文档文本内容
1
图形的相似前沿知识
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1、理解比例成比例线段；
2、掌握平行线分线段成比例定理；
3、熟悉平行线分线段成比例定理的应用.
1．两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是
它们长度的比，即AB:CD=m:n，或写成
.
2. 比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如
a
b= c
d )，那么称这四条线
段是成比例线段，简称__________________．
3. 比例性质
如果
，那么
__________
4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的_____________.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
2
参考答案：
1. m:n
2. 其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段
3.
.
4. 对应线段成比例
1、线段的比
【例1】如图，设小方格的边长是1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB，
AD，EH，EF 的长度分别是多少？分别计算
的值，你发现了什么？
【解析】构造直角三角形，利用勾股定理，即可求出各边长，即可求解.
解： 由题意可得，
AB=8，AD=
，EH=
，EF=4
∴
总结：
线段的比值即为求长度的比.
练1. 一条线段的长度是另一条线段的5 倍，求这两条线段的比.
【解析】线段比定义即可求解.
3
解： 两条线段的比即为1:5.
2．比例线段
【例2】如图，一块矩形绸布的长AB= a m，宽AD=1m，按照图中所表示的方式将它裁成相同的
三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即
，那
么a 的值应当是多少？
【解析】根据比例线段定义即可求解.
解：根据题意可知，AB= a m，AE=
m，AD=1 m.
∴
.
∴
即
（
舍去）.
总结：
如果
，那么
.
如果
（a,b,c,d 都不等于0），那么
.
练2.在△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=10cm；在△DEF 中， ED=EF=12cm，DF=8cm，求AB
与EF 之比，AC 与DF 之比.
【解析】根据比例线段定义即可求解.
解： 由题意可得，
4
AB：EF=10:12=5:6；
∵AC=
cm
AC：DF=
：8=
.
练3.如图，在△ABC 中， AB= 12cm， AE=6cm，EC=5cm，且
，求AD 的长.
【解析】根据比例线段定义即可求解.
解：∵
∴
∴
cm
3、比例性质
【例3】在△ABC 与△DEF 中，已知
，且△ABC 的周长为18cm.
求△DEF 的周长.
【解析】根据比例线段性质即可求解．
解：
∵
∴
∴
5
∴
cm
∴△DEF 的周长为24cm.
结论：
如果
，那么
.
练4. 已知
，求
的值.
【解析】根据比例线段性质即可求解．
解： ∵
.
∴
练5. （2015 春•启东市校级月考）如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB，DE，BC，
DC，AC，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.
【解析】构造直角三角形，利用勾股定理计算边长，即可求解.
解：由图象可得，
AB=
，DE =
，BC =
，
DC =
，AC =
，EC=
，
∴△ABC 的周长=
△EDC 的周长=
(
0)
a
c
m b
d
n
b
d
n
6
即△ABC 与△EDC 的周长比=2:1.
4．平行线分线段成比例
【例4】如图，在△ABC 中，E，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF∥BC.
（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF 的长是多少？
（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC 的长是多少？
【解析】平行线分线段成比例性质，即可求解．
解：（1）∵EF∥BC，
∴
∵AE=7，EB=5，FC=4，
∴
（2）∵EF∥BC，
∴
∵AB=10，AE=6，AF=5，
∴
∴
总结：
利用平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例的性质，求比例线段.
练6．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图，求
的值.
7
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
解：由题意可得，
∴
练7．（2015•烟台市期末）如图，已知l1∥l2∥l3. AB=5，BC=7，EF=4，求DE 的长.
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
解：∵l1∥l2∥l3.
∴
∴
∴
.
【例5】如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB 和BC 上的点，且
，求
.
8
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
解：∵
∴
∴
∴
.
练8．（2015•滨河区期中）如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是AB，AC，BC 上的点，且
DE∥BC，EF∥AB，AD:DB=2:3， BC=20cm，求BF 长.
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
解：∵DE∥BC，
∴
∵EF∥AB，
∴
9
∴
∴
∴BF=8cm.
练9．已知：如图，若DE∥BC， D 在AB 上，E 在AC 上， AD : DB=2 : 3，BC=20.
求：DE 的长.
