文档文本内容
1
轴对称
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1．通过画、剪、观察、想象、分类、找对称轴等系列活动，使学生正确认识轴对称图形的意
义及特征；
2．掌握轴对称的概念、性质；轴对称变换的性质以及轴对称的应用；
3．培养和发展学生的实验操作能力，发现美和创造美的能力。
1. 轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条
直线____，这条直线叫做_______，折叠后重合的点是对应点，叫做______．两个图形关于直线
对称也叫做_____．
2. 轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做____________，
这条直线就是它的_________．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
3.图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4.轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的_________关系，成轴对称的两个图形是_______；
轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形
是全等形，并且成轴对称．
5.线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的________（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离____；反过来，与一条线段两个端点距
离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等
的________的集合．
参考答案：
1.对称 对称轴 对称点 轴对称
2.轴对称图形 对称轴
3.垂直平分线
4.形状与位置 全等形
5.垂直平分线 相等 所有点
2
1. 轴对称图形的定义．
【例1】（2014•双鸭山中学中考一模）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选C．
练1. （2015•北京房山二中期末）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
练2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、B、D 都是轴对称图形；
C、不是轴对称图形．
故选：C．
总结：轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形．
2.依据轴对称图形的对称轴补全图形．
【例2】（2014•宁夏民族中学月考）在4×4 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影
（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成
轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（ ）
3
A．1 个
B．2 个 C．3 个
D．4 个
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
解：如图所示，有3 个使之成为轴对称图形．
故选C．
总结：此题通过利用格点图，考查学生轴对称性的认识．解题的关键是找对称轴，按对称轴的不
同位置，可以有3 种画法．
练3.（2014•太原成成中学期末）如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB 为对
称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图
形为此对称图形，则此图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选C．
3. 轴对称的平移变换．
【例3】（2014•绍兴二中月考）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7 格
4
B．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB 为对称轴作轴对称变换
C．绕AB 的中点旋转180°，再以AB 为对称轴作轴对称
D．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7 格
【解析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．
解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7 格．
故选D．
总结：主要考查了轴对称的性质及平移变化．
轴对称图形具有以下的性质：
（1）轴对称图形的两部分是全等的；
（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．
练4. 观察图形
…并判断照此规律从左到右第四个图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．
解：观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D 符合．
故选D．
4．轴对称的性质．
【例4】（2014•北京六十六中期末）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的
阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反
射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋
B．2 号袋 C．3 号袋
D．4 号袋
【解析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
故选：B．
总结：主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解
答本题的关键．
练5. （2014 春•惠山区校级期末）桌面上有A，B 两球，若要将B 球射向桌面任意一边，使一次反
弹后击中A 球，则如图所示8 个点中，可以瞄准的点有（ ）个．
5
A．1 B．2
C．4 D．6
【解析】根据题意分析可得：分别找出入射点B 和反射点B，看看是否符合即可．
解：由图可知可以瞄准的点有2 个．
．
故选B．
总结：本题考查轴对称图形的定义．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，
这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．解此题关键是找准入射点和
反射点．
练6. （2014•河北衡水中学期末）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示
四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反
后将落入（ ）球袋．
A．1 号 B．2 号
C．3 号
D．4 号
【解析】根据反射角等于入射角，找出每一次反射的对称轴，最后即可确定落入的球袋．
解：根据题意：每次反射，都成轴对称变化，
∴一个球按图中所示的方向被击出，经过3 次反射后，落入1 号球袋．
故选A．
5．轴对称的应用
6
【例5】（2014 春•太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它
铺平，你可见到（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C 是符合要求的．
解：观察选项可得：只有C 是轴对称图形．
故选：C．
总结：本题考查轴对称图形的应用，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这
个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．
练7. 在下列各电视台的台标图案中，运用轴对称图形原理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解：只有C 沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故选C．
6．轴对称-最短路线问题；角平分线的性质．菁优
【例6】（2015 春•太原五中校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=4
，∠BAC=45°，∠BAC 的
平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ．
【解析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段
和的最小值．
解：如图，在AC 上截取AE=AN，连接BE．
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME 与△AMN 中，
，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN 有最小值．
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE⊥AC，
又AB=4
，∠BAC=45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE 取最小值为4，
∴BM+MN 的最小值是4．
故答案为：4．
7
总结：轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L 上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过
轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点
就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多
数情况要作点关于某直线的对称点．
练8（2014 秋•黔东南州校级期中）已知直线l 的同侧有A，B 两点（图1），要在直线l 上确定一
点P，使PA+PB 的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B
交l 于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P 即为所求的点．请问
小明同学的做法是否正确？说明理由．
【解析】小明的做法正确，根据两点之间线段最短分析即可．
答：小明的做法正确，理由如下：
∵点A 和点A′关于直线l 对称，且点P 在l 上，
∴PA=PA′，
又∴A′B 交l 与P，且两条直线相交只有一个交点，
∴PA′+PB 最短，
即PA+PB 的值最小．
总结：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定
理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ）
8
A．
B．
C．
D．
3．下列图形中，轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB=CD
B．∠BAE=∠DCE
C．EB=ED
D．∠ABE 一定等于30°
5．如图，△ABC 的中位线DE=5cm，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A、F 两点
间的距离是8cm，则△ABC 的面积为 cm2．
6．如图，已知△ABC 是等边三角形，AB=4+2
，点D 在AB 上，点E 在AC 上，△ADE 沿DE 折叠后
点A 恰好落在BC 上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B 的长是 ．
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1．下列各图中，为轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
2．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列图案中是轴对称图形的有（ ）
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．下列交通图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合，若BC=5，CD=3，
则BD 的长为（ ）
A．1
B．2 C．3
D．4
7．如图，在△ABC 中，点D、E 分别是边AB、AC 的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC 沿DE 折叠，
点A 的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（ ）
A．145° B．152°
C．158°
D．160°
8．如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果
∠A′EC=70°，那么∠A′DE 的度数为 ．
10
9．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B 落在边AD 上，折痕EF 的两端分别在AB、BC 上（含端点），
且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF 的最大值是 cm．
10．如图，将矩形ABCD 沿BD 对折，点A 落在E 处，BE 与CD 相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
11．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上
的N 点．
（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；
（2）若四边形BFDE 是菱形，AB=2，求菱形BFDE 的面积．
11
参考答案：
当堂检测
1.
