一元二次方程
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1.掌握一元二次方程的概念；
2.掌握一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）.
1.
一元二次方程的定义及一般形式：
（1）
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
（2）
一元二次方程的一般形式：_________。其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
形如
的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得
或者
，
。
注意：若b<0，方程无解
（2）配方法:
用配方法解一元二次方程
的一般步骤
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当
时，方程无解
（3）公式法：
一元二次方程
根的判别式：_________________
1
方程有两个不相等的实根:
（
）
的图像与
轴
有两个交点
方程_____________实根
的图像与
轴有一个
交点
方程无实根
的图像与
轴没有交点
（4）因式分解法
通过因式分解，把方程变形为
，则有
或
。
步骤：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。
注：
（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘
法是最方便、快捷的方法。
①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式
②公式法：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）
完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2.
（2）此法可拓展应用于求解高次方程。
参考答案：
1.（2）
2.(3)
, 有两个相等的
1.一元二次方程的定义
【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是 ．
③
【解析】根据一元二次方程的定义判定即可，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【答案】①③④⑤
练习1. 已知，关于x 的方程
是一元二次方程，则
【答案】≠-5
练习2. 当
时，方程
不是关于x 的一元二次方程．
【答案】±2
2. 一元二次方程根的情况
2
【例2】(2014 辽宁锦州市一中期末)若关于x 的方程
有实数根，则k 的取值范围是
．
【解析】根据一元二次方程的△的正负，来判断方程的根的情况，有实数根是△≥0，代入a，b，c
计算即可。
【答案】k≤
练习3. 已知：当
时，方程
有实数根．
【答案】≥0.75
练习4. （2014 山西晋中一模）关于x 的方程
的根的情况是
___________．
【答案】没有实数解
【例3】不解方程，判别方程的根的情况：
0
4
x
3
x
2
2
【解析】要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式
ac
4
b 2
的值的符号就可以了．注
意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c 的符号．
【答案】解：∵a＝2，b＝3，c＝－4，
∴
0
41
)
4
(
2
4
3
ac
4
b
2
2
．
∴方程有两个不相等的实数根．
练习5.
y
24
9
y
16
2
【答案】 ∵a＝16，b＝－24，c＝9，
∴
0
9
16
4
)
24
(
ac
4
b
2
2
．
∴方程有两个相等的实数解．
练习6.（2014 山东聊城一模）
0
x
7
)1
x
(
5
2
【答案】将方程化为一般形式
0
x
7
5
x
5
2
，
0
5
x
7
x
5
2
．
a
∵＝4，b＝－7，c＝5，
∴
5
5
4
)
7
(
ac
4
b
2
2
＝49－100
＝－51<0．
∴方程无实数解．
3.一元二次方程的解法
【例4】解方程
2
)
3
x
(
2
．
【解析】如果把x＋3 看作一个字母y，就变成解方程
2
y 2
了．注意：对可用直接开平方法来解
的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若
a
x 2
，则
a
x
；若
b
)
a
x
(
2
，则
3
a
b
x
．
【答案】解：
2
)
3
x
(
2
，
2
3
x
，
2
3
x
2
3
x
，或
，
∴
2
3
x
2
3
x
2
1
，
．
练习7. 解方程
0
25
x 2
．
【解析】解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．
【答案】解：
0
25
x 2
，
25
x 2
，
25
x
，x＝±5．
∴
5
x
5
x
2
1
，
．
练习8. 解方程
0
81
)
2
x
(
4
2
．
【解析】解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．
【答案】解：
0
81
)
2
x
(
4
2
整理，
81
)
2
x
(
4
2
，
4
81
)
2
x
(
2
，
2
9
2
x
，
∴
2
5
x
2
13
x
2
1
，
．
【例5】用配方法解方程
x
7
3
x
2
2
．
【解析】解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．注意：
用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右
边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式
的完全平方．
【答案】解：
x
7
3
x
2
2
，
0
2
3
x
2
7
x 2
，
0
2
3
4
7
4
7
x
2
7
x
2
2
，
16
25
4
7
x
2
，
4
∴
4
5
4
7
x
．
∴
2
1
x
3
x
2
1
，
．
练习9．x2＋8x－2＝0
【答案】
练习10. 2x2-x=6
【答案】
【例6】解方程
0
2
x
3
x 2
．
【解析】此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．注意：用公式法解方
程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程
无解，就不必解了．
【答案】解法一：
0
2
x
3
x 2
，
(x－2)(x－1)＝0，
x－2＝0，x－1＝0，
∴
2
x
1
x
2
1
，
．
解法二：
a
∵＝1，b＝－3，c＝2，
∴
0
1
2
1
4
)
3
(
ac
4
b
2
2
，
∴
2
1
3
x
．
∴
1
x
2
x
2
1
，
．
练习11．(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)
【答案】原方程可变形为（x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0. x-2=0 或-x-2=0. x
∴1= 2，x2= -2 .
