文档文本内容
1
二元一次方程组
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__________________________________________________________________________________
1.掌握二元一次方程的定义和定义的应用；
2.会用消元法解二元一次方程组；
3.理解二元一次方程组的其它解法.
1.二元一次方程的定义：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做
二元一次方程。
2.二元一次方程组的定义：把具有______未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个
二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一
次方程的解，二元一次方程有_______个解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组
的解。
5.代入消元法解二元一次方程组：
（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式
子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组
的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）
用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即
“变”
②将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x 的一元一次方程，即
“代”。
③解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”。
④把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”
⑤把x、y 的值用｛联立起来即“联”
6.加减消元法解二元一次方程组
2
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数___________时，把这两个方程的两边分别相
加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简
称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就
用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即
“加减”。
③解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
④将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值
即“回代”。
⑤把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
参考答案：
1.两个
2.相同
3.无数
6.相反或相等
1.二元一次方程的定义
【例1】下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．3x-y2=0 B．
+
1
y =1 C．
-
y=6 D．4xy=3
【解析】考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1 的整
式方程叫二元一次方程。所以满足三个条件：①方程中有且只有一个未知数；②方程中含有未
知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
【答案】C
【例2】已知方程（m+2）x|m|-1+（n-3）yn2-8=5 是关于x、y 的二元一次方程，求m2+2mn+n
的值．
【解析】含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若axm+byn=c 是二元一
次方程，则a≠0，b≠0 且m=1,n=1。
【答案】解：已知方程（m+2）x|m|-1+（n-3）yn2-8=5 是关于x、y 的二元一次方程，
则|m|-1=1，m+2≠0；n2-8=1，n-3≠0，
所以m=2，n=-3．
故m2+2mn+n2=1．
练习1．下列各式是二元一次方程的是（ ）.
【答案】A
练习2．若
是关于
的二元一次方程
的一个（组）解，则
的值为（
）
3
A.3 B.4 C.4.5 D.6
【答案】C
练习3．已知方程2xm+2+3y1-2n=17 是二元一次方程，求m，n 的值．
【答案】解：由题意，得m+2=1，1-2n=1，
解得m=-1，n=0．
故m=-1，n=0．
练习4.已知关于x,y 的二元一次方程（2m-4)xm2－3+(n+3)y|n|-2 =6,求m,n 的值
【答案】m=-2，n=3
练习5.已知方程 （a-2）x（|a|-1） - （b+3）y（b2-8） = 3 是关于x、y 的二元一次方程，求a、
b 的
值。
【答案】a=-2,b=3
2.二元一次方程组的定义
【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.
【解析】考查二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为
1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
【答案】A
练习6.有下列方程组：（1）
（2）
（3）
（4）
其中说法正确的是（ ）.
A.只有（1）、（3）是二元一次方程组 B.只有（3）、（4）是二元一次方程组
C.只有（4）是二元一次方程组 D.只有（2）不是二元一次方程组
【答案】D
练习7.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.{x+y=4¿¿¿¿
B.{x+y=5¿¿¿¿C.
D.
【答案】C
3.方程解的定义
【例4】已知
是关于x,y 的二元一次方程组
的解，求2a+b 的值．
【解析】考查方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。方程组的解的定义：
方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。
【答案】解：把
代入二元一次方程组
得a=2，b=-4,2a+b=0
练习8．下列哪组数是二元一次方程组
的解（ ）
2
2
8
4
2
3
11
9
.
.
.
2
3
7
5
4
6
2
4
x
y
x
y
a
b
x
B
C
D
x
y
b
c
y
x
x
y
6
2
3
1
y
x
x
1
y
x
xy
y
x
1
2
x
y
2
6
3
5
ax
y
x
by
4
【答案】D
练习9.已知
是二元一次方程组
的解，则
的值为。
【答案】-1
4.二元一次方程组的解法
【例5】 解方程组：
【解析】运用代入法，把①代入②，可得出x，y 的值；
【答案】解：（1）
由①，得x=4+y③，
代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，
所以y=﹣
，
把y=﹣
代入③，得x=4﹣
= ．
所以原方程组的解为
．
【例6】用加减法解方程组
【解析】用加减法解二元一次方程组时，必须使方程组中①②两方程所含同一个未知数的系
数 相同或互为相反数．现在该方程组不具备这个条件，所以我们要想办法转化成这样的条
件．方法一：观察x 的系数：②中x 的系数是①中的3 倍，所以可得①×3，使x 的系数相等，然后
减去②，可消去x；方程二：观察y 的系数：①中y 的系数是②中的2 倍，所以可将②×2，便y 的系
数互为相反数，再与①相加可消去y，两种方法皆可达到消元的目的．
【答案】解：②×2，得6x-2y=-2 ③
③+①得，7x=7,x=1
把x=1 代入①，得1+2y=9，2y=8，y=4
所以
是原方程组的解．
练习10.
