k 的值为 ．
15．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E，
若BC＝4，DE＝1.6，则BD 的长为 ．
16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽
取了部分作品，按A，B，C，D 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅
不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B 等的作品份数为 ．
三、解答题（本大题共9 个小题，第17、18、19 题每小题6 分，第20、21 题每小题6 分，
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第22、23 题每小题6 分，第24、25 题每小题6 分，共72 分。解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．计算：
．
18．先化简，再求值：（x﹣3）
2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣
．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全
等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中，
∴△A'B'C′≌ ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序
号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
20．“网红”长沙入选2021 年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置
了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12 个红球和若干个白球（每
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个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得
到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000 人，景点一共为参与该游戏
的游客免费发放了景点吉祥物15000 个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
21．如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB 是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD 是矩形；
（2）求AD 的长．
22．为庆祝伟大的中国共产党成立100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行
了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25
道题，满分100 分，每一题答对得4 分，答错扣1 分，不答得0 分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86 分，则该参赛同学一共
答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90 分才可以被评为“学党史
小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
23．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC 至E，使得CE＝CA，
连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE 的周长和面积．
24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴
对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T
点”．根据该约定，完成下列各题．
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（1 ）若点A （1 ，r ）与点B （s ，4 ）是关于x 的“ T 函数” y ＝
的图象上的一对“T 点”，则r＝ ，s＝ ，t
＝ （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x 的函数y＝kx+p（k，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对
“T 点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x 的“T 函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c 是常数）经过坐标原点O，
且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n 是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）
两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1 时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定
点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
25．如图，点O 为以AB 为直径的半圆的圆心，点M，N 在直径AB 上，点P，Q 在
上，
四边形MNPQ 为正方形，点C 在
上运动（点C 与点P，Q 不重合），连接BC 并延长
交MQ 的延长线于点D，连接AC 交MQ 于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ 的值；
（2）求
的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R 是常数），求y 关于x 的函数解析式，
并指明自变量x 的取值范围．
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