练习12．4x2-20x+25=7
【答案】原方程可变形为2x2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0，∴x=
=
x
∴1=
，x2=
.
【例7】（2014 山东济南实验中学月考）解关于x 的方程
0
n
)
n
m
2
x
3
(
m
x
2
2
．
【解析】先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x
为未知数，m，n 为已知数．在确定
0
ac
4
b 2
的情况下，利用公式法求解．
【答案】解：把原方程左边展开，整理，得
0
)
n
mn
m
2
(
mx
3
x
2
2
2
．
a
∵＝1，b＝－3m，
2
2
n
mn
m
2
c
，
∴
)
n
mn
m
2
(
1
4
)
m
3
(
ac
4
b
2
2
2
2
2
2
n
4
mn
4
m
5
0
)
n
2
m
(
2
．
∴
2
)
n
2
m
(
m
3
x
2
2
)
n
2
m
(
m
3
．
∴
n
m
x
n
m
2
x
2
1
，
．
练习13.x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
【答案】
1.下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D
A.x2+x=1
B.2x2-x-12=12
C.2(x2-1)=3(x-1)
D.2(x2+1)=x+2
2.下列方程:①x2=0,②
-2=0,③2
+3x=(1+2x)(2+x),④3
-
=0,⑤
-8x+ 1=0 中,一元二次
方程的个数是( ) 【答案】A
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
3.把方程（x-
）(x+
）+(2x-1)2=0 化为一元二次方程的一般形式是( ) 【答案】A
A.5x2-4x-4=0
B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0
D.5x2-4x+6=0
4.方程x2=6x 的根是( ) 【答案】B
A.x1=0,x2=-6
B.x1=0,x2=6
C.x=6
D.x=0
5.方2x2-3x+1=0 经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C
A.
B.
C.
D.以上都不对
6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) 【答案】D
A.11
B.15
C.-15
D.±15
7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) 【答案】B
A.-x2=2x-1
B.4x2+4x+
=0
C.
D.(x+2)(x-3)==-5
8.方程
化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.
【答案】x2+4x-4=0,4
9.关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0 有实数解的条件是__________.【答案】
10.用______法解方程3(x-2)2=2x-4 比较简便. 【答案】因式分解法
11.如果2x2+1 与4x2-2x-5 互为相反数,则x 的值为________.【答案】1 或
12.（2014 云南大理中考）如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0 没有实数根,那么k 的最小整数
6
值是__________.
【答案】2
13.如果关于x 的方程4mx2-mx+1=0 有两个相等实数根,那么它的根是_______.【答案】
14.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.
【答案】
15.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5 分,共15 分)
(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=
; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a 是常数)
【答案】（1）3，
；（2）
；（3）1，2a-1
16.已知关于x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x
的解,你能求出m 和n 的值吗?
【答案】m=-6,n=8
17.已知关于x 的一元二次方程x2-2kx+
k2-2=0.求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
【答案】Δ=2k2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
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1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) 【答案】B
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
2 下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D
A.x2+x=1
B.2x2-x-12=12
C.2(x2-1)=3(x-1)
D.2(x2+1)=x+2
3.一元二次方程2x2-3x+1=0 化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C
A.
B.
C.
D.以上都不对
4.关于
的一元二次方程
的一个根是0，则
值为（ ）【答案】B
A.1
B.-1
C.1 或-1
D.
5.已知三角形两边长分别为2 和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周长
7
为( ) 【答案】D
A.11
B.17
C.17 或19
D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程
的两个根，则这个直角三角形
的斜边长是（ ）【答案】B
A.
B.3
C.6
D.9
7.使分式
的值等于零的x 是( ) 【答案】A
A.6
B.-1 或6
C.-1
D.-6
8.若关于y 的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4 有实根,则k 的取值范围是( ) 【答案】B
A.k>-
B.k≥-
且k≠0
C.k≥-
D.k>
且k≠0
8.用______法解方程3(x-2)2=2x-4 比较简便. 【答案】提公因式
9.如果2x2+1 与4x2-2x-5 互为相反数,则x 的值为________.【答案】-
或1
10.
【答案】
，
11.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c 的关系是______.【答案】b=a+c
12.已知方程3ax2-bx-1=0 和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.【答案】1 ，-2
13.一元二次方程x2-3x-1=0 与x2-x+3=0 的所有实数根的和等于____.【答案】3
14.已知3-
是方程x2+mx+7=0 的一个根,则m=________,另一根为_______.【答案】-6 ，3+
15.
16.
【答案】解：9-6x+x2+x2=5 解：(x+
)2=0
x2-3x+2=0 x+
=0
(x-1)(x-2)=0 x1=x2= -
x1=1 x2=2
课程顾问签字： 教学主管签字：
8