；
【答案】解：原方程组可化为
，
①×2﹣②得：
2
9
3
1
x
y
x
y
1
4
x
y
5
y=﹣1，
将y=﹣1 代入①得：
x=1．
∴方程组的解为
；
练习11．选择适合的方法解下列方程组：
【解析】（1）方程组中，方程①中含有（x+2y），因此，只需将方程②x+2y=2 整体代入①即可
化“二元”为“一元”．
（2）方程组里两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此只要两方程相加即可化
“二 元”为“一元”．
（3）方程组中的第1 个方程中两个未知数之间是比值关系，可化成x=
y，然后代入②，
用代入法求解；还可设x=2a，y=5a，将x=2a，y=5a 代入②中，求得a 的值，然
后再分别代入x=2a，y=5a 中，求得x、y 的值，这样求解，可避免分数．
【答案】解：（1）把②代入①得x+2×2=4，解之，得x=0
把x=0 代入②，得2y=2，解之，得y=1
所以原方程组的解是
（2）①+②，得7x=14，解之，得x=2
把x=2 代入②得，8-7y=5，解之，得y=
所以原方程组的解是
．
（3）设x=2a，y=5a，并把它们代入②，得500×2a+250×5a=22 500 000
解之，得a=10 000，
把a=10000 分别代入x=2a，y=5a 中，得x=20 000，y=50 000
所以原方程组的解是
练习12.解方程组：
【答案】解：
，
①﹣②，得s+t=4，
2(
2 )
4
3
7
9
:
2:5
(1)
(2)
(3)
2
2
4
7
5
500
250
22 500 000
x
x
y
x
y
x y
x
y
x
y
x
y
2
5
0
1
x
y
3
7
2
3
7
x
y
20 000
50 000
x
y
6
①+②，得s﹣t=6，
即
，
解得
．
所以方程组的解为
．
练习13.在解方程组
时，小明把c 看错了得
，而他看后面的正确答案是
，则a= ，b= ，c= ．
【解析】不论是否看错了c，小明的结果和正确答案都符合第一个方程，因此可把这两组值
代入第一个方程，形成一个关于a、b 的方程组，从而解答求出a、b．至于c 可把正确结果代
入第二个方程中，直接求解．
【答案】解：把
和
代入ax+by=2 中，得
，
解之，得a=4，b=5．
把
代入cx﹣7y=8 中，得
c=﹣2．
1.若关于x、y 的方程
是二元一次方程，那么
、b 的值分别是( )
A．1、0 B．0、－1 C．2、1 D．2、－3
【答案】B
2. 已知
和
都是方程
的解，则
和
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3.若方程组
的解中
与
的值相等，则
为（ ）
2
2
11
a b
a b
x
y
a
7
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
4.已知方程组
和
有相同的解，则
，
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5. 已知二元一次方程
的一个解是
，其中
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
6.如图,将长方形ABCD 的一角折叠,折痕为AE,∠BAD 比∠BAE 大180,设∠BAE 和∠BAD 的度数分
别为x , y ,那么x , y 所适合的一个方程组是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
7.若
，则
的值为（ ）
A.15 B.
C.
D.无法确定
【答案】B
8. 在方程
中，用含
的代数式表示
，得
．【答案】
9. （2014 山东烟台中考）按如图的运算程序，能使输出结果为3 的x，y 的值是（ ）
A．x=5，y=﹣2
B． x=3，y=﹣3 C． x=﹣4，y=2
D．x=﹣3，y=﹣9
【答案】D
10. 下列方程：①
；②
；③
；④
；
⑤
；⑥
．其中是二元一次方程的是
．【答案】①，④
8
11. 若方程
是二元一次方程，则
，
．【答案】1,0
12. 方程
的所有非负整数解为______：【答案】
13. 若
，则
．【答案】8
14. 若
，则
．【答案】
15.解下列方程组
(1){2x+3y=40¿¿¿¿ （2）
【答案】解方程组
（1）{x=5¿¿¿¿
(2)解：整理，得
由①得
把③代入②，得
把x=2 代入③得：
原方程组的解为：
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．当x=3 时，对于二元一次方程3x+2y=8，y= 。【答案】
−1
2
9
2.用代入法解方程组
时，代入正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3.已知方程
，用含
的代数式表示y 为：y=________。【答案】8-4X
4.方程组
的解为________。【答案】
5.乙组人数是甲组人数的一半，且甲组人数比乙组多15 人。设甲组原有x 人，乙组原有y 人，
则可得方程组为 。
【答案】
6.（2014 浙江杭州一中期中）设实数x、y 满足方程组
，则x+y= 【答案】8
7.若
，则
。【答案】9
8.（2014 山东枣庄一中期中）已知x、y 是二元一次方程组
的解，则代数式x2﹣4y2
的值为_______.【答案】7.5
9.（2014 娄底一中期中）方程组
的解是（ ）
A. x−2=xy B.
5x+ 1
y
=3
C.6x−2y=5 D.{x−y=1¿¿¿¿
【答案】D
10.下列属于二元一次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
11.下列方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
12.方程组
的解为（ ）
8
4
y
x
x
3
8
y
x
y
x
5
.
2
5
.
5
y
x
15
2
y
x
y
x
0
)
2
(
|
6
|
2
y
x
x
y
x
z
y
x
2
3
xy
x
2
3
1
5
y
x
5
2
6
y
x
3x-y=1
y=x+3
x=y+2
xy=1
1
1
y
x
x2-x=2
y=1+x
10
4
3
1
y
x
y
x
10
A.
B.
C.
D.
【答案】B
13.若方程组
的解是
，那么a、b 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
14.（2014 江西抚州一中期中）已知
、
满足方程组
，则
的值为（
）
A. 8 B. 4 C. -4 D. -8
【答案】A
15. 16.
17.
18.
19.
20.（2014 山东威海一中期中）解方程组：
【答案】15.
16.
17.
18.
19.
20.
．
1
1
y
x
1
2
y
x
5
4
y
x
4
2
y
x
1
0
by
x
y
ax
1
1
y
x
0
,1
b
a
2
1
,1
b
a
0
,1
b
a
0
,0
b
a
y=x-2
2x+y=7
2x-3y=10
-4x+y=-5
1
3
y
x
2
3
y
x
1
2
y
x
3
2
1
y
x
2
1
3
y
x
课程顾问签字： 教学主管签字：