E
D
C
B
A
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
解：∵
∵DE∥BC，
∴
∴
∴
.
练10．（2014 秋•唐山市期末）已知：如图，四边形AEDF 为菱形，AB=12，BC=10，
AC=8，求：BD、DC 及AF 的长。
【解析】利用平行线分线段成比例性质即可求解．
10
解：∵四边形AEDF 为菱形，
∴AE∥FD，AF∥ED，AF=AE=FD=DE
∴
∴
∴
∴
【例6】 如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点F，若
AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF:EF 的值.
【解析】求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图
形本身并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值．
解：过E 作EG∥BC 交AD 于G，则在△ADC 中，
GE
DC = AE
AC
又∵
AE
EC = 3
4 ∴
AE
AC =3
7 ∴
EG
DC =3
7
即 EG=3x ， DC=7x （x>0），则
∵
BD
DC =2
3
11
∴ DB=
2
3 DC =2
3×7 x=14
3 x
∴
BD
EG =
14
3 x
3 x =14
9
又 ∵EG∥BC，
∴
BF
FE = BD
EG =14
9 .
练11．如图，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm， FB=3cm， CD=2cm，求 BD.
【解析】根据条件可知BDEF 为平行四边形，由EF∥BC，应用相似三角形的预备定理，得
AF
AB = EF
BC 再应用比例性质，即可求出EF 即BD.
解：∵ DE∥AB， EF∥BC
∴ 四边形BDEF 为平行四边形，
∴ BD=EF
又∵ EF∥BC，
∴
AF
AB =EF
BC
∴
AF
AF +BF =
BD
BD +DC
∴
5
5+3= BD
BD +2
解之，得BD=
10
3 （cm）
12
. 练12．（2015 春•唐山市期中）如图，A、C、E 和B、F、D 分别是∠O 的两边上的点，且
AB∥ED、BC∥FE。求证：AF//CD
【解析】要证明AF//CD，应推导出能使AF//CD 的比例线段，由题中图形可知，应证明
OA
OC =OF
OD ，而由AB//ED，BC//FE，容易得到此关系.
∵AB//ED
∴
OA
OE =OB
OD ①
∵BC//FE
∴
OB
OF =OC
OE ②
由①得 OA⋅OD =OB⋅OE
由②得 OC⋅OF =OB⋅OE
∴OA⋅OD =OC⋅OF
则
OA
OC =OF
OD
∴AF//CD.
1．已知3x=5y ，则x：y=_________;
2．已知x:y=7:2，求x:(x+y)________.
3．.如图，若EF∥AB, DE∥AC, 以下比例正确的有（ ）个.
13
A. 1 个. B. 2 个. C. 3 个. D. 4 个.
E
D
C
B
A
F
4．如图，已知DC//EF//GH//AB，AB=30，CD=6，且DE：EG：GA=1：2：3，则EF=______GH=
______.
5. 如图，CD 是△ABC 的角平分线，点E 在AC 上，
AD
AB = AE
AC =2
5 ，AC=10，求DE _____
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1.下面四组线段中，不能成比例的是（ ）
2.已知
求
14
3.已知x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z).
4．已知梯形ABCD 中，AB∥CD, E、F 分别在AD、BC 上，
，
，
求：EF.
A
B
C
D
E
F
5. 如图△ABC 中，D、E、F 分别在AB、AC、BC 上，且DE//BC，EF//AB，AD=9，EF=6，
CF=5，则BF=_____.
6．如图在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，且4AE=5DE，CE 交BD 于F，则
BF
DF =
______.
7．已知，BD 为△ABC 的角平分线，DE//BC，交AB 于E，求证：
1
AB + 1
BC = 1
DE .
参考答案：
当堂检测
1．答案:5:3.
2．答案: 7:9.
3．答案:C.
4．答案：10 18.
5. 答案：6．
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家庭作业
1. 答案：D.
2. 答案：
.
3. 答案：1.
4. 答案：14.
5. 答案：
15
2
6. 答案：
7. 答案：由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，
DE
BC = AE
AB ，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则
BE=DE，
所以
DE
AB + DE
BC = BE
AB + AE
AB = AB
AB =1
课程顾问签字： 教学主管签字：