考点：轴对称图形．权所有
分析：根据轴对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、D 都不是轴对称图形．
故选B．
2．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
专题：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
分析：解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故A
符合题意；
B、C、D 都是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
专题：根据轴对称图形的概念求解．
分析：解：A、B、C 都不是轴对称图形，只有D 是轴对称图形．
故选D．
4．
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分析：根据ABCD 为矩形，所以∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，
所以△AEB≌△CED，就可以得出BE=DE，由此判断即可．
解答：解：∵四边形ABCD 为矩形
∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，故A、B 选项正确；
在△AEB 和△CED 中，
，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE=DE，故C 正确；
∵得不出∠ABE=∠EBD，
∴∠ABE 不一定等于30°，故D 错误．
故选：D．
5．
考点：翻折变换（折叠问题）；有
专题：几何图形问题．
分析：根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF 即是△ABC 的高，再由中位线的性质求出
BC，继而可得△ABC 的面积．
点评：此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD 和三角形等底作等高即可．
6．
考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD 中
利用勾股定理求得BD 的长即可．
解答：解：∵将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
在Rt△BCD 中，
BD=
=
=4．
12
故选：D．
点评：本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性
质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股
定理的运用．
7．
考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．菁优网版权所有
分析：过点D 作DE⊥AB 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利用勾
股定理列式求出AB，再根据△ABC 的面积公式列出方程求解即可．
解答：解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，
∵∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，
∴DE=CD，
由勾股定理得，AB=
=
=5，
S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC，
即×5•CD+ ×3•CD= ×3×4，
解得CD= ．
故选C．
家庭作业
1．
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专题：根据轴对称图形的概念求解．
分析：解：A、B、D 都不是轴对称图形，只有C 是轴对称图形．
故选C．
解答：轴对称图形．菁优网版权所有
2．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：中间两个图形是轴对称图形，轴对称图形的个数是2，故选B．
点评：本题考查轴对称图形概念的理解，判断一个图形是不是轴对称图形的关键是能不能
找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．
3．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存
在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重
合．
解答：解：第1 个不是轴对称图形，第2 个、第3 个、第4 个都是轴对称图形．
故选C．
点评：掌握好中心对称与轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的
面积列出方程是解题的关键．
4．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
分析：根据轴对称图形的概念求解．只有A 不是轴对称图形．
解答：解：根据轴对称图形的概念，只有A 不是轴对称图形，B、C、D 都是轴对称图形．
13
故选A．
点评：本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，两边图象折叠后可重合．
5．
考点：轴对称图形．菁优网版权所有
分析：根据轴对称图形的概念求解．
解答：解：观察图形可知C 是轴对称图形．
故选C．
点评：掌握好轴对称图形的概念．
轴对称图形的要寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
6．
考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD 中
利用勾股定理求得BD 的长即可．
解答：解：∵将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
在Rt△BCD 中，
BD=
=
=4．
故选：D．
点评：本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性
质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股
定理的运用．
7．
考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，
∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=104°，再
求∠AEA′的度数即可．
解答：解：∵∠B=50°，∠A=26°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=104°，
∵点D、E 分别是边AB、AC 的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，
∵将△ABC 沿DE 折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠DEA′=∠AED=104°，
∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．
故选：B．
点评：本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答
此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
8．
考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：
首先求得∠AEA′，根据折叠的性质可得∠A′ED=∠AED= ∠AEA′，在△A′DE 中利
用三角形内角和定理即可求解．
解答：解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，
又∵∠A′ED=∠AED= ∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．
故答案为：65°．
点评：本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．
14
9．
考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：只有BF 大于等于AB 时，B′才会落在AD 上，判断出点F 与点C 重合时，折痕EF 最
大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出
AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E 中，利用
勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．
解答：解：如图，点F 与点C 重合时，折痕EF 最大，
由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，
在Rt△B′DC 中，B′D=
=
=8cm，
∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，
设BE=x，则B′E=BE=x，
AE=AB﹣BE=6﹣x，
在Rt△AB′E 中，AE2+AB′2=B′E2，
即（6﹣x）2+22=x2，
解得x=
，
在Rt△BEF 中，EF=
=
=
cm．
故答案为：
．
点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF 最大的情况
并利用勾股定理列出方程求出BE 的长，作出图形更形象直观．
10．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角
∠DFE=∠BFC，利用AAS 可判定△DEF≌△BCF；
（2）在Rt△ABD 中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可
得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC 的度数．
解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，
在△DEF 和△BCF 中，
，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD 中，
∵AD=3，BD=6，
∴∠ABD=30°，
由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，
∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．
点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三
角形全等是关键．
11.
考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质．菁优网版权所有
分析：（1）根据四边形ABCD 是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形
判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即
15
可求出答案．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EBD= ∠ABD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE 为平行四边形．
（2）解：∵四边形BFDE 为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE=
=
，BF=BE=2AE=
，
故菱形BFDE 的面积为：
×2=
．
点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30 度角的直角三角形
性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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